книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

можно написать

о

где С = £(0)— начальное значение смещения частоты. Обоз­

в последнем взять монохроматический зондирующий сиг­ нал, для которого в силу формулы (69.19) можно положить

Сравнение результатов этого и предыдущего парагра­ фов показывает, что формулу (69.24) нельзя считать уни­ версально правильной, поскольку вытекающее из нее вы­ ражение (70.26) справедливо лишь при условии (70.24),

т. е. при достаточно медленном изменении скорости частиц во времени. В § 71 мы выведем более общие формулы для функции корреляции и интенсивности спектра, пригодные

420

Отсюда видно, что дополнительный учет вращения и деформации рассеивателей приводит к такому же выра­ жению для корреляционной функции, что и в случае гене­ ратора синусоидальных колебаний, модулированного одно­ временно по частоте и амплитуде.

В предыдущем анализе не учтено то обстоятельство, что из рассеивающего объема V (рис. 60) выходят некото­ рые частицы и в объем V входят другие. Этим обстоятель­ ством можно пренебречь, если объем V достаточно велик,

адвижение частиц — достаточно медленное.

§71.ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФЛЮКТУАЦИОННОЙ МОДУЛЯЦИИ К ХАОТИЧЕСКИМ ОТРАЖЕНИЯМ

Впредыдущем параграфе для корреляционной функции помех, обусловленных отражением от хаотически движу­ щихся частиц, мы получили выражение (70.23). Считая стационарной случайной функцией с некоторым средним

значением £ и обозначая

421

Формула (70.23) принимает вид

(71.04)

=шо — £•

Сдругой стороны, в предыдущей главе мы вывели фор­

мулу (63.03), которую при отсутствии амплитудной и фа­ зовой модуляции можно переписать в виде

422

и формула (70.30) приводит к выражению (71.11). Оба предельных случая мы в сущности уже рассмотрели в § 65,

но при этом в основном обращали внимание -на спектраль­ ные интенсивности, а не на корреляционные функции.

В § 48 мы показали, что законы (71.11) и (71.12) при­ водят к совершенно различным схемам оптимального обна­ ружения пачки сигналов на фоне хаотических отражений.

При этом существенно, какую формулу нужно брать для функции г(т) при г=Т, г—2Т и т. д., где Т — период повто­ рения. Из чисто теоретических соображений, как мы ви­ дим, возможны как предельные выражения (71.11) и (71.12), так и более сложное выражение

справедливое при

Содержание данной главы в значительной степени ба­ зируется на работах Г. С. Горелика.

423

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ И ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИЕМНИКИ

Задача об обнаружении сигнала на фоне случайных по­

мех является статистической задачей о выборе одной из двух взаимно исключающих гипотез. Пусть входная функ­

(гипотезу, связанную с этим событием, мы будем обозна­

(гипотезу, связанную с этим событием, мы будем обозна­ чать через Но).

Задача заключается в том, чтобы указать правило решения, которое бы «наилучшим» образом позволило на основании функции f(t) решить, какая из двух гипотез Hi или Но верна. Очевидно, что такое решение будет тем «лучше», чем больше свойств сигнала и помехи может быть использовано при построении правила решения.

ся //-мерными распределениями вероятностей, так что бо­ лее подробно следует писать

причем к непрерывной функции нетрудно перейти, полагая Д/->0 и //->оо (ср. § 26).

Для простоты предположим, что распределения (1.03)

424

в этом пространстве. Мы будем также предполагать, что

попадании точки в область Г1 выносится решение о верно­

сти гипотезы Н\, а при попа­ дании в область Го—решение о том, что верна гипотеза Но.

обнаружения, т. е. вероятность принять гипотезу Hi, когда

пропуска сигнала, т. е. вероятность принять гипотезу Но, когда верна гипотеза Hi) и F (вероятность ложной тре­ воги, т. е. вероятность принять гипотезу Hi, когда верна гипотеза Но). В силу определений имеют место очевидные соотношения

425

т. е. цена любого неправильного решения больше цены со­ ответствующего правильного решения. Если наблюдатель принимает решения по какому-то правилу и платит ка­ кую-то цену в зависимости от того, какая из четырех воз­ можностей реализовалась, то функция потерь (называемая также функцией риска)

R = Р (1) DCd + Р (1) D0C\ + Р (0) FCf+ Р (0) FaCpo

(1.08)

определяет, очевидно, среднюю плату, причем чем меньше R, тем, очевидно, «лучше» правило решения.

стигается при минимуме интеграла, входящего в формулу (1.09). Первое слагаемое в подынтегральном выражении

формулы (1.09) в силу неравенства (1.07) отрицательно

или равно нулю, а второе — положительно или равно нулю.

Если мы выберем область Г, так, чтобы выполнялось усло­ вие

Р (I) (CDq - CD) а (/) > Р (0) (Ср - Ср) p9(f) (1.10)

или

426

Ё самом деле, исключение из области Г1 любой ее части,

в которой удовлетворяется условие (1.10), приводит к уве­ личению интеграла в формуле (1.09) и, следовательно,

•к увеличению R; наоборот, включение в область Г1 любого элемента объема, в котором справедливо неравенство, про­ тивоположное (1.10), также ведет к увеличению R.

Вводя обозначения

Наблюдателя, принимающего решения по данному пра­

вилу, в литературе принято называть идеальным наблюда-

427

телем Зигерта. Мы видим, что при построении оптималь­ ного приемника, эквивалентного этому наблюдателю, необ­

Наблюдатель Неймана-Пирсона не использует априор­ ных вероятностей Р(1) и Р(0). Согласно критерию Нейма­ на-Пирсона оптимальное правило решения должно давать максимум вероятности правильного обнаружения при за­ данной вероятности ложной тревоги. Нетрудно показать, что наблюдатель Неймана-Пирсона должен принимать ре­ шения по правилу (1.14), где, однако, порог *А определяет­ ся не формулой (1.13), в правой части которой стоят не­ известные нам параметры, а непосредственно вероятностью ложной тревоги

(1-20)

по второй формуле (1.06).

В теории статистических решений рассматривается так­ же последовательный анализ поступающих данных. При этом задаются вероятности Do и F (или D и F), время на­ блюдения не фиксируется, а остается случайной перемен­ ной, причем вводится также цена единицы времени. Вальд показал, что оптимальное правило решения, дающее мини­ мум функции риска, зависящей в данном случае и от вре­ мени наблюдения, достигается при следующем правиле решения:

Наблюдение происходит до тех пор, пока А не перейдет первый раз любой из порогов Л* или .*А

428