§ 53. ПРОСТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА СИГНАЛА ПРИ СЛАБЫХ ПОМЕХАХ
Одним из наиболее часто используемых в радиолокации способов измерения неизвестных координат цели является измерение момента прихода сигнала, отраженного от цели. В этом и следующих параграфах мы рассмотрим измере
ние времени прихода сигнала т, от которого |
полезный |
сигнал зависит следующим образом |
|
т (t, т) = т (t — т), |
(53.01) |
причем мы пренебрегаем возможной зависимостью ампли туды сигнала от г. Априорное распределение параметра т
для простоты предполагается прямоугольным [см. фор
мулу (52.32)].
Вводимый таким образом параметр т обладает рядом особенностей, которые облегчают как практическое осуще ствление оптимального приемника, производящего изме
рение, так и теоретическое |
исследование возможностей |
измерения. |
|
в данном случае мож |
Действительно, функцию (52.02) |
но записать так: |
|
|
|
■?« = ,(<,£* |
|
(53.02) |
g |
|
|
|
где |
|
|
|
W = S QShmh (т) = X |
~ |
(53•03) |
h |
h |
|
|
Последняя формула эквивалентна вычислению коэффициен
тов k (ъ) |
из системы |
линейных |
алгебраических |
уравнений |
|
|
= |
g,h==\, ..., |
Н, (53.04) |
|
h |
|
|
|
причем для стационарных помех |
|
|
|
|
= |
|
(53.05) |
Поэтому |
коэффициенты £g(x) могут быть записаны следую |
щим образом: |
kg(x) = k(v — tg)M, |
(53.06) |
|
|
и выражение (53.02) |
приобретает |
вид |
|
|
?(т) = Д^^(г-Ц7е, |
(53.07) |
что по существу совпадает с формулой (26.47). Если про
межуток наблюдения бесконечен, |
то |
функцию ф(г) |
можно получить в виде процесса |
на |
выходе фильтра |
с частотной характеристикой (27.10), причем параметр т играет роль физического времени. Результаты получатся практически те же, если наблюдение производится за ко нечный промежуток времени, охватывающий все сигналы— от самого раннего сигнала т(/) до самого позднего сигна
ла m(t—Т)—и, кроме того, имеющий на концах дополни тельные промежутки, продолжительность которых опреде
ляется временем корреляции помех (ср. конец § 27).
В других случаях приходится решать систему уравнений (53.04) или соответствующее интегральное уравнение, но формула (53.07) остается в силе, так что ф(т) воспроизво дится (в виде функции времени) некоторым линейным фильтром.
Случайную функцию > (т=), |
определенную формулой |
(52.19), можно представить в аналогичном виде |
= |
(53.08) |
g |
|
и рассматривать как результат |
прохождения помехи п (/) |
через рассмотренный выше фильтр, в котором k (т — t) есть реакция на единичный импульс. Легко видеть, что ч (-г) есть стационарный случайный процесс, автокорреляционная функ
ция |
которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P-К 'co)==v(x)v('co) |
|
(53.09) |
есть четная |
функция |
разности |
и —%. |
Поэтому в |
данном |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (•', |
%) = Р (* — |
= Р (% — х)> |
(53.10) |
причем выполняется |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
1р(х —%)1 <Р- |
|
(53.11) |
|
Параметр |
р. = ti(0) |
есть эффективное отношение сиг |
нал/помеха (не зависящее от т), |
которое |
было введено еще |
в § |
31. Введенная в формуле (52.36) величина р-Д-с) также |
не |
зависит от |
т, и мы будем ее |
просто |
обозначать |
как |
|
|
|
u? = 2 [р. — |i(2s)]. |
|
(53.12) |
величины часто.одинаковы, тогда |
параметр 8со |
по порядку |
равен |
о , где |
То — длительность |
полезного |
сигнала |
[см. |
ниже формулы (53.23)' и (53.25) |
для |
|
колоколообразного и |
треугольного |
импульсов]. |
Однако в некоторых |
случаях 8со |
может значительно превосходить |
Л |
и |
1 |
г |
|
|
|
д. |
|
Д<о |
— |
[ср. |
ниже форму- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•* о |
|
|
|
|
|
|
лу (53.29)]; эти случаи имеют |
важное |
практическое значе |
ние. |
|
|
|
|
(52.22) |
или |
|
(53.13) |
для |
^(-с, т;0) |
|
Поскольку выражения |
|
справедливы лишь при |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо (t — т0) |
8шД << |
1, |
|
|
|
|
(53.18) |
то |
и |
полученная |
выше |
формула |
(53.16) |
справедлива |
лишь |
при |
условиях |
|
|
|
1 и |
А < То, |
|
|
|
|
|
(53.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что сказанное выше относится |
к |
точному |
измерению |
параметра t при слабых помехах. По |
мере |
уменьшения и. |
величина А растет, и, начиная с |
некоторого значения |
р., фор |
мула (53.16) |
становится непригодной. |
Можно считать, что |
применимость формулы (52.22) или (53.13) при |
]-и — tJ^A |
определяет нижний предел для |
„больших" |
значений |
пара |
метра у., при |
которых |
еще справедлива |
формула |
(53.16). |
Во всяком случае эта |
применимость |
есть |
необходимое ус |
ловие того, что помехи можно считать слабыми. |
|
|
|
Если помехи коррелирозаны, то вместо формулы (53.17) |
мы имеем |
|
|
тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
<0= I |
Л4(со) Р , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
S„(«) |
йы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТС |
|
|
|
|
|
|
|
|
(53.20) |
|
|
|
|
(?>ш)2 = 3±_____________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
dOi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что осо зависит от формы |
спектра |
помех. |
Величину Seo |
можно называть |
„средней |
квадратичной" |
|
шириной полосы |
полезного сигнала на выходе оптимального линейного филь тра, рассмотренного нами ранее (см. § 27).
Рассмотрим в заключение некоторые частные случай измерения момента прихода х полезного сигнала на фоне некоррелированной помехи (белого шума) по функции f(t),
известной в некотором |
интервале |
времени. |
В этом случае |
величину 8а> можно вычислять по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
j [т'(Д]2Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
(М2 = ^-----------• |
|
|
|
|
(53.21) |
|
|
|
|
|
J т2 (t) dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
Для колоколообразного |
(гауссова) |
импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ Д |
|
|
|
|
(53.22) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(где |
а и |
р— постоянные) мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
“ = ^=р |
|
|
|
|
(53-23) |
Для треугольного импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
Л |
2|/|\ |
111 |
... |
То |
1 |
|
|
|
|
т (0 = а 1-----при |
< |
, |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
й |
|
|
|
|
V |
|
(53.24) |
|
|
m(t)=O |
|
|
при |
|
|
|
|
|
мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8;0 = 2^2. |
|
|
|
|
|
(53.25) |
|
|
|
|
|
J о |
|
|
|
|
|
|
Для прямоугольного |
импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
т (t) — а при |
11\ < |
, |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
| |
|
|
(53.26) |
|
|
т (/) = 0 при |
11\ > у |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
величина 8«э получается |
бесконечной, |
поскольку |
производ- |
ная |
пг' (f) |
при t = ±~ бесконечно велика. |
Поэтому |
вели |
чина |
Д по |
формуле |
(53.16) |
получается |
равной |
нулю, что |
свидетельствует о |
неприменимости |
рассуждения § |
52 к |
прямоугольному импульсу, являющемуся чрезмерной идеа лизацией реальных радиолокационных сигналов, имеющих крутые (но не бесконечно крутые) склоны. В самом деле, функция р.(т — т0) для прямоугольного импульса равна
(ср. § 20)
Р-(х — то) = !А f1 ~ — т ■] |
ПРИ ! х хо I < Л- I |
0 |
L |
т° 1 |
При " ~ <1 > ?о> |
(53.27) |
н(Х~ хо)=° |
|
|
I |
так что разложение (53.13) для такого сигнала |
несправед |
ливо. |
|
|
|
|
Рис. 52. Трапеце идальный импульс.
Чтобы разобраться в этом вопросе более детально, рас смотрим трапецеидальный импульс (рис. 52)
|
|
при |
т |
i |
m (t) = а |
|
при Ь<|/|<(1-Н)у, |
. (53.28) |
|
|
при |П>(1 -Н)у> |
|
для которого |
|
|
|
|
|
9 |
|
2 |
(53.29) |
8а,= —2 .. . |
-^4- при Y < 1. |
, / |
Л . |
1_\т |
г |
|
У 7 |
+ 2 j1* |
|
|
Вычисляя функции |
р.(т — т0) для взятых |
импульсов, |
можно оценить применимость приближенной формулы
(53.13). Колоколообразному импульсу (53.22) |
соответствует |
функция |
|
(Т-Т,)» |
|
— х0) = ие |
(53.30) |
°л |
|
а треугольному — функция
при
Н (т — Tq) = |
1 — 1™-------- |
|
L |
2 о |
|
|
при |
|
так что выражение (53.13) справедливо |
лишь при условии |
|
(-с —т0)2<4^ |
(53.32) |
для колоколообразного импульса, и при |
условии |
|
|
(53.33) |
для треугольного импульса. Поскольку параметр |3 для ко локолообразного импульса определяет его эффективную
длительность, оба условия (53.32) и (53.33) по существу
равнозначны и приводят к соотношениям (53.18) |
и (53.19). |
Для |
трапецеидального импульса (53.28) мы |
получаем |
I1 *( |
— о*) |
= Н |
|
|
|
при |
|
и |
— Хо) = р. |
|
|
|
|
(53.34) |
H(t — 'со) = ° |
при |т—t0|>(14-y)7’0( |
гак |
что выражение (53.13) |
применимо лишь при |
условии |
|
|
|
|
|
|
(53.35) |
|
тГ |
< | т |
— То | < То и |
Y < 1 |
функция (53.34) |
практиче |
а при -у5 |
ски |
совпадает |
с выражением (53.27) для прямоугольного |
импульса. |
мы |
можем оценить |
возможности, имеющиеся |
|
Теперь |
при измерении момента прихода трапецеидального импуль са с достаточно крутыми склонами, т. е. с достаточно ма лым у. Поскольку согласно формулам (53.16) и (53.29)
погрешность в измерении момента прихода определяется величиной
|
|
("Р"ИЧ. |
(53.36) |
то, действительно, Д -> 0 |
при у |
0. Однако формула (53.16) |
справедлива лишь при условии |
|
|
|
|
|
(53.37) |
которое можно записать в |
виде |
|
|
р. > _1_ |
или а2 |
1 |
(53.38) |
т. е. чем круче фронт зондирующего сигнала и чем боль
ше величина 8®, тем при |
больших |
значениях |
параметра р |
(отношения сигнал/помеха) |
необходимо производить изме |
рение, чтобы получить среднюю |
квадоатичную ошибку |
(53.36). |
|
|
длительных |
Из этого примера видно, что применение |
|
|
, . 1 |
, позволяет |
сигналов, удовлетворяющих условию б® > — |
|
|
* о |
|
повысить точность измерения момента прихода, определиющего в радиолокации дальность цели. Однако чрезмерное увеличение 8® (при данных То и р) может не привести к желаемому увеличению точности, так как формула (53.16) справедлива лишь при определенных условиях.
Полученный результат является частным случаем поло жения, установленного В. А. Котельниковым на основании
рассмотрения различных способов модуляции сигнала. Чем меньше вероятность малых ошибок при слабых (малых)
помехах, «тем при меньшей интенсивности помехи насту пает граница между «большой» и «малой» помехой. При
«большой» же помехе выведенные формулы становятся не верными. В пределе изложенные здесь способы позволяют свести погрешность, получаемую от воздействия «малых» помех, к нулю, но при этом «малыми» помехами должны будут считаться помехи, интенсивность которых также равна нулю. Таким образом, этими способами совершенно
уничтожить действие помех, как и следовало ожидать, не удается, можно лишь получить уменьшение их влияния.
Такое уменьшение бывает целесообразно |
в случае помех |
с достаточно малой интенсивностью и |
необходимости |
иметь очень малые ошибки при передаче». |
|
§ 54. СЛОЖНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА СИГНАЛА ПРИ СЛАБЫХ ПОМЕХАХ
В предыдущем изложении мы не учитывали того об стоятельства, что полезный сигнал m{t — т), время прихо да т которого мы должны измерить, имеет характер высоко частотного сигнала и может быть записан в виде
т (t — т) = е (t — г) cos [ю0 (t —■ т) — ф (t — т) — 0], (54.01)
где а>0 — несущая частота, |
е(/) — огибающая, ф(/) — мед |
ленно меняющаяся (дополнительная) фаза, |
6 —начальная |
фаза. Такой же характер имеет и функция |
|
|
|
|
g,h |
|
|
|
|
= S Qgft fg e Uh — T) cos>o |
— -с) — ф (/ - t) — 0], |
(54.02) |
g,h |
|
|
|
|
|
|
которую можно написать в виде |
|
|
где |
? W = S )*( |
COS [<оот - Ф (г) + 0], |
|
(54.03) |
$ (т) COS Ф (т) = |
' |
|
|
|
= S Qgh fge Vh — |
|
C0S |
— № — *)]> |
|
S'h |
а / ч |
• |
Л , |
х |
■ |
(54.04) |
|
(В (т) sin Ф (т) = |
| |
|
= S Q6/t fge Vh -х)sin Wft - Ф |
|
|
g.fl |
|
|
|
|
' |
337 |
22—483 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
$(т) и Ф(х)— медленно |
меняющиеся |
функции (по |
сравнению с высокочастотной фазой <о0т). |
|
|
Оптимальное |
устройство |
точного |
измерения позво |
ляет в |
принципе измерить время |
|
прихода с |
точностью до |
долей |
периода несущей, равного — . Для этого необходимо |
измерять начальную фазу 0 |
полезного |
сигнала. |
Однако в |
большинстве случаев детальная |
информация о времени за |
паздывания, связанная |
с фазой 0, |
является |
излишней, так |
что 6 можно считать неизвестным |
параметром, |
равномерно |
распределенным |
в |
пределах |
окружности |
(0<0-<2т). |
Тогда мы приходим к проблеме сложного измерения пара
метра т при наличии случайного (неизвестного) параметра О, причем коэффициент правдоподобия Л (т) оказывается рав
ным (ср. § 33)
— L
= |
(54.05) |
При прямоугольном априорном |
распределении (52.32) и |
независимости р. от х, оптимальный приемник сложного изме
рения должен выдавать т — измеренное значение т, соот ветствующее максимуму функции
<з2 )=/*( £ |
Qgh fge |
—т)cos |
—ж—*)] |
V+ |
|
|
I g'h |
|
|
|
|
J |
4-1 £ Qgfl |
|
sin КД - Ф (th - т)] Г. |
(54.06) |
\g-h |
|
|
|
|
f |
|
Пусть данные нам значения f |
равны |
|
|
fe = е |
— S)cos [% |
— %) — Ф |
— S) — U + |
|
|
|
|
|
|
|
(54.07) |
где % есть |
истинное время |
прихода |
полезного |
сигнала, |
60 — его |
фаза, |
ng— значения |
помехи в моменты |
t . Пре |
небрегая, |
как |
в § 33, |
суммами быстро осциллирующих |
слагаемых, |
пропорциональных |
|
|
|
cosH (tg + th) — ф (tg —10) — ф (Д — т)] и |
|
|
Sin [со0 (tg + th)-^ (tg - х0) - ф (th - г)], |
(54.08) |
