Мы видим, что в этом случае |
изменение частоты опреде |
ляется |
радиальной |
составляющей |
|
скорости, поскольку |
(ср. рис. 59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos<p = -F-^=y. |
(68.17) |
При <р |
= zt |
мы имеем <о:!, = ш, |
т. е. |
частота не изменяется. |
При |
р<1 |
|
формулу (68.16) |
можно переписать в |
|
более |
простом .виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оJ |
* |
<В ( 1 |
— 2 Р COS ср) ~ |
1 |
4- |
------. |
(68.18) |
|
|
|
' |
" |
т/ |
|
2 р cos <р |
' |
' |
Дадим теперь |
элементарный, хотя |
и нестрогий |
вывод |
формулы (68.16) при <р = 0. Для этого рассмотрим отраже ние плоской волны
£°=£ocos<»(f-^, (68.19)
распространяющейся в направлении оси х, от .плоского
идеально проводящего |
зеркала, |
перпендикулярного оси х |
и движущегося со скоростью v вдоль нее, так что в |
момент |
t зеркало имеет абсциссу |
|
|
|
x — vt. |
|
(68.20) |
Волну, отраженную от зеркала, |
мы будем искать |
в виде |
Е;=-£0со5<Ц/+^) |
(68.21) |
с неизвестной частотой |
ю.* Поскольку на зеркале |
должно |
выполняться граничное условие |
|
|
E°y-[-Ey=Q при |
x — vt, |
(68.22) |
мы приходим к соотношению |
|
|
cos <о (1—ру = соз<ой.(1 Д-р) t, |
(68.23) |
которое может удовлетворяться при любых t, если только частота *со отраженной волны равна
что полностью согласуется с формулой (68.16). Послед
нюю формулу можно получить и |
при ? = |
заставляя зер |
кало двигаться в отрицательном |
направлении |
оси х и, сле- |
довательно, заменяя в формуле (68.20) v на —v, а в фор
муле (68.24) р на —р. Наконец, при движении зеркала перпендикулярно к оси х, когда оно остается в одном и том же положении на оси х, изменения частоты при отра жении происходить не должно, в полном соответствии с формулой (68.16).
Явление Допплера для немонохроматических волн рас смотрено в приложении IV.
§ 69. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ ПОМЕХИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ ХАОТИЧЕСКИМИ ОТРАЖЕНИЯМИ
Пусть хаотически расположенные частицы (рассеиватели) облучаются волной, переносящей случайную функцию m(t),
спектральная интенсивность которой |
есть Sra(co). Рассеива |
тель с номером а создает |
отраженный сигнал, |
соответст |
вующий случайному процессу na(t) |
со |
спектральной интен |
сивностью S„a(a>). Совокупность всех |
таких сигналов и соз |
дает помеху работе радиолокатора. |
Если обозначить через |
?]а величину |
|
|
|
|
|
|
|
7)а = 2р cos?a = -^, |
|
(69.01) |
la |
‘а |
* |
а |
С |
|
|
|
где игл — радиальная скорость |
a-го рассеивателя, |
то спек |
тральная интенсивность S„a(co) будет равна |
|
|
5я.(») = ЗД1+1|.)], |
|
(69.02) |
где Гв — постоянный |
коэффициент, |
зависящий |
от |
отража |
тельной способности данной частицы, ее ориентации и рас
стояния до нее, а |
Sot(o>)— спектральная интенсивность из |
лучаемого сигнала. |
сигнале, занимающем достаточно |
узкую |
При |
полезном |
полосу |
частот |
|
|
|
|
|
|
(ш0 — несущая частота), |
(69.03) |
и при значениях |
ija, удовлетворяющих условию |
|
|
|
|
hj<l, |
(69.04) |
формулу (69.02) |
можно переписать так: |
|
|
|
|
S».W = rSJ»-|-U. |
(69.05) |
где £< = (|Ма и мы |
пренебрегли произведением малых ве |
личин т}аДо>. Формула |
(69.05) показывает, что при отраже |
нии от а-й частицы спектр смещается из-за явления Доп плера на Св, не изменяя своей формы. При тех же условиях
коэффициент Гв в формуле (69.05) можно считать не зави
сящим от частоты «о. Заметим, что на практике условия (69.03) и (69.04) можно всегда считать выполненными.
Вследствие беспорядочного расположения частиц в про
странстве отраженные от них сигналы складываются неко
герентно, так что полная |
спектральная интенсивность по |
мехи равна |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(69.06) |
|
|
—оо |
|
|
|
где W(C)rfC |
дает нам |
интенсивность |
отражений от |
рассеи |
вателей, обусловливающих |
смещение частоты в интервале |
(С, C-f-t/C). |
Функция |
W определяет |
распределение |
частиц |
по радиальным скоростям; |
ее часто |
можно считать |
„коло |
колообразной" функцией (подобной функции распределения
Максвелла, определяющей распределение молекул по ско ростям), максимум которой соответствует некоторой сред ней скорости движения частиц „в целом". Если „разброс"
значений С вокруг наиболее вероятного значения С достаточно мал по сравнению с шириной полосы Д<», то в формуле
(69.05) множитель SJ&-1-С) |
можно вынести за знак интег |
рала, положив в |
нем С = С, |
и мы получим более |
простую |
формулу |
|
= |
(69.07) |
|
|
переходящую при |
С = 0 в выражение |
|
|
|
|
= |
(69.08) |
Здесь и |
в дальнейшем мы для простоты нормируем Sm(iu) |
и W (Q так, |
что выполняется соотношение |
|
|
|
flE(Q<=l. |
(69.09) |
Если далее для функции Sm (ш) подставить выражение
(12.14), соответствующее некогерентной последовательно-
сти импульсов произвольной формы, то |
формула (69.07) |
примет вид |
|
8п («>) = а | М (ш + Q |2, |
(69.10) |
а формула (69.08) даст выражение |
|
8я(Ш) = о|ЛЦ<<, |
(69.11) |
которое было использовано в § 21. Оно соответствует не
подвижным случайно расположенным частицам, в то вре мя как формула (69.07) соответствует частицам, движу щимся как твердое тело, а формула (69.06) — частицам, беспорядочно движущимся друг относительно друга.
Выведем выражение для корреляционной функции, со ответствующей спектральной интенсивности (69.06) и пе риодической функции m{t), которую можно считать пре дельной формой случайного процесса. Предположим сна чала функцию IF(£) четной, т. е.
Тогда |
|
Г(— С) = Г(:). |
(69.12) |
|
|
|
|
|
ОО |
|
00 |
00 |
|
|
|
J &ian |
J e^ttZ(C) dC. |
|
—OO |
|
—00 |
—00 |
•Если |
ввести обозначения |
|
(69.13) |
|
|
|
|
|
00 |
<69-14) |
|
|
= s »p'Xw* - |
|
|
|
— 00 |
|
|
|
г(т) = |
(^)rfC, |
(69.15) |
|
|
|
—00 |
|
то окончательно |
получаем |
|
|
|
|
= |
(69.16) |
где |
есть |
периодическая функция т,. |
обусловленная |
отражением периодически |
повторяющегося |
сигнала от со |
вершенно неподвижной совокупности частиц, а г (х)—коэф фициент корреляции, обусловленный хаотическим движением
частиц, причем г (0) = 1 |
в силу условия |
(69.09). |
Если условие (69.12) |
не выполняется, то функция г (-с) |
не является четной и формула (69.16) |
нуждается в уточ- |
нении. В этом случае нужно |
учесть, |
что формула (69.05) |
справедлива |
лишь |
при |
ю>0, а при <п<)0 |
спектральную |
интенсивность |
нужно |
вычислять с помощью соотношения |
|
|
|
S„(-a>) = S». |
|
|
(69.17) |
Автокорреляционная |
функция поэтому |
равна |
|
|
ОО |
|
|
|
00 |
_ |
|
|
|
1 |
Р fan |
|
|
1 Р fan |
|
= |
|
|
J е |
S»dt0==Re7|e |
|
|
|
—оо |
|
|
|
О |
|
|
|
|
= Re - С W (С) dZ f e‘“T S (<о 4-r,) |
= |
|
|
|
7С |
1 |
|
I |
77Z |
|
|
|
|
|
|
—оо |
|
О |
|
|
|
|
|
—-Re-^- |
J |
|
W (Q < J е"“т |
SJ«>)du>. |
(69.18) |
|
|
-оо |
|
|
-С |
|
|
|
|
Учитывая |
условие |
(69.03), |
можно |
заменить во |
внутрен |
нем интегоале |
нижний |
предел — С |
на 0 |
и |
ввести вместо |
функции (69.14) |
новую комплексную функцию |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
t69-19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим че |
не являющуюся уже функцией корреляции. |
рез С смещение частоты, обусловленное |
средним движени |
ем частиц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = j |
(Q dt, |
|
|
|
(69.20) |
|
|
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
И ПОЛОЖИМ |
|
|
uz (С) = IF0 (С — Q |
|
|
|
(69.21) |
и |
|
|
|
|
|
г (г) = J е^Х (Q rfC, г (0) = 1, |
|
(69.22) |
|
|
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
так что новая комплексная функция г(т) |
обусловлена рас |
пределением скоростей частиц в системе координат, дви жущейся со средней скоростью частиц. Учитывая, что
-ib |
(69.23) |
е U7(C)dC = r(x)e , |
—00
мы можем записать формулу (69.18) в виде |
|
|
7?Дт) = Ке{/?„1(т)г(т)е-/% |
(69.24) |
Если движением частиц в целом |
можно пренебречь (ч=0) |
и если к тому |
же функция |
Wg |
(Q является четной, то |
функция г(т:) становится четной и |
вещественной, и мы по |
лучаем простую формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(69.25) |
эквивалентную |
формулам |
(67.02) |
и (69.16). |
Первый мно |
житель |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
i<ox |
|
|
= |
1 |
(* |
(69.26) |
|
= |
|
Sm(u>)du |
|
|
|
—00 |
|
является периодической функцией т; второй |
множитель |
дает дополнительное спадание корреляционной функции |
во времени, обусловленное |
беспорядочным движением (раз |
бросом скоростей) частиц. Если распределение частиц по
скоростям—функция Wo (Q — имеет колоколообразную форму
с шириной |
(со. |
конец § 3), |
то |
множитель г (и) заметно |
спадает при т, |
равных |
или |
больших времени корреляции |
|
|
|
Д" i ■ |
(69.27) |
В зависимости |
от |
соотношения |
между Ат и периодом |
повторения Т характер помехи будет различным (ср. конец
§ 67).
Если перейти к дискретным выборкам — по Н выборок
в каждом из L периодов повторения, то функция корреля ции помехи, обусловленной хаотическими отражениями,
будет согласно формуле (69.24) |
равна |
|
|
|
(69.28) |
где |
|
|
= |
/1 = 1,(69.29) |
есть комплексная функция внутрипериодной |
корреляции, |
гхХ = г((2 —х)Г), гхх=1, |
х, Я = |
(69.30) |
- комплексный коэффициент междупернодной корреля ции, который можно считать постоянным на протяжении времени внуприпериоднсй корреляции, а
|
Дф=ХГ |
|
(69.31) |
— приращение |
фазы, обусловленное упорядоченным дви |
жением частиц как целого. Поскольку функции |
(69.19) и |
(69.22) удовлетворяют соотношениям |
|
|
г(-т) = г*(4 |
(69.32) |
то |
= |
= |
(69.33) |
|
и матрицы |
и ||гхХ|| являются |
эрмитовыми. |
|
§ 70. РАССЕЯНИЕ РАДИОВОЛН НА БЛУЖДАЮЩИХ ЧАСТИЦАХ
Рассеяние радиоволн на хаотически движущихся части цах можно1 исследовать с более общей точки зрения. К со жалению, этот более общий подход эффективен лишь для монохроматического излучения, так что его приходится использовать наряду с формулами § 69.
Представим себе, что монохроматическая электромаг нитная волна частоты ©о рассеивается на беспорядочно движущихся частицах (рассеивателях). Рассеянная волна, поступающая в приемную антенну В, дает помеху
«(O = 2Y“COS^oZ“0“)’ |
(70.01) |
а |
|
где коэффициент уа определяет амплитуду волны, |
переиз- |
лучаемой в направлении В частицей с номером а, а |
есть |
фаза этой волны, зависящей от расстояния между части цей и передающей антенной А, от расстояния между части
цей и приемной антенной В, а также от рассеивающих свойств частицы. Суммирование производится по всем ча стицам, попавшим в «рассеивающий объем» V, образован
ный пересечением главных лучей антенн А и В (рис. 60). Выберем в рассеивающем объеме некоторый „центр"
О и обозначим через & угол АОВ (так что при совмеще нии приемной антенны с передающей мы получаем &=0). Обозначая через Ра центр а-го рассеивателя, введем углы
Ъ~£АОРл, ъ=£ВОРа. (70.02.
блуждающих частицах.
Если обозначить через ра радиус-вектор ОРа (см. рис. 61) то при условиях
ДО>ра, ВО>ра, ВО>£р« (70.03)
расстояния точки Ра до антенн А и В по теореме косину сов можно записать в виде
АРа = АО — Pac°s za, |
ВР=ВО- pacos х' |
|
(70.04) |
и фаза 0ав формуле (70.01) равна |
|
|
|
|
Qa = k (АО 4- ВО) — k?a (cos /а + cos xj + |
(k = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(70.0£ |
где слагаемое 5a |
определяется уже самим |
рассеивателем |
а не его положением. |
При движении рассеивателя расстоя |
ние ра и углы хя |
и Хя |
меняются, поэтому фаза 0а |
зависи |
от t. Обозначая |
постоянную |
(не |
зависящую от |
t) |
часть |
фазы через 0°, можно переписать |
формулу |
(70.05) |
в виде |
ea = 0’-2^pacosbp?cos^+b. |
|
(70.06) |
Из рис. 61 имеем
х:+х. = 2«-О. ZCOP. = J + z; =
= 2« —4~Х. = ч + ** 2 **. |
(70.0") |
так |
что формулу (70.06) |
можно переписать так: |
|
|
|
© =C-24cos4, |
|
(70.08) |
где |
|
|
|
А — К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(70.09) |
|
£а = — P«c°s—2— = Ра cos СОРа |
есть |
проекция |
радиуса вектора ОРа |
на |
линию ОС—бис |
сектрису угла АОВ. |
|
|
функцию случайного |
Вычислим теперь |
корреляционную |
процесса п(0 |
|
|
|
|
|
|
n(Qn(/ —-с) = jP у |
cos |
0e(O]cos[<»o(f—т)—0?(/—т)] = |
|
at |
£ |
|
|
|
|
|
|
=T X |
C0S [U)OX-0a(O+M~'t)l + |
|
|
a, ? |
|
|
|
|
|
|
|
cos t2u)oz — “V — 0«(0 — |
— )]•* |
(70.10) |
Необходимость |
статистического подхода |
к функции n(t) |
обусловлена, во-первых, |
беспорядочным |
расположением |
рассеивателей в |
любой момент времени (скажем, |
в момент t) |
и, во-вторых, их случайным движением—„блужданием" —
с течением времени (скажем, в промежуток от t — т до t).
По формуле (70.08) имеем
|
в V = е«V-2kcosТК)]*(0- |
*- |
t |
|
— Qa(t — х) —- 2k cos уJ va(s)ds, (70.11) |
|
t- T |
”e va — составляющая скорости a-го рассеивается в направ-
|
7 _нии |
биссектрисы ОС. Предполагая |
полную беспорядоч |
|
ность |
расположения |
рассеивателей |
в |
момент t, мы по |
|
учим |
|
|
|
|
|
|
cos [u>ox — 0a (0-j- |
(t —• -с)] = 0 |
при |
а^р, |
(70.12) |
|
cos [2а>(/ — юот; — |
0a (t) — Q^t — х)] = 0 |
|
|
при любых а и р.
Первое из написанных соотношений при |
неспра |
ведливо, поскольку |
в этом случае по формуле |
(70. Н) |
з квадратной скобке |
будет стоять разность |
|
|
t |
|
0а(П — 0в(^—^)=—26 cos у J fa(s)ds, |
(70.13) |
t—т
гак что случайно распределенные фазы 0а(/) и 0р(/) сокра щаются, и статистическое среднее не равно нулю. Поэтому формула (70.10) принимает вид
|
0 |
t |
|
«(0 п (t — 4 = |
f |
va (s) ds. |
cos wot 2k cos у |
I |
|
a |
t—z |
(70.14) |
|
|
|
Сделаем далее третье упрощающее предположение: бу дем считать, что скорость иа (/) есть стационарная слу
чайная функция времени, свойства которой одинаковы для
всех частиц в данном рассевающем объеме. Тогда в фор
муле |
(70.14) можно заменить |
|
|
|
t |
|
т |
|
|
У va(s)ds на |
\v(t)dt, |
(70.15) |
|
t—т |
|
0 |
|
и формула (70.14) упрощается следующим образом: |
|
______ |
У 72 ’ |
|
|
|
'=)=~2± cos |
шот: -|- 2k cos у J v (t) dt . |
|
|
|
|
(70.16) |
Мы видим, что вычисление |
корреляционной |
функции |
помех |
математически |
эквивалентно вычислению |
корреля |
ционной функции источника синусоидальных колебаний, модулируемого по частоте некоторым случайным процес сом. Роль модулирующей функции играет случайная ско рость частицы п(0, которую можно представить в виде
— |
Дп (Q, |
|
(70.17) |
где не зависящая от t скорость v есть |
средняя |
скорость |
частиц — скорость перемещения их как целого, а |
Ди есть |
случайная скорость частиц, среднее |
значение |
которой |
равно нулю |
|
|
|
