книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

го

сигнала равны

Р(т)=1, Р(0) = 0,

(50.01)

и

требуется измерить параметр т сигнала m(t, т).

Эта постановка задачи соответствует „чистому" изме­

рению, для которого формулы (29.28)—(29.30)

принимают

вид

Pi {т (т)] =

, А = Ja (т) dz,

(50.02)

где

А (’) = />,,(’)

(50.03)

и указывать

какое-то определенное значение параметра т

как

результат

измерения. Схему, принимающую это реше­

ние,

можно считать включенной в оптимальный приемник

(ср. § 30).

вероятное значение х, т. е. такое

зна-

Наиболее

ч.ение х, при котором плотность еероятности pf

[m(x)]

естественно определить

как результат измерения

и считать *„измеренным

значением х.

(

н

exp

-1 X QghVg~ mgW\fh~ тМ

1

2g, h-\

н

(50.04)

■

S *W

g, /1=1

Легко показать, что отыскание

наиболее вероятного значе­

ния х

приводит к

некоторому обобщению метода наимень­

ших

квадратов.

Действительно, пусть сначала помеха яв­

ляется некоррелированной,

так

что

Qg/i = 0 при g=/-h и,

кроме того, все элементы

равны.

Тогда максимум Л(х)

достигается (при

рт(у) = const),

когда выражение

н

(50-05)

/1-1

нужно брать квадратичную форму,

учитывающую корреля­

цию помех

£“ =

^s~~nle

Uh—mnW>

(50.06)

g. л

а

также

учитывать

и априорное

распределение

рт(ъ) (при

рт С1)

C0Ilst)-

Если имеется еще

неизвестный параметр 6,

то

коэффициент

правдоподобия

Л (т)

вычисляется по фор­

муле (29.34).

В качестве примера рассмотрим измерение неизвестной

амплитуды а сигнала известной

формы s(t)

m(t,

a) = as(t).

(50.07)

Пусть амплитуда а

распределена по

нормальному закону

а»

1

2а0

'

<50'08’

= Fitе

Если

перейти к

выборкам

функций f (t) и m(t)

в

моменты

th,

обозначая

t =

Sfl=s(th), h={,...,H

(50.09)

и

считая

выборки

помех

nh в моменты th независимыми,

причем

пй=0 и

=

(50.10)

величин п1,...,пн

в виде

I

н

—

Л-1

• (50Jl)

I

Поэтому коэффициент

правдоподобия Л (а) равен [ср. (32.03)]

!

®(а)—|-!х(а)

Л(а) = рте(а)е

,

(50.12)

где величины (а)

и и. (а)

равны

g, h

h

(50.13)

H (a)

rnh =

•

. л

Л

Учитывая

формулу (50.08), запишем коэффициент прав­

доподобия в

виде

.

, .

1

( а VI г

а2 / 1 I

1 V 2 \ I

■

(50.14)

'

(<,*=Гк^ехр

{^2?Л -т(

'

h

'

h

/ '

Наиболее вероятное

значение

параметра

а обозначим

через

а. В соответствии со сказанным выше,

при

а = а функция

А (а)

максимальна,

поэтому а определится

из уравнения

н-ф: )= о.

«so. 15)

(50.17)

Если он

велик,

то

формула (50.16) принимает

вид

2jS/i

(50.18)

так что

наиболее

вероятное

значение а не

зависит

от па­

раметра

а0>

характеризующего

априорное

распределе­

ние (50.08).

Представим Л (а) в виде

А (а)=-А_exp I— (а~.а)2

-4-<а VHP ] .

(50.19)

1 2r-a0

1

а0

\а0 J 2а2

(

I

1

+Р

>

Формула (50.19) показывает, что

апостериорное распреде

ление величины а также является

гауссовым, причем сред­

нее значение этого распределения

является случайным и

равно а, а

дисперсия

от

случайных

величин не зависит

и

равна

Ь = 1+7-

(50.20)

Исследуем статистические свойства

случайной величины

а.

Усредняя

fh по помехе, мы получим

fh = mh = ask’

(50.21)

и

поэтому

х

ря

а — .-у—’

Н р

(50.22)

(а —

* \2

РЙ0

а г

=7^—й

v

■

’

(1+р)2

Ра (a)= V 2лр а0 ехр

(50.23)

Таким образом, величина а имеет

математическое ожи

вестного параметра

а на

величину

а— а = — гру,

(50.24)

зависящую от самого параметра а. Дисперсия

а опреде­

ляется

второй

формулой (50.22);

она не

зависит от изме­

ряемого

параметра

а.

Удобно

вместо

двух

дисперсий

(а — а)2

и b ввести понятие средней квадратичной ошибки

измерения Д2,

определяемой формулой

Д2=Да —а)2.

(50.25)

В силу

формул (50.23) и (50.25) имеем

Z

55

т

* ~

т

ран + а2

Формула

(50.26)

показывает,

что

Средняя

квадратичная

ошибка

измерения

в

общем

случае

больше

дисперсии

(а—а)2

и

только

при

а —О,

достигая

своего

минимума,

становится

ей

равной.

Усредняя Д2

по случайному пара­

метру а,

получаем

«о

(50.27)

Да-гт-р = 6’

т. е. средний

квадрат

ошибки,

усредненный

по

всем воз­

и

дисперсия

а —а,

(50.28)

_______

9

*■__________________П

(50.29)

(а-а)2 = т=^

не

зависит

от

неизвестного

параметра

а и

от а0,

т. е. от априорного распределения

(50.08),

а определяется

лишь интенсивностью шумов а2

и

энергией сигнала

•

Апостериорное

распределение

при р > 1

гораздо

острее

априорного,

при этом его дисперсия равна

При р -► 0 мы получаем

а=--0

(50.32)

при любом значении а, откуда

а —0 и а — а——а,

(50.33)

а дисперсия

(а — а)2=0.

(50.34)

Дисперсия же апостериорного распределения

при р -> 0

будет равна

Ь~а20,

(50.35)

Д2 —а2,

(50.36)

а ее усредненное значение

Д2 = Яд.

(50.37)

не зависит

от параметра а0. Тогда при любых р

и фикси­

рованном

значении а

распределение случайной

величины

а, определяемой формулой (50.18), будет равно

/7о(а) =

__ (а— а)2

(50.38)

2

2 —

Р

—

1

а = а,

|

Г-

’

•’ - ""

I

<50-39>

(

'

' J

Недостаток

величины а,

определяемой формулой (50.18)

при любых р,

состоит в

том, что при

р О

дисперсия

(а — а)2 неограниченно возрастает. Кроме того,

дисперсия

ных процессов m(t) и

n(t) -нормального

типа, удовлетво­

ряющих соотношениям

т, — о

mm. — R'"h,

(51.01)

2

’ 8 h

8h

I

«л=0, ngnh = Rngh.

причем

поставим задачу об измерении

каждого элемента

mh при наличии помех nh.

Априорная /7-мерная плотность вероятности полезного

сигнала

равна

1 —:

и

ехо /—V QZhmamh\y

2»)» Det || RS,||

• (

*2^* _, e‘ ‘ ‘J

(51.02)

а априорная //-мерная

плотность

вероятности

помех равна

н

Р(п.,..п„) =

...... ---------. ехр /—т V Q\nnnA.

(51.03)

Коэффициент правдоподобия можно записать в виде

Л (7ПХ,..

...,тн)

P(h — ™ъ ..fH— тн)

1________

'|/'(2л)//Det

ехР/

g.h

mgrnhA~

'

(51.04

Найдем наиболее вероятные значения mg,

для

чего ре­

шим систему уравнений

^=0. g=l,..Н.

(51.05)

Учитывая симметрию матриц ||Q^A|j и l|Q^||,

мы

получим

для искомых величин

mg уравнения

!

h

(51-06>

«”=||^4

<51-09)

<2"=||<г';ц. <г”=!К4 Q-1144

так чт

Q R = R,>Qn = QmRm = RmQm = QfRf = RfQf=E,

(51.10)

гдеЕ— единичная матрица.

Тогда уравнения (51.08) запи­

шутся так:

(Q- + Q-)^ = Q"

(51.11)

и умножение на Rn слева дает

(RnQm + E)k^(Rn + Rm)Qmk = RfQmk==E,

(51.12)

откуда получаем

Qmk = Qf,

(51.13)

и окончательно

k = RmQf, kRf = Rm,

(51Л4)

Это уже совпадает с соотношениями (26.12)

и (26.10).

Таким образом, операция выделения случайного сигна­

ла из. случайной помехи

по максимуму

коэффициента