§52. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ СЛАБЫХ
ИСИЛЬНЫХ ПОМЕХАХ
В двух предыдущих параграфах мы рассмотрели про стейшие случаи измерения параметров сигнала при нали чии помех. В этих случаях выполнены следующие усло вия: 1) измеряемые параметры имеют распределение
Гаусса; 2) полезный сигнал линейно зависит от измеряе мых параметров. При невыполнении этих условий задача сильно усложняется. Теоретическое исследование опти мального приемника, производящего измерение при нали чии помех, было впервые проведено В. А. Котельниковым в 1946 г., причем предложенный им метод является весьма общим. В настоящем параграфе мы рассмотрим проблемы измерения параметра сигнала, следуя, в основном, рабо
те Котельникова и лишь применяя иные обозначения; не которое обобщение по сравнению с этой работой будет за ключаться в том, что мы будем считать помехи коррели
рованными.
Если полезный |
сигнал |
кроме времени t, зависит |
только от одного |
параметра т, |
который подлежит измере |
нию, |
то для нормальных помех коэффициент правдоподобия |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(^) = ^(т)ет Ю -2г I* СО, |
(52.01) |
где рт(у) — априорная |
плотность вероятности параметра т, |
а величины <р (т) и |
р.(т) |
имеют обычный смысл |
|
|
|
|
|
|
8 .h |
|
(52-02) |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н )*( |
= V Qghmg (т) |
(4 |
(52.03) |
|
|
|
8?h |
|
|
|
|
Здесь fg = f(tg)— выборки |
процесса |
на входе |
приемника, |
mh |
— |
т) — выборки |
полезного |
сигнала |
с парамет |
ром т, а |
|| Qgll || — матрица, |
обратная |
корреляционной |
мат |
рице |
помех, элементы которой равны |
|
|
|
|
|
^h=^ = n(tg)n(th). |
(52.04) |
Оптимальный приемник должен образовывать |
коэффици |
ент правдоподобия |
А (т) |
или |
какую-нибудь монотонно |
воз- |
расгающую функцию от этого коэффициента (в дальнейшем
удобно брать In Л (т)), на основании чего он выдает т — зна чение т, измеренное по максимуму коэффициента правдопо
добия. Ясно, что если от приемника требуется определен
ный ответ в виде числа, то ничего лучшего он дать не может, и нам остается только рассчитать характеристики такого приемника.
Расчет характеристик оптимального приемника, произ
водящего измерение параметра сигнала в присутствии по мех, связан с некоторыми трудностями. При слабых по мехах, когда ошибки измерения малы и измеряемый пара метр т распределен, как и в рассмотренных выше случаях, по закону Гаусса, качество измерения можно характера зовать его средней квадратичной ошибкой (см. далее).
При сильных помехах качество измерения удобно характе ризовать вероятностью ошибки, превышающей некоторое
заданное значение.
Начнем со слабых помех. Из соотношения (52.01) |
имеем |
|
In Л (т) = <р(-с) — -1- *} (т) -j- In z?ot(t). |
(52 05) |
Величина z |
есть корень уравнения |
|
|
|
^1пА(х)=0, |
(52.06) |
в котором вторая производная отрицательна |
|
|
— 1пЛ(тХ0 при т = т. |
(52.07) |
Если есть |
несколько значений т, |
удовлетворяющих |
усло |
виям (52.06) и (52.07), то следует |
выбрать то, для |
кото |
рого А (т) максимально, поскольку мы считаем, что присут ствует один полезный сигнал.
При т == х |
можно разложить In А (т) в ряд Тейлора |
|
In А (т) = In А (т) - |
+.. ., |
(52.08) |
отбрасывая члены порядка (т — т)3 и |
выше. Положительная |
величина |
Доопределяется соотношением |
|
-4 In Л 6) = 4- И" Й - <р” (х‘)-4 In Рт 6). |
(52.09) |
й |
dz1 |
- |
d~.2 |
|
Производя дифференцирование, получаем
1 (х) = |
Qghmg (х) mh (х) + Qgllmg (т) /п" (г), |
g,h |
g.h |
|
(52.10) |
|
<¥" ('’) = £ Qghfgm'h^’ |
|
|
|
g, h |
|
Qgh ||. Окон |
причем мы использовали симметрию матрицы || |
чательно |
|
|
|
g. h |
Ч ~ S Qgh |
“ mg й ™h 6) “ |
g, h |
|
|
|
-41npM(^), |
(52.11) |
|
dz2 |
|
|
и коэффициент |
правдоподобия при |
т ss г имеет |
вид |
|
(т-т)» |
|
|
Л(т)==А(х)е |
2да . |
(52.12) |
Интересно отметить, что в рассмотренных ранее простых случаях эта формула была точной, и мы получали распре
деление Гаусса при любых т; — т. Формула (52.11) при этом
|
|
|
|
|
|
упростилась |
бы: второе |
слагаемое обращается в |
нуль |
(тг" (т) = О, |
так как полезный сигнал линейно зависит |
от из |
меряемого параметра), |
а |
третье |
есть константа (так как |
распределение рт(у) |
является |
нормальным и 1прот(х)—■ |
квадратичная функция -t). |
В общем случае формула (52.12) |
имеет ограниченное применение, однако при достаточно сла бых помехах или, что то же самое, при достаточно боль ших отношениях сигнал/помеха формула (52.12) определяет нам практически весь апостериорный закон распределения
величины т. Это закон |
Гаусса со средним (и наиболее |
ве |
роятным) значением т и |
дисперсией Д2, которую |
при |
сла |
бых помехах можно вычислять по формуле |
|
|
Да =----------, * a ----- ■ |
(52.13) |
2QShm'g^ m'h&
g. h
При уменьшении интенсивности помех и при увеличении мощности сигнала эта величина неограниченно уменьшается
и гауссово распределение (52.12) становится все более
„*острым и поэтому более точным, поскольку отброшенные члены играют все меньшую роль. Величина, стоящая в зна менателе формулы (52.13), всегда положительна [см. далее формулу (52.26)] и монотонно возрастает с увеличением
амплитуды сигнала, |
поэтому остальными слагаемыми в пра |
вой’ |
части |
(52.11) |
можно пренебречь |
при |
достаточно |
больших |
отношениях |
сигнал/помеха; |
для |
слагаемого |
^2 |
|
А |
это верно потому, что оно не |
зависит от |
этого |
----- -1п/?то(х) |
dt2 |
|
|
для суммы |
|
|
|
отношения, а |
|
|
|
|
|
|
S Qgft Mg — mg И m"h |
|
(52.14) |
|
|
|
g,h |
|
|
|
|
|
потому, что при этих условиях разность f |
— mg(y) практи |
чески |
определяется |
помехой и, следовательно, |
дает |
мень- |
шии вклад |
в |
величину |
1 |
|
|
|
р. |
|
|
|
Предположим, что истинное значение |
и равно т0, |
так |
что на входе |
приемника имеется функция |
|
|
|
|
|
|
|
f(0 = ^, го)4-п(О, |
|
(52.15) |
выборки которой равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
fg = mg^ + n8- |
|
(52.16) |
Какая связь существует между истинным значением т0 и
измеояемым значением т? |
|
|
|
Функцию (52.02) |
можно представить в |
виде |
|
где |
|
?(т) = н('с. Хо)-1_'Ф)> |
|
(52.17) |
|
|
|
|
|
1Ф. S)= ^ант8Ыть^) |
(52.18) |
и |
|
g. fi |
|
|
|
|
’W = VQgAng^(x), |
|
(52.19) |
|
|
|
|
|
g,h |
|
|
|
причем функция |
(52.18) обладает следующими свойствами: |
н(ъ |
= |
*) = >(*) Что)> |
(52.20) |
|
u(t)=: р. (и, т)= V2 (т), |
|
|
доказательство |
которых не |
представляет |
труда. |
|
Можно ожидать, |
при слабых |
помехах |
разность х— х0 |
мала, поэтому в выражении для производной |
я In Л (т) = |
+./ W _ 1 |
(,) + |
1п w (52.21) |
при х== х можно ограничиться нулевым и первым членом раз
ложения Тейлора для функций
= ЕЧЛ т' + (т — S) S Qghmg (х0) (х0),
у И' ()* = S Qghm? (т) т' (х) = S Qghme (то) Ч (\)+ (52.22)
+ |
ЕЧЛ К) Чг *о() |
+ |
A m'h М’ |
In Рт W =^- In рт (т0) + (t - х0) |
In рт (т0) |
и С |
и • 0 |
|
U'tg |
|
и заменить / (х) на >'(х0). Приравнивая |
выражение (52.21) |
при х —х |
нулю, получаем |
для |
разности х — х0 выражение |
где
7 (О=S Qgnngmh' (то)- |
(52.24) |
g, h |
|
В данном приближении случайная величина х является нормальной, ее среднее значение и дисперсия равны
d
поскольку
Р Оо)]2 — £ QShme О») т!гЬЛ |
(52.26) |
g. ft
При достаточно большом отношении сигнал/помеха про изводными 1прт(т) можно пренебречь по сравнению с вели
чиной (52.26) и мы имеем
; = т0, (т-т0)г = Д\ |
(52.27) |
где величина |
|
Да = Д2(х0) = ~------ Д—------ |
(52.28) |
XQgftmg (fo) mft
практически совпадает с величиной (52.13).
Условное распределение величины т определяется по этому нормальным законом
(62'29)
с той же дисперсией, что и в формуле (52.12).
При уменьшении отношения сигнал/помеха точность вы веденных выше соотношений будет падать, и при достаточ но сильных помехах они будут давать результаты, непра
вильные даже качественно. При сильных помехах целесо образно характеризовать качество измерения вероятностью
того, что измеренное (любым способом) |
значение т отли |
чается от истинного ч:0 по абсолютной |
величине больше, |
чем на s. Эта вероятность равна |
|
Р (I х — % I > е) = Р (т > % + s) + Р О < % — £) =
= J Д, О > То+£) Рт Оо) |
О < То — £) Рт (% ) d~V |
|
(52.30) |
где Pz (т )> т0 s) есть вероятность события т^>т0-[-е при
условии, что истинное значение параметра -с равно %. При написании формулы (52.30) мы использовали выражение (29.04) для полной вероятности. Переходя в первом инте
грале к переменной -с = т0—|—е, а во втором — к |
переменной |
-с = х0— е, мы получаем |
|
Р (! * — % I > е) = J [Л_£ О > 4 Рт 0 ~ £) + |
+ PzJz<^pm^ + t)]d^ |
(52.31) |
В дальнейшем |
ограничимся случаем, когда априор |
ное распределение рт{р) имеет прямоугольную форму |
Р,Л^ = Г ПРИ °<Х<Л |
|
(52.32) |
/7 |
(т) = 0 при х<^0 и т>Т. |
Этого всегда можно добиться надлежащей заменой пе- .11
ременных. |
Функции рт(р), |
рт(р — е.) и |
Рт(^-ре) изображе- |
ны на рис. |
51. Если мы в |
интеграле |
(52.31) ограничимся |
Рис. 51. Прямоуголь ное распределение па раметра 1 (априорное).
интервалом е <у -с < Т —■ г, то в виду положительности
подынтегральных функций мы можем только уменьшить значение интеграла, и поэтому
Т—в
р (I < - s > •> > ± j [р,_, <; > х)+р,+, < <] л. (52.зз)
S
Для подынтегральной функции в последнем выражении можно вывести следующее неравенство
4 1Л_ (’>') + Ь < ’)] > Г (4 Г МЧ) ■ (52.34) |
где |
|
ОО Za |
(52.35) |
F(z#) = ^Je 2dz |
есть веооятность ложной тревоги при простом обнаруже
нии, соответствующая нормированному порогу z* |
[см. форму |
лу (31.34)], а |
|
|
Не (Х) = J Qgh \-nlg (Т+£) — Mg *( —£)] |
(* +£) — mh (* —s)]= |
g, h |
|
|
= р.(т e)-]-p. (n — a) — 2р(т 4~£> T — £) |
(52.36) |
есть отношение сигнал/помеха в задаче об обнаружении разностного полезного сигнала
m.(t, х) — т(t, -с -f-s) — m(t, т — s), |
| |
^бЛ('с) = ^л(т4-е) — mh(t — е) |
J (52.37) |
на фоне нормальных коррелированных помех.
Неравенство (52.34) доказывается следующим образом.
Пусть на фэне помех производится прием одного из сигна
лов т (t, т + е) или |
/п(^,т — s), |
причем априорная вероят |
ность каждого из |
них равна |
Оптимальный приемник, |
производящий различение двух взаимно исключающих слу чаев
f (t) = т (t, ъг)п (t) и f (/) —'т (t, t — e)-|-n(0 (52.38)
есть по существу оптимальный приемник обнаружения разностного сигнала (52.37) в известной нам разностной функции
f(^) = /(/)_ — в). (52.39)
Такой приемник однозначно определяется, например, зада нием вероятности ложной тревоги F или порога г* в фор
муле (52.35), вероятность правильного обнаружения D за висит еще от параметра (52.36). Полная вероятность при нятия правильного решения определяется формулой
(30.11), а полная вероятность ошибки V при равновероят ности обоих сигналов равна
V=1 _ttz==_L(i _ D+F). |
|
(52.40) |
Она зависит от F. Производная |
|
|
ФГ==т(~4г+1)(при М)=* |
const) |
(52.41) |
обращается в нуль при условии |
|
|
|5=А,= 1 |
|
(52.42) |
[ср. формулу (31.39)],что, как легко видеть, соответствует минимуму V. Учитывая, соотношение
Мы видим, что для достижения |
минимального значения V |
надо в формуле (31.34) положить |
|
|
?* |
= {l‘eW> |
|
(52.44) |
и формула (31.35) принимает вид |
|
|
ОО |
Z2 |
ОО |
Z2 |
0 = — f |
е 2rfz=l — -U |
f |
е 2dz=l — F, |
/2л J |
У 2л |
J |
|
- |
|
|
рГК) |
откуда окончательно |
|
(52.45) |
|
|
|
= |
|
(52.46) |
Левая часть соотношения (52.34) равна полной вероятности ошибки для приемника, осуществляющего различение сигна лов — е) и т (t, т -ф- е) с помощью измерения пара метра -с. При этом считается принятым первый сигнал,
если |
-г — измеренное значение |
параметра — меньше т, и вто |
рой сигнал — при |
Поскольку такой способ различе |
ния |
двух сигналов |
является |
неоптимальным и во всяком |
случае не может приводить к вероятности ошибки, |
мень |
шей чем вероятность |
(52.46), |
мы и получаем неравенство |
.*(52.34) |
(52.34) приводят к выражению |
Формулы (52.33) и |
Р (| ; - т01 > е) |
Т—е |
(52.47) |
j F (1 f^)} dv, |
связывающему вероятность ошибки при измерении пара
метра и с вероятностью |
ложной тревоги |
при |
обнаружении |
разностного |
сигнала (52.37). |
|
|
* Формула |
(52.46) соответствует так называемому идеальному на |
блюдателю, который обеспечивает максимум W и |
минимум V=1— W. |
В гл. V указано (см. мелкий шрифт в конце § |
30), |
что идеальный |
наблюдатель |
эквивалентен |
оптимальному приемнику обнаружения |
с вероятностью F, соответствующей максимуму |
W. |
Строгое доказа |
тельство того, что такой оптимальный приемник дает абсолютный ма ксимум U/, дано в приложении I
При достаточно малых е можно положить
(х "Ь£) — тЛх~ e) = 2em'h (*) |
(52.48) |
и поэтому величина (52.36) приближенно равна |
|
|
и (х) = |
(^) ’ 2 ' ‘ |
aV 7 Д (г) |
, |
(52.49) |
“е V 7 . |
|
' |
' |
где Д2 (т) определяется формулой |
(52.28). |
Поэтому правая |
часть формулы (52.45) |
равна |
|
|
|
|
s |
г |
|
О |
(52.50) |
|
|
|
|
Если помехи достаточно слабы и измерение произво дится по максимуму коэффициента правдоподобия, то с по
мощью распределения (52.29) можно вычислить условную
вероятность ошибки
оо хг
р(h-%l>s)......Ге 2Л2(То,^л-=
’/2тгД(т0)3
е az — |
(52.51) |
и полная вероятность ошибки равна |
|
т |
|
|
(52.52) |
о |
|
Сравнивая последнее выражение с формулами |
(52.47) и |
(52.50), мы видим, что если измерение производится по ко
эффициенту правдоподобия, то при малых ошибках г и сла бых помехах знак неравенства в соотношении (52.47) можно заменить на знак равенства. Приемник, осуществляющий такое измерение, является оптимальным в том смысле, что обеспечивает минимальную вероятность ошибки Р(\ т—т;0|>е).
В доугих случаях фээмула (52.47) дает, вообще гозоря,
лишь одностороннюю оценку погрешности измерения и ве
роятность ошибки Р (| т — т:01 > е) может значительно пре восходить минимальное значение (ср. конец § 56).
