книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

m(t, 6) = е (/) cos [шд/1 — ф(£) — 0],

(33.01)

где е (I) — его огибающая, со0— несущая частота,

ф(/) —

=

—Фл —°)’

(33.02)

и коэффициент

правдоподобия А (0) можно записать в виде

? (») — 4- р- (в)

где

Л(0) = рот(6)е

,

(33.03)

н

н

Ф(0)= Yi

g,h=i

g.h= l

(33.04)

н

н

=

= J Qgft%cos(%^-

— <|* g — 0) cos (co^A — фл — 0).

(33.05)

Произведем некоторые

преобразования. Величину <р

представим в

виде

ср = cos 0 £ Qghfeen cos Wh — ФЛ) +

+ sin 0 Qghfgeh sin WA - фА) =

= х cos 0 4~ У sin 0 = S cos (Ф — 0),

(33.06)

где введены обозначения

х = Q cos Ф = 2Qgftfgeh cos (<VA — <pft),

у = S sin Ф = SQgJgeft sin (<VA — фА),

(33.07)

<§=/ л-2 + У; tg®=-£-.

Величина p равна

H = 4- J] Qgheseh cos [<0o {te -

-(Фг - ФЛ)1+

T У Qgheseh cos К Vg + ^л) - (Фг + Фл) — 2°1-

(33-08)

АЛ) = 2Г ПРИ 0<6<2т:.

(33.10)

Тогда

о

= е

___

(33.11)

2Ч(£),

где /0($)— модифицированная

функция Бесселя

нулевого

порядка, определяемая формулой

т г ох

1

2тс

<? cos X

С

(33.12)

Л (<§)

2п

j

е

своего аргумента, поэтому решение

удобно принимать по

величине Q. Итак, оптимальное правило решения будет:

если

то

считаем f = т-\- п,

(33.13)

если

(3 <

то

считаем f

— п,

где

— порог

решения.

Рассмотрим подробнее смысл величины Q. Формулы

(33.07)

показывают,

что величина Q равна

<§ = / л2 + /,

(33.14)

где х и у— величины,

получающиеся на выходе

двух квадратурных каналов;

первый из этих каналов есть

нала m(t, 0), т. е. сигнала с фазой

6 = 0,

а второй — та­

кой же фильтр для сигнала m^t,

с фазой 0=-^-.

Поэтому $ является огибающей на

выходе

оптимального

/<(«)) = e-i‘e/»4-74 -

(33.15)

'

5,Дм)

’

где М (м) есть спектральная

амплитуда сигнала

тп(/).

сигнала важна не вся функция на выходе фильтра

(33.15),

а лишь величина

<? — ее значение

в момент t0.

Подобно

этому на выходе

фильтров (33.16)

получаются

высокоча­

стотные сигналы

вида

х (0 = S (0 cos [«V — 'г (0],

у (0 = 3 (0 sin [шД — Т (/)],

(33.17)

где 'Г Д) есть

медленно меняющаяся фаза, а

£(0==/л-2(0 + /(0

(33.18)

— огибающая.

При t == t0 мы получаем величины

х,

у и Q,

x = x(te),

y = y(t0),

3 = 3(t0).

(33.19)

Величину (3 можно получить и

с помощью одного вы­

сокочастотного фильтра,

например

фильтра с

частотной ха­

£ Qglin&eh sin (y>oth - фл),

(33.20)

g,h=\

= S ^sheeeh c°s

- фг) sin (<»4

= 0,

(33.21)

g.h

= Ъ Qghegeh C0S

COS (%/л - фл) = |Л-

g.h

Как при переходе от формулы (33.08) к

формуле

(33.09),

+

(33.22)

если хп и уп — нормальные величины с моментами

= Л = °-

= 0. < =5? =^-

(33.23)

сигнала; для оптимальных фильтров а2 —

и мы

возвра­

щаемся к формулам (33.21).

величин

В силу независимости

нормальных случайных

хп и уп их двухмерная плотность вероятности равна

_хп + Уп

Р<Л,.

,

(33.24)

хfl = £fl cos• ф, flv

=£fl„81пФ,

(QQ

п

I

dxndyn = EndEnd^

получим функцию распределения

E2

_ n

E

2a2

(33.26)

,

показывающую, что случайные

величины Е

и ф незави­

_

п

Е„

2а2

(33.27)

=

.

носгь

ложной тревоги F как вероятность превышения ве­

личиной Еп порога решения

00

2

2

_ z*

_ Еп

,

f=J фе“^лг„=фе“!

г*

\=~.

(33.28)

Поэтому между нормированным порогом решения

z„ и ве­

роятностью F существует простая зависимость

z. = j/ —2 In F.

(33.29)

Эта зависимость показана на рис. 26 пунктиром.

у равны

При наличии

полезного сигнала величины х и

х = хт + хп>

У — Ут~\~ У,?

(33-3°)*

где

хт — у. cos 6,

ут — ц sin 6.

(33.31)

В этом

случае огибающая (33.14) распределена по

так на­

что хп и уп по-прежнему

нормальны и имеют

моменты

(33.23), а х/п и ут равны

хт =■ ср cos 0,

ут = ср sin 0,

(33.32)

(33.04)

среднее значение

<р

= р-

Здесь

приходится

разли­

чать огибающую £л и

фазу ф,

относящиеся к

помехе,

и

огибающую

и фазу

/ = Ф— 6, относящиеся к

суммарной

величине сигнал-фпомеха.

Мы имеем

s=/(^,+v-I-(>'„,+k)! =

=

(ср cos 0 -ф-£ncos ф)2 -ф-(срsin <)

-ф-

£„sin ф)2,

(33.33)

или

3 = V (<p)2 + 2cp£ncos»r4-£2;

Ч’=ф- 6

(33.34)

и, следовательно, величина

$

является

функцией некото­

рой постоянной

величины

ср

и

случайных величин Еп

и

lF.

Jj £„е

(33.35)

изменения

величины (33.34).

Перейдем от

полярных коор­

динат Е

и

Ф к

прямоугольным

координатам

Тогда

J- = £ncos’F,

7i

= Еп sin Ф.

(33.36)

+ i)s

1

*(

*(

e

2з8

С1Щ.

(33.37)

JJ

(S,S+dS)

Затем перейдем

к

новым полярным координатам Q и /по

формулам

? + $ = (^cosx,

у/ = S sin /.

(33.38)

В силу

соотношения

Е* = 52

+ ? = (?)2 “ 2? S cos у. +

(33.39)

мы получаем

_(V)a+<?2

cos 7

,р

If”

SdS

w

,

(33.40)

/2ffl((3W=—е

J е

d'£

или окончательно

О

_ W + &

f>

2’2

/-

(33.41)

Р„, («)=т- е

Л (?А) ■

Последнее

выражение при

отсутствии полезного

сигнала

(<р = 0)

переходит в (33.27),

а

при

наличии

полезного сиг­

и2 +

Рт

Г е

(33.42)

, p=(iY

(33-44)

/?OT(z) = ze 2 /0(Крг),

(33.45)

J pm(z)dz=fj ze 2 Io (y^zjdz^l.

(33.46)

F — e

О

,

z*

^9

2

= —

’

*

о

(33.47)

00

? + Z*

D — ^ze

2

I0(/pz)dz.

Zv

)

Для оптимального приемника,

исходя

из соотношений а2 —

= р=:|х, имеем:

00

_ p.+z2

(33.48)

D = Jze

2

70(j/p.z)dz.

z»

составлены С. А. Наволоц-

Таблицы интегралов (33.47)

кой,

однако этих таблиц недостаточно для расчета D при

*

При переходе от переменной <?

к новой

переменной z мы полу­

больших р или

р.

Этот недостаток восполняет асимптоти­

ческая формула

ОО

V-+Z*

оо у2

(33.49)

D = pe

^fT^dy,

2.

у,

полученная В. И.

Бунимовичем, в которой

^ = г#-/р-т)

(33.50)

и

1

z. — |/р

(33.51)

2 /р,

(2 /й2

что

при т] = 0 она формально переходит

в формулу (31.35)

для простого обнаружения.

тов

На рис. 29 графически представлены результаты расче­

D по таблицам (сплошные линии) и

по формуле (33.49)

Рис. 29.

Характеристики

обнаружения сигнала

с неизвестной фазой:

-------------- по

таблицам функции Райса;--------------------

по формуле

Бунимовича, т; — —=: ; --------------

по

той же формуле

2 И|Г

при ?!

— 0.

тирные линии). Рисунок показывает, что при

заданных F

и \D для обнаружения сигнала с неизвестной

фазой тре­