книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

опять можно считать, что выполняется условие ортогональ­ ности (56.10).

Задача об М ортогональных сигналах имеет и другие

интерпретации и применения. Например, сигналы могут

правильный результат, т. б. что отобранный по максимуму

ложной тревоги в каждом канале при пороге z (если этот

канал использовать для обнаружения каждого из сигналов m(t, k) в отдельности). Тогда вероятность Р(г) в силу не­

Если плотность вероятности величины z в &0-м канале, где

349

или

*=0

350

При двух сигналах (7И = 2) формула (56.27) принимает вид

351

Отсюда

z0=l/-21n(l-2 м~‘)

(56.38)

Действительно, при увеличении Л1 переход функции Р(г) от значений P{z)^0 к значениям Р(г)я=,\ стано­

вится все более резким, поэтому аппроксимация (56.35)

дает все более точные результаты. Подставляя выражение

(56.35) в выражение (56.22), получаем

ности правильного обнаружения одного сигнала при использовании порога (56.38), зависящего от А/, для которого можно написать приближенное выражение

и 20 000 — по приближенным. На рисунках видно, что уже при А4=16 расчеты, произведенные по приближенным фор­ мулам, дают достаточно удовлетворительные результаты Из предыдущих формул следует, что разность 1—Р при увеличении р уменьшается для сигналов с постоянной амплитудой гораздо быстрее (экспоненциально), чем для сигналов с флюктуирующей амплитудой. Таким образом, правильное измерение дискретного параметра нефлюктуи­ рующего сигнала с большой надежностью произвести го­ раздо легче, чем такое же измерение для флюктуирующе­ го сигнала, а для мало надежного различения сигналов с постоянной амплитудой требуется, наоборот, большее отношение сигнал/помеха. Это обстоятельство мы уже обсуждали раньше в теории обнаружения.

Из рис. 54 и 55 и формул (56.39) и (56.40) видно, что

необходимые значения р возрастают с увеличением М, о.. нако, довольно медленно, поскольку число сигналов М вхо­

дит под знаком логарифма.

В § 55 мы вывели для вероятности измерения непре­ рывного параметра х неравенство (55.02), в правой части

352

101^

налы при достаточно большом г можно считать ортого­

можностях измерения параметра сигнала в широком интер­

вале значений этого параметра. Только при вероятности

Рдостаточно близкой к единице, можно считать, что

грубое измерение непрерывного параметра х достаточно надежно и что данный максимум коэффициента правдопо добия связан с сигналом, а не является случайным выбро­

сом. Если при разбиении априорного интервала 0<х<7'

на М частей в соответствии с формулами (56.14), (56.15) и (56.19) получается вероятность Рт, достаточно близкая к

единице, то можно ставить вопрос о дальнейшем уточнении значения х, т. е. более точном измерении.

Теоретические возможности, связанные с точным из мерением произвольного параметра т, были рассмотрены

в § 52 и конкретизированы в § 53—55 для измерения вре­

торые должны давать приближенную оценку ошибки при «точном» измерении, проводимом вслед за грубым изме­ рением, поскольку тогда при «точном» измерении интервал измерения т достаточно узок.

На практике измерение параметра сигнала при наличии помех естественно разбивается на две различные опера­ ции: грубое измерение и точное, причем результаты точно

го измерения должны приниматься в расчет только при их согласии с результатами грубого. Заметим, что экспери­ ментальное исследование функций Л(т), <р(т) или$(т) для непрерывного параметра часто возможно лишь в резуль­

тате построения этих функций по отдельным точкам

(56.14), полученным в результате разбиения исходного ин-

354

тервала на большое число малых интервалов Ат, причем

помехи в разных интервалах являются приближенно независимыми. Таким образом, задача об М ортогональ­ ных сигналах отображает свойства реальных технических устройств.

Задача о системе М. ортогональных сигналов была впервые поставлена и решена (в более частных предполо­ жениях) В. А. Котельниковым.

§ 57. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С ДИСКРЕТНЫМ ПАРАМЕТРОМ

ИИЗМЕРЕНИЕ ЭТОГО ПАРАМЕТРА

Впредыдущих параграфах мы рассматривали лишь

«чистое» измерение, т. е. предполагали заранее известным

присутствие полезного сигнала, причем только одного — с некоторым неизвестным значением параметра а, т или k,

которое требовалось измерить. Обычно измерение прихо­ дится сочетать с обнаружением, ввиду чего вопрос нужда­

ется в дополнительном исследовании.

Обнаружение сигналов mk (/) —m(t, k) с дискретным

параметром k (&='!,...,Л1) и измерение этого параметра можно производить с помощью различных AI-канальных приемников, которые мы будем условно называть прием­ никами I, II и III типов.

Приемник I типа производит обнаружение по коэффи­ циенту правдоподобия

где pk есть вероятность появления k-vo сигнала при усло­

вии, что какой-то полезный сигнал присутствует, а

определяется формулами (56.07). Таким образом, осуществ­

ление приемника I типа является с практической точки зрения довольно громоздкой задачей, поскольку после линейной обработки входных данных (при получении ?/г )

требуется образовывать величины (57.03) и затем их сум­ мировать по формуле (57.01). Однако прие^яик I типа

является оптимальным приемником обнаружения в смысле гл. V, так что характеристики всех других приемников

должны уступать характеристикам приемника I типа. По­ скольку вычисление характеристик приемника I типа свя­ зано с определенными трудностями (см. далее), детально

изучить преимущества этого приемника не удается, одна­ ко можно считать установленным, что преимущества эти

невелики.

Приемник II типа производит предварительное испы­

каналах Aft<^2&, то выносится решение об отсутствии сиг­ налов, если хотя бы в одном канале Aft>2ft, то выносится

приемник можно применять только при условии, чтх> появ­

ление двух или более полезных сигналов mA(Z) a priori

исключено. Если же может появиться только один сигнал,

то приемники II и III типов, как легко видеть, эквивалент-

356

ны, поскольку они производят те же самые операции, но в другой последовательности.

Можно сказать, что в приемнике I типа сначала произ­ водится обнаружение, а затем измерение, в приемнике II

типа обнаружение и измерение проводятся параллельно,

а приемник III типа сначала измеряет параметр k, а потом проверяет наличие сигнала с измеренным параметром «на обнаружение». Приемники II и III типов осуществить на практике гораздо проще, чем приемник I типа, поскольку вместо отдельных Л А в каждом канале приемника можно об­

разовывать любую монотонно возрастающую функцию *А-

При исследовании характеристик введенных выше при­ емников мы ограничимся системой М ортогональных рав­ новероятных сигналов с одинаковым отношением сигнал/помеха (см. § 56), причем одновременное появле­ ние двух или более сигналов будем считать исключенным.

Ясно, что в силу равноправности всех сигналов [см. фор­ мулы (56.05) и (56.08)] все пороги в формулах (57.04)

и (57.05) следует брать одинаковыми, и тогда вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения во всех кана­ лах приемника II типа будут одинаковы

поскольку приемник II типа может обнаружить сигнал и за счет ложной тревоги в одном из М— 1 «пустых» кана­ лов. Вероятность правильного обнаружения равна

'357

в отдельном канале, производящем обнаружение одного сигнала. Заметим, что F' и D' характеризуют лишь «обна­ руживающие» функции приемника II типа и не касаются его «измерительных» функций. При достаточно малом F мы можем пользоваться приближенными формулами

/ р/ 1+р-

(57.12)

м)

где р есть отношение сигнал/помеха в каждом канале. Эта формула позволяет в явном виде найти значение р, необ­

ходимое для обеспечения заданных F' и D':

ционально In М.

358