книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ОБ ОТНОШЕНИИ СИГНАЛ/ПОМЕХА ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАБОТКЕ

ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Обычно отношением сигнал/помеха при работе с прямо­

является случайной величиной, то дополнительно произво­ дится усреднение и по амплитуде.

В § 16 и на протяжении всей книги мы определяли р

(отношение сигнал/помеха) следующим образом:

пиковая мощность сигнала (на выходе фильтра). (11.02) средняя мощность помех

Этот параметр вычислялся как для оптимальных ли­

нейных фильтров, так и для неоптимальных (ср. гл. III).

Вместо термина «мощность» мы применяли термин «интен­ сивность», но при образовании отношения это дела не ме­

няет.

Если высокочастотный сигнал имеет постоянную ампли­ туду и фильтрация сохраняет прямоугольную форму им­ пульса, то в силу того, что пиковая мощность синусои­ дального сигнала вдвое больше его средней мощности, мы

Р' = Р-

Если сигнал имеет случайную амплитуду G, распреде­ ленную по закону Релея

= <П04>

429

то

метр р' по формуле (11.03) для постоянной цели и по фор­ муле (11.06) для мерцающей цели, поскольку это облег­ чает сравнение характеристик обнаружения соответствую­

щих приемников.

В различных местах книги мы неоднократно отмечали,

что основные результаты теории оптимальных приемников

остаются в силе в том случае, когда линейная фильтрация (внутрипериодная обработка входных данных) произво­ дится неоптимальным образом. Это значит, что получаемые из коэффициента правдоподобия оптимальные способы междупериодной обработки входных данных будут опти­ мальными при любой (но линейной) внутрипериодной обработке и что вычисленные характеристики приемника

(вероятности F и D) также применимы. Нужно только иметь в виду, что неоптимальность линейной фильтрации снижает эффективное отношение сигнал/помеха, т. е. дело обстоит так, как если бы уровень помех несколько повы­ сился. Примером неоптимального фильтра может слу­ жить высокочастотное звено приемника, сохраняющего прямоугольную форму импульсов, для которых и вводится

определение (11.01).

Сделанное выше утверждение (почти очевидное с фи­ зической точки зрения) следовало бы, в сущности, дока­ зать применительно к каждому наиболее важному резуль­ тату второй части данной книги. Однако это сделало бы изложение слишком громоздким, и мы были вынуждены ограничиться лишь краткими замечаниями. Можно наде­ яться, что читатель, усвоивший основное содержание дан­ ной книги, сможет сам провести необходимое доказатель­ ство в каждом частном случае.

430

ПРИЛОЖЕНИЕ III

ОПАРАДОКСАХ В ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ

Встатье Д. Слепяна „Некоторые комментарии к обна­

ружению гауссовых сигналов в гауссовых шумах** доказы­

не равными тождественно друг другу. Если интенсив­ ность 5m+n(co) является рациональной функцией ю или

тождественно исчезает вне некоторой конечной полосы частот, а интенсивность ЗДсо) также является рациональ­

ной функцией или тождественно исчезает вне конечной по­ лосы частот и если при рациональных функциях SOT+„(w) и

S (со) выполняется соотношение

ратурными ссылками к цитированной статье, дадим лишь

№2, p. 65—68.

**Ряд положений, высказанных в данной статье (особенно матема­

тических), встречается и в других, более ранних работах. Однако прин­ ципиальная важность этих положений выяснена в данной статье осо­ бенно четко.

431

ния этих функций во всем бесконечном интервале

—оо<7<_оо и точного вычисления их корреляционных

Ес^.я спектральные интенсивности Sm+n((0) и Sn(заявля­ ются рациональными функциями со, удовлетворяющими при

со->2±оо асимптотическим соотношениям

и у>>1), что и позволяет доказать теорему для рациональ­ ных функций 5;л (о) и 5я(о). Та же величина (III.04) по­

зволяет произвести однозначное различение случайного

М>0)о-

Формулировка рассмотренной выше теоремы может быть значительно расширена. В частности, вместо простых раз-

dl-i

ностей производных j (t) в формуле (III.04) можно

брать разности /-го порядка для самой функции /(/); в по­

43?

шений (III.03) требуется лишь достаточно быстрое исчеза­ ние функций 5от+п(ш) и 5л(со) на бесконечности (см. § 13).

Рациональность функций 5от+л(<о) и Sn(o>) также несуще­

ственна, важно лишь, чтобы они были ограничены при ве­ щественных о> и удовлетворяли асимптотическим соотно­ шениям (III.03) и (III.01). Рассматриваемые случайные про­ цессы не обязательно должны быть нормальными, по край­ ней мере, если они сингулярны.

Поскольку обнаружение по коэффициенту правдоподо­ бия является оптимальным (ср. гл. V и приложение I), то при условиях, сформулированных выше, правило решения (35.10) должно приводить к таким же значениям F<& и £)>1—е или даже лучшим. Однако непосредственное вы­ числение -вероятностей F и D затруднительно.

Парадоксальность данной теоремы с физической и тех­

нической точки зрения заключается в том, что она позво­ ляет производить уверенное обнаружение сколь угодно слабого случайного сигнала m(Z) на фоне сколь угодно сильной помехи n(t) за сколь угодно короткий промежуток времени Т. На основании этой теоремы Д. Слепян прихо­ дит к выводу, что существующая математическая теория обнаружения сигналов на фоне помех неадэкватна задачам обнаружения, представляющим интерес для техники, и

должна быть дополнена, по крайней мере, в двух отноше­ ниях: 1) следует отказаться от утверждения, что нам точно

известны спектральные интенсивности всех случайных про­

расположенные на оси времени.

Если эти дополнения действительно необходимы, то следовало бы, во-первых, отказаться от обычной статисти­ ческой теории обнаружения, изложенной в данной книге, и, во-вторых, приступить к построению новой теории, которая

неизбежно будет более сложной. На самом деле данная теорема не приводит к столь радикальным выводам, и все

возникающие парадоксы могут быть легко разъяснены в рамках существующей теории.

При анализе данной теоремы мы будем для простоты предполагать, что процессы m(t) и /г(0 некоррелированы,

так что

Sm+z1(®) = 5w(oJ) + Sf!(U>) (III.05)

и условие (III.01) имеет вид

Таким образом, данная теорема справедлива либо тогда,

достаточно высоких частотах спектральная интенсивность полезного сигнала сравнима со спектральной интенсив­ ностью помехи или превосходит последнюю. Если же счи­ тать, что спектр помехи шире спектра сигнала, то теорема несправедлива, все парадоксы исчезают и теория обнару­ жения приводит к выводам, согласующимся со здравым

смыслом и инженерной практикой.

Понятие стационарного случайного процесса возникло

в математике в результате обобщения таких явлений, как

шумы в электрических цепях и другие флюктуационные

процессы, и затем применялось к полезным сигналам, но­ сящим случайный характер (телеграфные сигналы, теле­ фонный разговор, радиопередача и т. д.). Однако матема­ тическое понятие стационарного случайного процесса ока­ зывается более широким, чем это кажется на первый

взгляд. При исследовании прогнозирования стационарных случайных процессов в гл. II мы встретились с тем обстоя­ тельством, что лишь для регулярных случайных процессов теория прогнозирования приводит к результатам, осмыс­ ленным с практической точки зрения. Что же касается сингулярного случайного процесса, то он не имеет своего прообраза ни в случайных полезных сигналах, ни в поме­

хах. Действительно, сингулярный процесс, в котором

«прошлое» однозначно определяет все «будущее», не несет в себе никакой новой информации и вместе с тем не создает помехи для обнаружения, например, сколь угодно слабого сигнала m(t) конечной длительности, поскольку сингуляр­

вать его отсутствие. Поэтому та часть сформулированной выше теоремы, которая относится к обнаружению стацио­ нарного случайного процесса m(Z) (регулярного или сингулярного) на фоне помехи n(t), являющейся сингуляр­ ным случайным процессом, является с теоретической точки

434

ке входных данных. Спектральная интенсивность S'o этих белых шумов в основной части спектра помех может быть весьма малой, однако при достаточно высоких частотах она имеет основное значение, так что

ивсе связанные с ней парадоксы исчезают.

В§ 13 мы указали, что примесь белого шума к сингу­ лярному случайному процессу приводит к регулярному процессу. Из вышеизложенного следует, что учет неизбеж­ ной (хотя, может быть, и весьма малой) примеси белого

шума избавляет также теорию обнаружения от пара­ доксов.

При обнаружении сигнала m(Z) известной формы на

фоне стационарного случайного процесса—-.помехи /г(/)

возникают аналогичные парадоксы. Если для простоты

считать, что наблюдение входного процесса /(/) произво­

436

при u)->ztoo убывает гораздо быстрее, поэтому интеграл

(III.09) расходится и дает р = оо, что соответствует вполне достоверному обнаружению сколь угодно слабого сигнала.

Если, например, при w ->ioo функции М (со) и 5п(ш) удов­ летворяют асимптотическим соотношениям

(III. 10)

аналогичным соотношениям (III.03), то по формуле (III.09) мы получаем р — оо.

Другой пример такого типа был рассмотрен в § 21. Ес­

ли помехи обусловлены хаотическими отражениями от

многочисленных местных предметов, то согласно формуле

(21.05)

угодно слабом сигнале, как в сформулированной выше тео­ реме.

Мы приходим к парадоксальным результатам потому, что не учитываем белых шумов, всегда накладывающихся в той или иной степени на входной процесс (см. выше). Обозначая через 50 спектральную интенсивность белого

437

Заметим в заключение, что вместо постоянной спект­ ральной интенсивности So белых шумоз можно ввести

спектральную интенсивность S0(<u), приводит статистиче­

скую теорию обнаружения в соответствие с действитель­ ностью и, в частности, избавляет ее от парадоксальных следствий.

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ВСЛЕДСТВИЕ ЯВЛЕНИЯ ДОППЛЕРА

В § 68 мы рассмотрели изменение частоты монохрома­ тической волны при ее отражении от движущегося тела.

Согласно формуле (68.15) частота отраженной волны

зависит от скорости движения тела относительно передаю­

щей и приемной антенн. Для покоящегося тела %=1, при нерелятивистских скоростях тела (когда [3< 1) множи­

тель % близок к единице, однако даже весьма малые изме­ нения частоты легко проявляются на опыте, если колеба­ ние наблюдается в течение достаточно долгого времени.

Пусть мы имеем немонохроматическую волну, создаю­

щую при отражении от неподвижного тела на входе прием­

ника сигнал

который с помощью интеграла Фурье можно представить как наложение монохроматических колебаний. Если тело

движется, то благодаря явлению Допплера каждое из этих монохроматических колебаний изменяет частоту сог-

438