Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

14.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

мы без каких-либо доугих пренебрежений можем преобра зовать формулу (54.06) к виду

^(t)==|Mcos(%%-^ + 00) +

	+ X ^gh nge			~~ x)cos [<U<A — Ф			— *)]	V+
		gji						J
			+ M sin (o)0T0 — Ф 4- 60) 4-
	+ X Qghnge tth - x)sin [y)<A - Ж “ )]*							12,	(54.09)
		g.h						J
где величины /И и 'F определяются соотношениями
М cos Чr=4£] Qghe (tg—т0) е					cos [% (^Ж) —
		g.h	~ Ж~~То) + Ж~ x)b						(54.10)
			~ Ж~~То) + Ж~ x)b						(54.10)
М sin			(tg—т0) е		sin [<о0		(rg--/J —
		g,h
		— Ж~ Х<>) + Ж —т)1-
Нетрудно показать				(ср. §	53), что	7И = Л4(т — т0)			и Ф =
= Ч7 (т — т0),			причем М есть четная,			а	1Р — нечетная функ
ция т — т:0 и,			кроме того,
				и = /И(0).					(54.11)
Если		параметр \|j.		велик	(т. е. помехи достаточно сла
бые),	то	первый член в каждой из фигурных скобок (54.09),
как	правило,		значительно		больше	второго		(т. е. суммы,

обусловленной значениями помехи ng), и поэтому при обра

зовании квадратов сумм в фигурных скобках можно прене бречь квадратами этих членов. В результате получаем

£44 ЛГ (т -- т0) + 2 Л4 (т - %) IV (т, т0), (54.12)

где

X (т, т0) =

=S Q8h nge	cos	— ’c) — tooTo 4-— %].
g,h		(54.13)
		(54.13)

22*

339

Пренебрегая при вычислении квадратного корня из пра;- вой части (54.12) членами порядка № по сравнению с удер

жанными, т. е. делая то же приближение,	что и при на
писании самой формулы (54.12), .-получим
(§(х)=уИ(т: — т:о) _ф-ДГ(т;, т0).	(54.14)

Можно сказать, что при достаточно больших отношениях

сигнал/помеха выражение для огибающей <§(х) как бы „линеаризуется11, т. е. представляется в виде суммы полез

ного сигнала М и помехи IV. Чтобы избежать усложнений,

ограничимся наиболее простым случаем, когда помеха

является белым шумом
				^=04 V				(54.15)
В этом случае формулы (54.10) дают
	.44 (т — т0) = 2^0) У] е				— х«) е	— х)>		(54-16)
				h
если к	тому	же сделать предположение,				что	частотная и
фазовая	модуляции			отсутствуют	(<]>(/) = 0).		Из	формулы
(54.13) легко		находим
					пр„	t=v		(54Д7)
				h
Пользуясь		приближенным выражением
	М (т - %) = И1 - 1 (8< (т - V],							(54.18)
где				У Iе'Ой — хо)]2
				У Iе'Ой — хо)]2
				ft
мы, как и «р		§ 52	и	53, получаем	для дисперсии			Д2 изме
ряемого	значения		%	выражение
				Д = —(54.20)
по существу		эквивалентное формуле (53.16).

340

В предыдущем параграфе МЫ считали, что полезный сигнал является видеоимпульсом—колоколообразным, тре угольным или трапецеидальным импульсом без высоко частотного заполнения. Выведенные выше соотношения по

казывают, что если

полезный сигнал является высокочастот

ным импульсом без фазовой и частотной модуляции,

то при

больших

значениях у.

измерение

момента его

прихода

сводится

измерению

момента

прихода

видеоимпульса

е (t — т:)

где

—

...е

.-J.

т) — огиоающая высокочастотного им-

У 2

результаты § 53 распространяются на

пульса. Тем

самым

случай радиолокационного измерения дальности и

азимута

по времени прихода радиоимпульсов.

§ 55. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ПРИХОДА СИГНАЛА

ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОМЕХАХ

Неравенство (52.47), выведенное ранее для простого из

мерения

любого параметра, упрощается в

случае,

когда -и

есть время прихода

полезного

сигнала, поскольку

тогда

величина

уе

не зависит

от

определяется формулой

(53.12)

Не = 2 [у

-у (2s)].

(55.01)

Интеграл в правой части неравенства (52.47) тогда вычисля

ется	элементарно, и мы получаем
						(55.02)
где				ОО	Z2
				ОО	Z2
	A = 2F(±vT\=-^			f		(55.03)
			—ух
			2	r ■ -
есть минимальная вероятность ошибки в					оптимальном при
емнике, различающем дза равновероятных сигнала						m(t, х-]-
—\|—е)	и m(t, х — е) [т. е.	обнаруживающем разностный сиг
нал	(52.37)].	что при	малых е		и слабых помехах
В § 52 мы показали,		что при	малых е		и слабых помехах
в соотношении (55.02)		можно	знак	неравенства		заменить

знаком равенства, если простое измерение производится по

коэффициенту правдоподобия. При сильных помехах, когда

341

отношение сигнал/помеха достаточно мало,		Е = — и
1, мы, очевидно, имеем
—т0 \|>е)== 1 — 4^,		(55.04)
так как вероятность получить -и в данном		интервале опре
деляется априорным распределением (52.32).		Следовательно,
и в этом предельном случае в	соотношении (55.02) можно
взять знак равенства. Однако	в промежуточных случаях

коэффициент А лишь определяет нижнюю границу вероят ности ошибки при оптимальном измерении.

Величину А мы изобразили на рис. 53. Ее можно на звать коэффициентом неопределенности (или ненадежности)


при измерении.	При	>со	коэффициент		А—>0, вероят
ность ошибки	исчезает,	и	мы получаем		при измерении
определенный	результат.	При		>0 коэффициент А—+1;
это значит, что наблюдаемые				максимумы	(пики) коэффи

циента правдоподобия Л(т) или апостериорного распреде ления pf [in (x)j никаким сигналам не соответствуют и явля

ются лишь случайными выбросами помехи, полностью

маскирующей полезный сигнал.

Коэффициент А и рис. 53					допускают различные интер
претации.		Пусть мы измеряем положение сигнала на фоне
белого шума по входному процессу f (t),									причем продол
жительность			сигнала	равна	Г,	и	вне	соответствующего
интервала сигнал равен нулю.						По		формулам (52.03) и
(31.27) мы получаем:
				Л
			=гУ<-'о)<-<)							(55.05)
			п
			h
или	при	Д/ —> 0		ОО
				ОО
		1х	(х — %) = $- j m{t —					—		(55.06)
				—00
так	что	для	сигналов,	имеющих			полную		продолжитель
ность То			— то) = 0 при			\|т — торго				(55.07)
			— то) = 0 при			\|т — торго				(55.07)

342

	=	при	Т	(55.08)
			е>-у-.
Беря последнее значение		fis,	мы получаем коэффициент
неоднозначности А в	узком смысле этого слоза, который
мы будем обозначать	через Ао.		Величина Ао	определяет
вероятность принять	за полезный сигнал ложный пик ко

Рис. 53. Коэффициент неопределенности А (и величина 1—Д) как функция

1	— для сигнала с известной амплитудой; 2 — для сиг
	нала со случайной амплитудой, распределенной
	по закону Релея.
эффициента правдоподобия Л (т),		вызванный	шумом и не
имеющий	никакого отношения	к сигналу.	т
			При е<-у

вместо формулы (55.08) нужно применять общую формулу

(55.01), которая, вообще гозоря, приводит к меньшему

значению и большему значению коэффициента неопреде

ленности А. Это объясняется сложением вероятностей

ошибок двух типов: ошибки принять ложный пик за сиг-

343

нал (вероятность этой ошибки дает До) и ошибки в точном

опоеделении момента прихода сигнала по правильному пику

вследствие того, что шум смещает	максимум этого пика
и получается \|т — т0\|^>г.		случай сложного
Формулу (55.02) можно обобщить	на
измерения, когда полезный сигнал зависит		от	дополнитель
ного параметра 0, который не измеряется		и	принимает не
прерывную совокупность значений. Для этого нужно вос
пользоваться формулой полной вероятности (29.04)

Р ( Г - S \| > г)=		(9) Р6 (I г - S \| > г) М,			(55.09)
где р„Д9)	есть плотность	вероятности	случайного		пара
метра 0, а	Р6(\|т— т01 Д> s) — вероятность		ошибки	при из
мерении параметра т при условии, что			параметр	9	имеет

определенное значение. Последняя вероятность не отли


чается от		вероятности			ошибки		при	простом		изменении,
поэтому	для нее		справедливы				формулы		(55.02) и		(55.03),
причем параметр р.е, вообще говоря, зависит от 9.
Если	параметр		9	является		фазой		полезного		сигнала, то
согласно	§	33 параметр				от	9 не	зависит,		так что для
измерения		момента		прихода сигнала				с неизвестной			фазой
справедливы формулы					(55.02) и		(55.03),		выведенные выше

для простого измерения. Результаты § 54 показывают, что при достаточно слабых помехах в формуле (55.02), как и при простом измерении, следует взять знак равенства.

Если дополнительный параметр является случайной

амплитудой (огибающей) G, то
[ie (G) = GVe, где н.= Не(1).	(55.10)

и формула (55.09) приводит к соотношению

Р(|т-т0| >£)=У/2га(О)Ро(Г.-г0|>е)^>

^)j/ \p^Gy>dG)е 8 dx- (55Л1>

Го I

344

Если считать,	что амплитуда	сигнала распределена	по	за
кону Релея	_ G2	1
	_ G2	1
	/MG) = Ge 2	ПРИ G>0’	(55.12)
	/7ет(°) = °	ПРИ G<° I
(ср. § 34), то	двойной интеграл можно преобразовать			с
помощью формулы Дирихле следующим образом

так что мы опять получаем неравенство (55.02), в котором

коэффициент неопределенности

Л=1-------/4==	(55.14)
у
характеризует измерение времени прихода	сигнала с неиз

вестной амплитудой или же с неизвестными амплитудой и фазой.

Величина (55.14) также изображена на рис. 53 как функция щ. Мы видим, что при больших p.g коэффициент

А для сигнала со случайной амплитудой гораздо больше, чем для сигнала с постоянной амплитудой. Отметим, что при измерении параметра х у сигнала со случайной ампли

тудой, могущей принимать сколь угодно малые значения,

помеху сколь угодно малой интенсивности нельзя считать

345

слабой в смысле § 52—54. Поэтому в настоящее время точность (или, скорее, надежность) измерения момента прихода флюктуирующего сигнала можно количественно

оценить только с помощью коэффициента А.

При использовании полученных в этом параграфе ре зультатов следует помнить, что коэффициент А определяет не саму ошибку измерения, а ее нижнюю границу, так как неравенство (55.02) лишь в предельных случаях перехо дит в равенство. Это значит, что если коэффициент А близок к единице, то измерение может дать лишь неопре

деленный результат, но из малости А (скажем, из значе;

ний Л =0,1 или Л = 0,2) какие-либо количественные выводы' сделать трудно. В конце следующего параграфа мы рас

смотрим этот вопрос более детально.

G 5Ш ЗАДАЧА О РАЗЛИЧЕНИИ М ОРТОГОНАЛЬНЫХ

СИГНАЛОВ

Выше мы исследовали измерение непрерывного пара метра при наличии нормальных помех. В этом параграфе мы рассмотрим аналогичную задачу для дискретного па

раметра. Последняя задача является более простой и по этому позволяет получить более полное решение, которое имеет самостоятельный интерес и вместе с тем дает воз

можность выяснить некоторые вопросы, относящиеся к из мерению непрерывного параметра.

Пусть опять мы знаем заранее, что полезный сигнал присутствует, но его дискретный параметр k, могущий

принимать М значений

k =	(56.01)
неизвестен и требуется его определить.	Иначе говоря, из

вестно, что на входе присутствует какой-то из М сигналов

т/г (г!) =ш(^, k)	и	нужно	различить, какой именно сигнал
присутствует в принимаемой функции
		f (0 = mk (0 + п (0-		(56.02)
Если мы интересуемся			обнаружением	каждого из сиг
налов тпА(0 в	отдельности, то мы должны исходить из
соответствующего		коэффициента правдоподобия ДА. Если

сигналы mk(t) имеют неизвестную случайную фазу, то согласно § 33 коэффициент Лй равен

--др-й

/,(<Ц

(56.03)

346

и если амплитуда		mk(t) также			случайна и		распределена
по закону	Релея,	то	согласно §		34
					«2
					6 А
		Л --4^_е2(1 + ^					(56.04)
		k	1 + V-k
При написании выражений				(56.03) и (56.04)			мы воспользо
вались формулой (29.38), несколько изменив							обозначения.
Здесь pk—.априорная вероятность появления							6-го сигнала
/-%(/), а *Н	— эффективное			отношение		сигнал/помеха		для
него, причем для		простоты		мы будем		далее считать,		что
все pk и	равны
	=		=				(56.05)
Величина	$k — огибающая,			вычисляемая по формуле (33.07):

она-то в сущности и определяет коэффициент правдоподо

бия	, являющийся монотонной функцией	@.к или же
безразмерного параметра
	=	(56.06)
	У и
При измерении дискретного параметра k		естественно

образовать все М коэффициентов правдоподобия ЛАи при

нимать решение по максимальному Кк (ср. § 50). Таким

путем мы	приходим к схемам Л1-канальных				приемников,
на выходе	каждого канала		которых образуются			величины
	<*’a = Ix + va или <Pa = va-					(56.07)
Qk, zk или	Aft. Второе соотношение (56.05)				означает, что
случайные величины		во	всех каналах	имеют одинаковые
статистические свойства, в			частности,
			0 и’у2=р,			(56.08)
причем мы дополнительно			примем, что	величины		в раз
личных каналах статистически независимы
		-^ = 0 при k^l.				(56.09)

347

Более		подробно		условие	(56.09) можно записать			в
виде
					= ° при	k=£l,	(56.10)
			g,h
где,	например,		т (k)— значения сигнала m(t, k)				в	мо
менты t.		Образовывая величину
				= jQgJg'MO			(56-п)
				g, h
в /-м канале по принятым значениям f ,						мы будем иметь
на выходе /-го			канала	одну помеху
			= =				(56-12)
если	только			g, h
если	только		[g = mg(k)-\-ng		при k^l.		(56.13)
			[g = mg(k)-\-ng		при k^l.		(56.13)

Это значит, что каждый сигнал -проходит только по своему


каналу, ничего			не давая на выходе	остальных.	Поэтому
в	литературе		данную задачу часто	называют	задачей
о	системе	ортогональных сигналов.		например,	в задаче
	Данную схему можно, применить,			например,	в задаче

о сигнале с неизвестным временем прихода т (см. § 53— 55). В качестве примера возьмем импульсы прямоугольной формы, время прихода которых может принимать лишь дискретные значения

- = /гДт, k=l,.. .,М.

(56.14)

Если помеха представляет собой белый шум и если выпол

няется	условие	(56.15)
	Дт>70,	(56.15)
где То	есть длительность импульсов, то в силу	соотно
шения
	mh (k) mh (/) = 0 при k^=l	(56.16)
	h.

мы имеем задачу об М ортогональных сигналах, причем

(56.17)

348

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ