книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

ной системой, поэтому для нее формула (61.01) неприме­ нима и флюктуации имеют совершенно иную физическую

природу, что и находит свое отражение в формулах (61.03) и (61.05) для диода. Интересно, что можно себе предста­ вить электрическую цепь с «равновесным» диодом (рис. 56,6), катод и анод которого находятся при одинаковых

температуре и напряжении и выполнены из одного и того же материала, способного испускать электроны. Если для простоты считать, что по внешней цепи анод и катод за­ мкнуты накоротко, и обозначить через /? внутреннее сопро­ тивление равновесного диода (по отношению к малым анодным напряжениям и токам), то тепловая э. д. с. $(7)> возникающая в равновесном диоде, будет связана с флюк­ туационным током I (0 через диод соотношением

поэтому по формуле (61.01) получаем

(61.07)

С другой стороны, при не слишком больших плотностях заряда соударениями электронов друг с другом в простран­ стве между катодом и анодом можно обычно пренебречь, поэтому единственным «случайным элементом» в системе, изображенной на рис. 56,6, является электронная эмиссия.

Если обозначить через Ja ток, который проходит от като­ да к аноду, то ток —Ja в равновесном диоде будет течь в

противоположном направлении—от анода к катоду, причем каждый из этих токов должен испытывать дробовой эф­ фект. Поэтому для равновесного диода мы должны иметь

формулу

Формулы (61.07) и (61.08) должны совпадать, поэтому сопротивление равновесного диода должно быть равно

Таким образом, в данном примере дробовой и тепловой шумы представляют собой разные названия для одного и того же явления.

379

При отсутствии теплового равновесия спектральную ин­ тенсивность дробового тока часто представляют в виде

шумов. Оказывается, что в диоде с задерживающим на­ пряжением и холодным анодом

причем в этом случае формулы (61.03) и (61.10) эквива­

лентны. В плоском диоде с ускоряющим анодным напря­ жением и сильным пространственным зарядом (таким, что справедлив так называемый закон трех вторых, по кото­ рому анодный ток в основном определяется анодным на­ пряжением и практически не зависит от тока эмиссии)

Выше мы рассмотрели простейшие системы, в которых

проявляются тепловые и дробовые шумы. В реальных си­

стемах эти шумы подвергаются преобразованиям. Напри­ мер, в приемных устройствах дробовой и тепловой эффек­ ты усиливаются, претерпевают фильтрацию и т. д'. В тео­ рии оптимальных приемников мы предполагаем, что поме­

■ Тепловые и дробовые шумы являются классическими

примерами нормальных случайных процессов, причем по­ сле, прохождения через линейные системы (частотные филь­ тры) они остаются нормальными. Последнее следует про­ сто из того, что.при линейном преобразовании

(61ЛЗ)

h

новые случайные величины xg по-прежнему являются нор­ мальными, т. е. имеют распределение Гаусса.

Другим примером нормального случайного процесса,

как мы уже указывали, является радиолокационная поме­ ха, вызванная'отражением от многих хаотически движу­ щихся рассеивателей (см. гл. XI),

38П

ГЛАВАХ

ТЕОРИЯ ФЛЮКТУАЦИОННОЙ МОДУЛЯЦИИ

§ 62. МОДУЛЯЦИЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО КОЛЕБАНИЯ НОРМАЛЬНЫМ ПРОЦЕССОМ ПО АМПЛИТУДЕ, ЧАСТОТЕ

ИФАЗЕ

Влитературе подробно изучены преобразования нор­

сматривали различные случаи фильтрации и детектирова­ ния случайных процессов в оптимальных системах. Если нормальный случайный процесс применяется для модуля­ ции некоторого генератора синусоидальных колебаний, то в результате возникает новый случайный процесс, вообще говоря не принадлежащий к нормальному типу и являю­ щийся сложным преобразованием исходного нормального процесса. Рассмотрению такого преобразования и посвя­ щена данная глава.

Пусть некоторый источник колебаний в отсутствие мо­

дуляции дает чисто синусоидальные колебания с частотой

(Оо и, начиная с момента / = 0, подвергается модуляции с помощью нормального флюктуационного процесса- (шу­ ма). Обозначим этот флюктуационный процесс через х(О',

где А (0 и 0(0 являются'случайными функциями.

Ml

является простейшим примером нелинейной AM.

Наряду с этим примем, что флюктуационный процесс х(/) изменяет также мгновенные значения частоты и фазы генерируемого колебания, причем как частотную модуля­

цию (ЧМ), так и фазовую модуляцию (ФМ) будем пред­ полагать линейными, так что при />0 будем иметь

о

Величины т, п и р в этих формулах будем называть со­ ответственно коэффициентами амплитудной, частотной и фазовой модуляций; в общем случае т, п или р могут быть отрицательными или равными нулю. Величину исоо часто называют девиацией частоты (в данном случае это—сред­ няя квадратичная девиация).

Под влиянием флюктуационной модуляции интенсив­ ность колебаний, первоначально (при /<0) сосредоточен­ ная в частоте соо, распределяется по частотам определен­ ным образом, зависящим от спектрального распределения флюктуационного процесса х(/)и коэффициентов модуля­

ции. Нашей задачей и является вычисление спектральной интенсивности модулированных колебаний, а также их корреляционной функции.

Для сокращения письма введем

382

и будем изучать свойства случайных функций

зультате интегрирования,—«линейной операции над функ­ цией х(7), она также будет определять нормальный слу­ чайный процесс. Обозначая

^.=х(у, У.=У(‘Л е.=т (62.10)

можно согласно формуле (58.07) написать характеристи­

ческую функцию

причем коэффициенты at,... , e2 легко выразить через кор­ реляционную функцию

определяющую закон изменения процесса x(f) во време­

ни. Согласно формулам (58.09) мы имеем:

а^л-^1, а2 = х\— 1, e1 = x1xa = r(t), (62.14)

где

— (62.15)

383

Далее

/>, =у| = г (s, — s2) dsrds2,

о

_ ^2

ьг = y\ = jj Г (s, — s2) ds^ds2,

о

t, t»

^= у5^ = Jj r{sx — s^ds^s^

о0

Знание характеристической функции (62.12) позволяет

произвести вычисление корреляционной функции модули­

рованных колебаний. К этому мы и перейдем.

384

§ 63. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР

МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Пользуясь формулой

cosacosp= 4- cos(a — В)vcos(a4“Р)> (63.01)

можно написать

Wl^WWX), =* Х-' а, (63.02)

Учитывая формулы (62.12) — (62.18), получаем

— Р [1 — г (х)]} exp <j— 1 п2^ h (т) — р2 [1

Х^е— i (^11 — ^а”)

4 n2MQh(p.y~p2 [1—r(x

так что при линейной AM корреляционная функция моду­ лированных колебаний вычисляется по формуле (63.04), где

£(х) = {[1 —imng (х)]2 -1- т2г (х) -1-

386

(для линейной AM) или

цессов и рассматривать Х(7) при достаточно больших поло­ жительных t, то следует считать

По найденной выше корреляционной функции /?(т) не­ трудно вычислить спектральную интенсивность модулиро­ ванных колебаний

Подставляя в эту формулу выражения (63.10) и (63.12), можно представить спектральную интенсивность в виде

где

^(со) = 1 J е-«(<■>-(т)<К

Эти формулы полностью решают задачу о вычислении спектра модулированных Колебаний. При пользовании ими

а вместо этого дано его спектральное распределение $ (со),

связанное с функцией г(т) соотношениями

числить искомую спектральную интенсивность S(co). В сле­ дующих параграфах мы разберем наиболее интересные при­

меры применения выведенных общих формул.

388