книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

в то время как формула (59.03) дает

получим вместо выражения (59.01) следующую формулу:

р (гх, z\ ,. . ., zH, z* H) = Я,‘'ИеХР{~^Х(^г/г +

h

+ wA) ~ 4"J] Rghwg wh' } *dW'dw . . . dwHdwH.

(59.15)

370

так что

372

С точки зрения теории вероятностей значение гауссовых случайных величин определяется тем, что величины, каж­ дая из которых является суммой достаточно большого чи­ сла независимых (или слабо зависимых) случайных вели­ чин, имеют распределение, близкое к гауссовому. В теории вероятностей исследуются условия, при которых гауссово распределение (59.13) является предельным в этом смысле.

§60. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ОГИБАЮЩИХ

Вгл. VII мы пользовались для комплексных случайных величин несколько иными обозначениями. Мы исходили

из вещественных случайных величин

mx = Gxcosyx, t»x==Gxsin yx (х= 1, ..., L) (60.01)

и считали их гауссовыми. При этом естественно предполо­ жить, что одномерная плотность вероятности />(ух) и двух­

вероятностью. Из соотношений (60.02) вытекают тож­

дества

cosyx = 0, sinyx = 0,

cos(yx4-yx) = 0, sin (Yx+Yx”) = °-

. (60.03)

cos yx cos yx = sin yx sin yx, cos ух sin Yx= — sin yx cos yx,

373

откуда получаем

и = 0, v = 0,

(60.04)

если сделать дополнительное предположение, что величины

374

откуда

375

формул (60.04) является недостаточно строгим. Ввиду то­ го, что из этих формул вытекают многочисленные и важ­ ные следствия, следует отметить, что строгое изложение

вопроса должно основываться на определении огибающей

и фазы случайного процесса, данном В. И. Бунимовичем (см. его книгу). Обычно же эти величины вводятся с ма­ тематической точки зрения недостаточно корректно, что не

позволяет дать убедительного доказательства формул

(60.04).

§ 61. ТЕПЛОВЫЕ И ДРОБОВЫЕ ШУМЫ КАК ПРИМЕРЫ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайные величины возникают при рассмотрении «вы­ борок» случайных процессов, т. е. значений различных слу­ чайных функций времени в дискретные моменты. При этом

нормальными, или гауссовыми, случайными процессами на­

зываются такие процессы, выборки из которых имеют рас­ пределение Гаусса (см. § 59), или, что то же самое, ха­ рактеристическую функцию вида (58.07).

В теории оптимальных приемников обычно предполага­ ют, что помеха является стационарным случайным процес­ сом нормального типа. Часто делают еще одно дополни­

тельное предположение (от которого мы полностью осво­ бодились в данной книге), что помеха является «белым шумом», т. е. имеет постоянную спектральную интенсив­ ность, и, будучи некоррелированной во времени («абсолют­

но случайный процесс»), может быть представлена, как беспорядочное наложение возмущений с нулевой длитель­ ностью (ср. § 12 и 17). Существенно отметить, что соб­ ственные шумы приемника — тепловые и дробовые, которые будут подробно рассмотрены ниже,—дают основа­ ние для такой идеализации. Однако представление о по-

■376

мехе как о белом шуме ведет к некоторым математиче­ ским трудностям, не вполне соответствует физической ре­

Поскольку внутренние шумы приемников рассматрива­ ются на протяжении всей книги, целесообразно разобрать вкратце физическую сторону этих явлений.

Тепловые шумы возникают вследствие теплового дви­ жения электрических зарядов в проводниках. В каждом сопротивлении, находящемся при абсолютной температуре Т в состоянии термодинамического равновесия, в резуль­

где k—постоянная Больцмана, R—сопротивление. Это со­

отношение применимо к любому элементу электрической цепи, причем R в общем случае определяется по формуле

Мы видим, что для чисто омического сопротивления, не зависящего от частоты, флюктуационная электродвижущая сила $('/) является белым шумом, поскольку ее спектраль­

ная интенсивность является константой. Фактически, ра­ зумеется, при достаточно высоких частотах постоянство Sg (со) всегда нарушается вследствие остаточных емкостей

или индуктивностей, скин-эффекта или квантовых явлений.

Нужно еще учесть, что при росте частоты квазистационар-

ное рассмотрение цепи и вместе с ним формула (61.01) те­

ряют свой смысл.

Оказывается, что для металлических проводников фор­ мулу (61.01) можно применять в случае, когда по ним те-, кут постоянные или переменные токи, т. е. когда, строго говоря, термодинамическое равновесие отсутствует. Объ­ ясняется это тем, что прохождение не слишком сильных токов через металлический проводник возмущает тепловое движение электрических зарядов лишь в незначительной степени, так что флюктуации по-прежнему подчиняются формуле (61.01).

Дробовой эффект в электронных лампах возникает как результат дискретной структуры электронного потока. Ес-

377’

ли, например, мы имеем диод, к которому приложено до­ статочно большое анодное напряжение, так что все испус­ каемые катодом электроны поступают на анод (рис. 56,а), то вследствие флюктуа­ ций катодной эмиссии на средний анодный ток J

накладывается случай­ ный «дробовой» ток /(О со спектральной интен­

сивностью

S^^eJ, (61.03)

белым шумом, поскольку его спектральная интенсивность не зависит от со. Фактически, если под /(/) понимать ток во внешней цепи диода, формула (61.03) применима при условии

где То есть время пролета электрона через диод или дли­ тельность импульса во внешней цепи, появляющегося при прохождении одного электрона от катода к аноду. При ®То>1 происходит резкое спадание спектральной интен­ сивности дробовых шумов.

В сущности говоря, дробовой шум является физической реализацией той модели случайного процесса, которую мы рассматривали в § 12, поскольку он состоит из беспо­ рядочно возникающих возмущений (импульсов) стандарт­ ной формы.

Благодаря наличию пространственного заряда в элек­ тронных лампах лишь часть испускаемых катодом элек­ тронов доходит до анода. Оказывается, что пространствен­

ный заряд уменьшает дробовой эффект, так что для диода

где F есть так называемый коэффициент депрессии дробо­ вого эффекта, a J—анодный ток.

Отметим, что электронная лампа является неравновес­

378