книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

и

Для сигналов с неизвестной

фазой из

формул

(33.48)

(57.11) получаем

2(1п—|-1пМ),

(57.16)

где z* — нормированный

порог

решения

в ТИ-канальном

приемнике.

в

Подставляя это выражение в формулу

(33.49) и

считая

последней т) = 0, получим выражение

оо

у2

D' = D = ~ f

e~Tdv,

(57.17)

/2л J

л

где

Л

Л =

Н = '|/

2(ln^ + ln^ —

(57.18)

отсутствии

сигнала тк (t)

коэффициент

правдоподобия

(57.03) равен

' Л^е^Р .

(57.22)

Вследствие того, что случайная величина

является

нор­

мальной и

имеет моменты

7 = 0,

(57.23)

нетрудно написать распределение

и

вычислить

среднее

ОО

_ ч2

<?2р.

(57.24)

е<7’'й=-77= Се9

2|Х

<Ь = е2,

V 2n(j. J

v

'

—00

где q — любое

число.

Отсюда нетрудно

найти

моменты

случайной величины (57.22)

*Я- ’-

<57-25>

При

наличии сигнала mk(t)

мы имеем <f^ = y-]“vA

и

1

1

Л,

’.Д 7-!1

,

(57.26)

= ^е

2

так

что

Af^-^e3''-,

И — (ЛО2=Тг e2|1(e!1 — 1).

Г = 4ге^,

(57.27)

Если теперь

учесть, что

помехи

в

различных кана­

лах

приемника,

где образуются величины

Лй в соответст­

вии

с формулой (56.10)

статистически независимы

v^vz = O

при

k=£l,

(57.28)

то при отсутствии полезного сигнала получаем

а0 = Л = 1, &о==Г-(А)2=^-1),

(57.29)

а при наличии одного

полезного сигнала

а, = Л = 1 + Т- (е11— 1),

*, = Г- — (Л)>=2-(е^ 1) [

1

+ А(ег“ - I)]. (57.30)

Отсюда вероятность ложной тревоги получается равной

(57.31)

а вероятность правильного оонаружения

Z2

Л*~

D' = -L f

(57.32)

Уь;

Если для простоты положить

*у = 0 и D'—

то мы

получим соотношения

z, = VV=“^=|/’y(e’-l), e" = W + l,

(57.33)

интеграла Вебера (см. Ватсон стр. 433) и

учли, что функ­

ция распределения величины

согласно §

33 равна

*Г

-£1

<57-37>

Поэтому вместо выражений (57.29) мы получаем

«0= А = 1, 6о = Г-(А)2=4-[7о(И)-1],

(57.38)

а при наличии одного полезного сигнала

а1=А = 1+-к[/о(и)-1].

(57.39)

Формула (57.33) изменяется следующим образом:

г.= )/7=^=]/1J,

(57.40)

где мы воспользовались приближенной

формулой

(33.49)

из которой следует, что ==|/z*

р' при

т| = 0. и ф^=0, при-

ном обнаружении с теми же вероятностями F' и

D' =

.

Связь между р и р' дается выражением

/OW = W + 1,

(57.41)

причем из неравенства

/0(р)<е"

(57.42)

вычисленное по формуле (57.34).

Однако из

асимптотиче­

ского

выражения

е1х

(57.43)

/0(р)=-|=-

V 2лц

видно,

что при больших ц,

получаемых

по формуле

личин.

Для Н случайных величин л\, ...

хн характеристиче­

ской функцией

называется

функция

от

Н вспомогатель­

ных параметров

. . ., ин,

определяемая

с помощью со­

равна

р(х±,

. . .,

хн), то

формулу (58.01)

можно перепи­

сать

в виде

ОО

Х(«р

. .,

= J... р (“Л+ • ■ • +инхн} p(x1,...,x„)dx1...dxH,

—00

(58.02)

г. е.

функция х

получается

из функции

р с помощью

//-мерного интегрального

преобразования Фурье. Обраще­

ние этого преобразования

дает

формулу

что ни

в коей

мере не умаляет

общности,

поскольку

при

xh Ф 0

всегда

можно

ввести

новые

случайные

величины

'

х'ь = хь~хь<

(58-06)

удовлетворяющие условиям (58.05),

и

в

окончательных вы­

ражениях перейти к величинам xh.

Величины

л\, . .

хн,

удовлетворяющие

условиям

(58.05),

называются нормальными

или

гауссовыми,

если

их характеристическая функция равна

ф,) = ехр

н

(58.07)

х(ф> •

• •,

~ J Rghitga^,

g,b-i

где коэффициенты Rgh соответствуют

положительно

опре­

деленной квадратичной форме, удовлетворяют

условию

симметрии

=

(58-08)

и согласно третьему соотношению (58.04)

имеют

следую­

щий смысл

(58-09)

поскольку при

дифференцировании

функции

(58.07)

мы по­

лучаем

dug

R-gkllk’

дЧ

k

VI

(58-Ю)

dugduh~

'^sh

%ми1)-

k

i

;

Используя четвертую и пятую

формулы

(58.04),

нетрудно

также вывести

соотношения

________

х х.х,=0,

|

(58.11)

[

XgXhXkXl~ ^-gh^kl~^~ ^gk^hl^T Rgl^hk'

j

последнее из которых было использовано в § 35.

вели­

Выше мы неявно

предполагали,

что

случайные

чины хг, ..., хн

являются

вещественными,

т.

е.

прини­

мают

только

вещественные

значения.

Иногда

целесооб-

разно вводить и

комплексные

случайные

величины. Пусть

мы

имеем 2/7

вещественных случайных величин хи ....

хн;

.........ун нормального типа, имеющие моменты

^==°> yh = Q’

^=УЛ==^’

где ^2 = С ’ >

(58.12)

где С=-С

Характеристическая функция этих величин,

как непо­

средственно следует из определения (58.07), равна

X(«,,..., uH, v,____vH) = е1

’ +и^н+м ■ ■

■ +^нун)==

= exp / —jij] [/?2 (uguh + vguh) +

(ugvh-uhvg)]\ •

g,h

(58.13)

^ = 4 + ^4-

=

(58Л8)

можно характеристическую

функцию

(58.13) записать бо­

лее кратко

х(®!,

^)==exp<j—

Rghwgwhy (58.19)

уже можно считать у функцией от

wk и

*w h (а не

от uh и

кЛ), определяемой с помощью соотношения

,

*z~(a

1+w1+z*

. . .+w„zH+ WHZH}

У.(и\, wt, • ■, (58.21)

так что, например,

лп£г(0'°.... (58-22>

g

Л

в соответствии с формулой (58.17).

§ 59. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА

Перейдем теперь

к

вычислению плотности вероятности

р (л?!, ...,

хн}

вещественных

случайных

величин нормаль­

ного типа.

По формулам (58.03) и (58.07) имеем

Р(х„ ..., хн) =

ОО

=-^н Р • •jехр{- * 5 инхн - т 5

—оо

h

d,h

(59.01)

Последний интеграл

всего легче вычислить,

переходя

от переменных «1( ...,

ин к

переменным

t„ ..tH с по­

мощью ортогонального

преобразования

=S ЛА’

Ufl = S ^8’ Det

= 1

(59‘02)

fi

g

такого, что

квадратичная форма

в интеграле (59.01) пре­

образуется к главным осям,

т. е.

принимает вид

У] Rghuguh

У] рл ■

(59.03)