§ 64. МОДУЛЯЦИЯ с ПОМОЩЬЮ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ (КВАЗИСИНУСОИДАЛЬНАЯ МОДУЛЯЦИЯ)
Ниже мы будем широко применять дельта-функцию,
которую мы на протяжении всей книги по возможности
старались избегать [см. |
впрочем, формулы (1.13) и |
(21.04)]. |
Если корреляционная функция R (т) имеет вид |
|
/> (т) = |
COS со^т, |
(64.01) |
|
|
А |
|
то интеграл (63.23) приводит к выражению |
|
S (®) = л |
Pk [8 (со — сой) 8 (со -ф- <%)], |
(64.02) |
k |
|
|
|
показывающему, что вся интенсивность данного процесса
сосредоточена |
в |
дискретных частотах со — |
Напри |
мер, при |
отсутствии модуляции (х(^) = 0) мы имеем: |
|
|
|
X(t) — cos(co0Z — 0О) |
(64.03) |
и, производя усреднение по случайной фазе 0О, |
равномерно |
распределенной в |
интервале O<0o<^2z, мы получим |
|
|
/?(4=WJTK) = yCOS(Uo^ |
(64.04) |
откуда |
|
|
|
|
|
■$(“>) = у [5(ш — U)o) + 5((U + C0o)]> |
(64.05) |
так что |
в отсутствие модуляции, как уже |
указывалось, |
интенсивность |
сосредоточена при <u = ±zcu0. |
|
Наиболее простые результаты дают выведенные в § 63
формулы в случае линейной AM при отсутствии |
ЧМ и ФМ |
(т =/= 0, /г = /7 = 0), когда |
|
A(<u) = ^8(a)-<u0) + ^S(cu-cu0), |
(64.06) |
т. е. спектр состоит из линии си — си0, соответствующей |
немодулированному колебанию, и спектра s(co), перенесен ного к несущей частоте <оо.
Если спектр модулирующего процесса сосредоточен в весьма узкой полосе частот вблизи частоты cut, то можно написать
з (си) = л [8 (си — cut) 5*4 (си 4-coJ] |
(64.07) |
и корреляционная функция |
г (х) равна |
|
г (х) = COS o>tx. |
(64.08) |
В этом случае происходит |
модуляция с помощью |
колеба |
ний определенной частоты ш,, но с неопределенной ампли тудой и фазой. Такую модуляцию мы будем называть квазисинусоидальной, поскольку она отличается от обычной синусоидальной модуляции (см. ниже).
Для квазисинусоидальной AM формула (64.06) |
прини |
мает вид |
|
/?(uj) = -J[8(u)—(Uo) + -7-5(U) — wo — U)1) + |
|
+ ^8((В-Шо + а>1)], |
(64.09) |
причем спектральную интенсивность, соответствующую
формулам (64.06) и (64.09), нетрудно вывести из элемен тарных соображений.
Для квазисинусоидальной ФМ (р^О, m = n = Q) функ
ция |
F (о>) |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
F (о>) = |
ОО |
|
+ /J2CCS“‘T^- |
(64.10) |
|
|
&~Рг J е*(” " “°’' |
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
Функция e/’2ccs“,T, |
будучи |
периодической |
(с |
перио- |
дом |
2п \ |
g, |
разложена в ряд |
, |
|
|
— |
может быть |
Фурье |
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
|
|
■ k — 1 |
|
=*k —оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(64.11) |
где |
Ik — модифицированная |
функция |
Бесселя — опреде |
ляется формулой |
|
|
|
|
|
|
Ik (х) = -^ j е* ccs 9 cos kydy = ■“ j |
e x cos “1X |
cos w/tdx. |
|
|
о |
|
0 |
|
|
(64.12) |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем
Р (<») = -у &~р1 {Л (Р2) 5 (ш — ш») +
+ J АЛ/^ИЧ® — %+ ^o>t)+ §(«» — % — J, (64.13)
й=1
т. е. при квазисинусоидальной ФМ спектр получается дискретным, как и при обычной синусоидальной ФМ, но интенсивность, приходящаяся на каждую частоту, выра
жается через коэффициент ФМ несколько |
необычным об |
разом. |
|
Чтобы вывести формулу (64.13) элементарно, поступим |
следующим образом. Пусть |
|
x(t) = ac.os («>/ — ft), |
(64.14) |
где а и & постоянные; тогда |
|
X (t) = cos [%/ — pa cos (ш/—ft) — @0]=J0 (Pa)cos (U)</--®o) +
+ |
CO |
|
|
|
|
4 (Pa) |
{cos [(% + |
t — k |
+ ’')* |
— ] + |
|
*=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(64.15) |
Эта |
формула |
хорошо известна в |
теории |
частотной и |
фазовой модуляции; она легко выводится из свойств функ
ций Бесселя. |
Мы видим, |
что, например, частота ш = и_>0 — |
— k»\ имеет |
(среднюю |
по |
фазе) |
интенсивность |
1 г2 |
|
— Jk(pa). |
Амплитуда (огибающая) |
а имеет распределение Релея |
|
|
|
|
_ 02 |
|
|
|
|
/?(а) = ае |
О |
(64.16) |
|
|
, |
поэтому после |
усреднения |
по а интенсивность, соответ- |
ствующая частоте % — |
|
равна |
|
|
|
1 |
00 |
2 fk (pa) da—^& Р'Ц (Р2)' |
|
|
г |
(64.17) |
2 |
J |
ае |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
причем последнее выражение совпадает с тем, |
что |
дает |
формула (64.13). Интеграл |
(64.17) |
является частным |
слу- |
|
чаем второго экспоненциального |
интеграла Вебера (см. |
|
Ватсон стр. 433). |
m = p — Q) |
|
|
|
При чистой ЧМ («т^О, |
имеем: |
|
|
СО |
\ |
1 2 |
2 |
|
|
О) _ |
(64.18) |
|
<1>0)т — — П2<00 |
|
|
|
и при монохроматическом модулирующем процессе |
|
|
А (х) = 2 |
1 — COS Wjt |
|
(64.19) |
Сравнение формул (64.10) и (64.18) показывает, что ква-
зисинусоидальная ЧМ с коэффициентом п полностью экви валентна квазисинусоидальной ФМ с коэффициентом
Это соотношение известно в теории синусоидальной моду ляции.
Рассмотренные выше соотношения дают, в сущности, проверку полученных в § 63 общих формул. В следующих параграфах мы исследуем другие примеры применения этих формул.
§ 65. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
В этом параграфе мы рассмотрим модуляцию с помощью нормального процесса, спектр s(v) которого подобен спектру, изображенному на рис. 5. Если определить время корре ляции 8т и ширину спектра Зии для модулирующего про цесса с помощью соотношений
|
|
|
00 |
|
|
|
8т = р(т)о!т, |
(65.01) |
|
|
|
О |
|
введенных еще |
в § |
3 и упрощающихся в силу |
того, что |
здесь |
г(0)= 1, |
то |
Зю и 8т будут связаны соотношением |
|
|
|
8а>8т = ^. |
(65.02) |
В § |
63 вычисление спектра модулированных |
колебаний |
сведено к квадратурам. Однако вычисление соответствующих
интегралов сопряжено с трудностями, поскольку функция г(и) и определяемые через нее функции g (т) и h (т) обычно
сложны. Между тем, при малых -с эти функции |
прибли |
женно равны |
|
|
|
г(т) = 1, |
g (т) = т, |
/г(т) _ т3 (|т| < 8т), |
(65.03) |
а при больших т |
|
|
|
г(т) = 0, |
£(т) = 6т, |
/1(т) = 2тЗт (т > 8т). |
(65.04) |
Использование приближенных выражений (65.03) |
эквива |
лентно предположению о бесконечно малой ширине спектра модулирующих колебаний
|
|
|
s(o)) = 2t:8(u)), |
г (т) = 1. |
(65.05) |
Формула (63.10) |
при |
этом дает |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
f(«)=4 j к1- |
гттоот)24~ т2] ехр)—i («> — <о0)т — |
|
|
|
|
|
|
—ОО |
|
|
|
|
1 |
2 |
й |
тс |
1 i_(fcL^)]exp/_0i |
|
----- 7; |
Ц2СО |
Т2 |
2rt2^ j ’ |
2 |
о |
|
2 |
2«<о0 |
’о |
|
|
|
|
|
|
(65.06) |
а формула (63.12) |
|
|
|
ОО
о) — Шо (1 — 2/пп)]т —
—со
— 1-£п2о)р т2 -]- 2rnIz\dt =
% |
ехр / 2т2 — —“о(1 92от<!). (65.07) |
В обоих случаях оказывается, что на спектральную ин
тенсивность наличие или отсутствие ФМ не влияет. Это— явление, характерное для «квазистатической» модуляции, определяемой формулами (65.05). Действительно, «беско нечно медленное» изменение фазы не должно влиять на спектральную интенсивность. При этих же условиях шири
ну спектра, равную пмо, определяет только ЧМ, и дей
ствие AM сказывается лишь в смещении максимума функции /Дю) от частоты соо к частоте
ш0' = <1)0(1—2/7ш), |
(65.08) |
но не изменяет ширины спектра. Для экспоненциальной модуляции формула (65.08) является точной, а для линей ной— приближенной (она справедлива при т << 1).
Выражения (65.06) и (65.07) нетрудно получить из эле ментарных соображений. Для простоты разберем ЧМ без
AM (п=/= 0, |
m = 0). Каждому значению х, изменяющемуся |
во времени |
достаточно медленно, соответствуют |
частоты |
|
а)=±ш0(1—пх), |
(65.09) |
интенсивность каждой из которых равна 'Д- Поэтому ин тенсивность спектра при квазистатической модуляции
дается формулой
^S(co)d(o=l- [p(x’)dx' + p(x'')dx"], |
|
|
Л„==_оН1<о? |
L |
(65.10) |
1 |
|
МЫ» |
|
гаь>0 |
'■ ' |
У2п |
|
откуда |
|
|
|
|
|
S(<o) = J/ |
__ |
, |
_ (<°— °>о)3 |
__ |
(65.11) |
|
2^|_е |
2^+е |
|
что совпадает е результатами, |
полученными выше, |
прит = 0. |
Как показывает |
более точный анализ исходных выраже |
ний (63.10), (63.12) и (63.25), формулы (65.06) и (65.07)
справедливы при условии, что параметр
|
q = |
= к |
5со |
(65.12) |
|
|
2 |
|
велик по сравнению |
с |
единицей. |
Тогда ширина |
получаю |
щегося спектра |
|
|
|
|
|
Дигхща) о^Г/Ои) |
(65.13) |
оказывается гораздо |
больше Sa>— ширины спектра |
модули |
рующих флюктуаций. |
|
|
|
В противоположном случае, когда q <1, в интегралы
(63.25) можно подставлять приближенные выражения
(65.04) |
и, например, |
для линейной AM мы получаем |
|
|
|
Цш)= |
|
|
|
— Re | [(1 — гт«со08т)2 |
-|- т2р2] е~р2 |
|
1 ”2“огт)т chj. _ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
-e~p2Re (1 ~+ т2р2 |
|
(65.14) |
|
2 |
|
nu>oq— /(со — со0) |
|
|
При дополнительном условии mq <: 1 |
функция А(<п) при |
нимает |
вид |
+ |
*е~ . ---- |
|
|
|
|
А(<о) = (1 |
1------- |
(65.15) |
|
|
|
+ ( по>0<7 |
) |
|
откуда следует, что |
в предельном случае |
q<^\ |
AM и ФМ |
не влияют на форму спектра, и ширина получающегося спектра
|
Д(й^пи)07 = ^- |
(65.16) |
мала по сравнению с 8а>. |
|
§ 66. ЗАВИСИМОСТЬ ШИРИНЫ СПЕКТРА |
МОДУЛИРОВАННЫХ |
КОЛЕБАНИЙ ОТ ШИРИНЫ СПЕКТРА МОДУЛИРУЮЩИХ |
|
КОЛЕБАНИИ |
|
Вычислим зависимость Дсо от 5и> при частотной модуля |
ции («т^О, |
т — /; = 0). Ширину спектра |
8о> модулирующих |
колебаний |
мы определили формулой (65.01), а ширина Дч> |
модулированных колебаний (точнее — полуширина спектра) определяется с помощью соотношения
ОО00
2А(ОДс»= С F(cD)dcD=2 |
fs(a>)ch = ^ |
(66.01) |
или |
|
|
Да)==45(^)- |
|
(66.02) |
Действительно, при т. = р = 0 |
функция |
|
A(<o) = -2Reje |
d- |
(66.03) |
о |
|
|
симметрична относительно точки ш — <р0, где она принимает максимальное значение, поэтому определение (66.02) ана
|
|
|
|
|
|
логично определению (65.01). |
Вычисление интеграла (66.03) |
затруднительно даже при «> = ш0, поэтому естественно за |
менить корреляционную функцию г(т) |
ступенчатой функцией |
г(т) = 1 |
при |
|т|<; 8т, |
|
( |
г(и) = 0 |
при |
|т|>8т, |
|
(66.04) |
/ |
так что |
|
при |
|т| |
8т, |
/Пт) = т2 |
|
/г(т) = 2т8т— (8т)2 при |
|т| |
(66.05) |
ф> 8т. |
Эту замену следует рассматривать |
как |
грубую аппрокси |
мацию корреляционных функций г(т), ссогветствующих
спектрам того |
типа, |
который изображен на рис. |
5; в точ |
ном виде такая корреляционная |
функция |
существовать не |
может. Сделав такую замену, получим |
|
|
|
|
|
п/ \ |
1 / |
— _L_ |
—- «2с^?(8т)2<^ |
|
о |
|
, |
1 I |
( „ 2 |
и < I ~ 2 |
0 [ |
j |
—л2ш2т8т • |
I |
г(<в0) == - |
е |
йт-f-e |
|
е |
о |
ат| = |
|
|
0 |
. |
8т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(66.06) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(66.07) |
На рис. 57 |
(кривая 1) |
дана зависимость |
величины |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(66.08) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(я)+~-р'^
ч
от параметра q. В частности, из рис. 57 видно, при каких значениях q реализуется предельный случай (65.13), а при
|
|
|
|
|
каких — предельный случай |
(65.16). |
|
|
На рис. 57 (кривая 2) представлена та же зависимость |
для корреляционной функции |
|
|
|
|
— И |
(66.09) |
г(т) = е |
\ |
соответствующей спектральной |
интенсивности |
|
|
$(ш) = |
1 +co2(dx) |
(66.10) |
v 7 |
v |
7 |
Рис. 57. Ширина спектра модулированных колебаний при частотной флюктуационной модуляции:
1 — по формуле (66.08), 2 — по формуле (66.13).
Такая интенсивность получается при пропускании «белого
шума» через апериодический контур с временем затуха ния &г.
В данном случае
/г(т) = 2(ат)2(0—1 |
&=Д>0 |
(66.11) |
И |
|
|
|
оо |
db = 28г |
q* |
1 e~‘dt. |
F(d>0) = 28т е’2 f е'’^4 е~&) |
(q2)~^ |
о |
|
о |
(66.12) |
Отсюда |
|
|
п е~<?2р72)?" |
|
|
Ды __ |
|
|
/гы0 |
2q (<72— 1,72)! ’ |
|
где функция |
|
|
|
(л, y)!=pxe“^ |
|
(66.14) |
|
о |
|
|
есть «неполный факториал», первоначально введенный при табулировании распределения %2 (см., например, формулы
§ 38 и 45). Для построения кривой 2 достаточны графики функции (х, у)!, приведенные в книге Янке и Эмде.
Кривые 1 и 2 при малых и больших q совпадают (как
следует из общих рассуждений § 65), а при конечных q
имеют одинаковый характер изменения. Они позволяют оценить ширину спектра флюктуационной модуляции, если известна ширина спектра модулирующих флюктуаций.
Данная глава написана на основании работы Л. А. Вайнштейна, выполненной в 1947 г. по предложению М. А. Леонтовича. Эквивалентные математические резуль
таты получены независимо рядом других авторов в связи с самыми различными техническими и физическими зада чами. В следующей главе мы применим результаты дан ной главы к анализу помех, обусловленных хаотическими отражениями.
