книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf180 |
ГЛ . 4. С Т Р У К Т У РН Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
лять собой весовую функцию g2 1 (t, t — о), а z2 (er) — весовую функцию g22 (^, t — а). Естественно, что практически ö-функции на входах сопряженной системы заменяются единичными началь ными значениями переменных zt или z2 в зависимости от того, для какого выхода требуется получить весовые функции.
Переходя от структурной схемы сопряженной системы к систе ме дифференциальных уравнений в соответствии с рис. 4.5.2, полу
чаем
dz1 |
|
. |
a21z2t |
-fo — allzl + |
|||
dzo |
= |
, |
(4.5.14) |
|
djjZ! + |
a22z2, |
|
где коэффициенты atj рассматриваются как функции переменной а — t — г. На основании изложенного заключаем, что для опре деления весовой функции gTh (t, т) (г, h ~ 1, 2), х = t er, необ ходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений (4.5.14) при начальных условиях
zr (0) = 1, zft (0) = 0 |
(к фг). |
(4.5.15) |
При этом переменная интегрирования а в системе (4.5.14) пробе гает значения от 0 до t — t0, в то время как реальное время изме няется в обратном направлении от / до t0. Если перейти от обрат ного времени о к реальному х = t — о, то уравнения (4.5.14) запишутся в виде
zi — ®llzl — a21z2i
( 4 .5 .1 6 )
2>2 — |
^12^1 * ^ 22^ 2 * |
§ 4.5. |
СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ СИСТЕМОЙ У РА В Н Е Н И Й |
181 |
|||||
а начальные |
условия_ (4.5.15) заменятся |
граничными |
условиями |
||||
|
zr (t) = 1, |
z h (t) |
= 0 |
(к |
ф г ) . |
|
(4.5.17) |
Система |
дифференциальных |
уравнений |
(4.5.16) |
называется |
|||
со п р я ж ен н о й |
с системой |
(4.5.14). |
Сравнивая (4.5.14) |
и |
(4.5.16), |
||
видим, что сопряженная система получается из исходной по сле дующим правилам. В исходной системе дифференциальных урав нений отбрасываются входные сигналы xh, знаки перед коэффи циентами ahi заменяются на обратные, а матрица коэффициентов транспонируется, т. е. коэффициенты, стоящие в к - й строке, заме няются коэффициентами, стоящими в к - м столбце.
Покажем, что сопряженная система уравнений, построенная по этим правилам, определяет весовые функции исходной системы как функции второго аргумента и в общем случае, т. е. в случае
системы п дифференциальных уравнений первого порядка. |
Систе |
||
ма, сопряженная с системой (4.5.1), будет иметь вид |
|
||
П |
|
|
|
Zfe=— 'Z |
a:hZi |
(k = l , . . . , n ) . |
(4.5.18) |
г= 1 |
|
|
|
Умножим к - е уравнение |
(4.5.18) |
на g hh (t , т), а к - е |
уравне |
ние (4.5.11) |
на z h (t ), заменив для удобства дальнейших выкладок |
||||
аргумент t на о, и сложим все полученные уравнения: |
|||||
П |
|
|
|
|
|
2 [gkfc ( о , |
т) ± |
z h (о) + Zh (о) - L |
ghh (ст, |
Т )] |
= |
h—1 |
|
|
|
|
|
п |
п |
|
п |
п |
|
= — 2 |
2 |
а ‘Ъ(а ) z i И Shh ( о , |
т) + 2 |
2 |
(а ) Zft (а ) 8ih (<П т). |
к=і г=і |
|
й=і г=1 |
|||
|
|
|
|
|
(4.5.19) |
Так как значения сумм не зависят от того, какой буквой обозна чить индексы суммирования, то в одной из двойных сумм в правой части полученной формулы можно поменять обозначения I на к , а к на I. Тогда сразу будет видно, что обе двойные суммы тожде ственны п вся правая часть формулы (4.5.19) равна нулю, и мы получим
П |
|
|
2 |
T)zh(o)] = 0. |
(4.5.20) |
ft=i
Интегрируем полученное равенство в пределах от т до t:
П
2 [ghh(t, T)zh(t) — ghft(T, т) zk (т)] = 0. ( 4 .5 .2 1 )
h=l
182 |
Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Имея в виду, что система (4.5.11) интегрируется при начальных условиях (4.5.12), получаем из (4.5.21):
Zh(t)= 2 ghh(t, r)Zk(t). |
(4.5.22) |
ь=1 |
|
Теперь видно, что если сопряженную систему уравнений интегри ровать при граничных условиях при х = t:
zT(t) = 1, zh (t) = 0 при к ф г , |
(4.5.23) |
то будем иметь
Ч (*) = grh (t, т) |
(/і = 1 , . . . , re). |
(4.5.24) |
Итак, мы доказали, что и в общем случае системы п дифферен циальных уравнений первого порядка сопряженная система опре деляет весовые функции как функции второго аргумента т при фиксированном значении первого аргумента t. Таким образом, для определения весовой функции системы grh (t, т) как функции т необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений
|
П |
|
|
|
|
|
|
Щ ~ Х) = |
- % a lh (г) gTl(t,x) |
(h = |
1, |
.. . , |
re) |
(4.5.25) |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
при граничных условиях при х = |
t: |
|
|
|
|
|
|
grr (t, t) |
= 1, gTh (f, |
t) = 0, |
когда |
h |
ф г . |
|
(4.5.26) |
Интегрирование сопряженной системы с заданными граничны ми условиями не представляет никаких практических трудно стей, так как путем замены переменной интегрирования по фор муле X = t — о заданные конечные значения (4.5.23) переменных zj, . . ., zn при X = t заменяются начальными значениями (4.5.15) при а = 0.
П р и м е р 4.5.2. Найти весовые функции gH (г, г) и gi2 (t, х) как функции т при фиксированном г для системы, описываемой системой диффе ренциальных уравнений
У1= |
«12 (О У2 + *1, |
(4.5.27) |
|
|
Уі — а 21 (О У1 "Та 22 (О У2 4" *2-
На основании изложенного искомые весовые функции определяются системой дифференциальных уравнений
dgii (t, |
т) |
— a2i(x)gl2(t, T), |
||
dx |
|
|||
|
|
|
(4.5.28) |
|
dg12 (t, x) |
|
|
||
|
(x)g12 |
(t, x) |
||
dx |
- = — a 12( T ) g u ( f , T) — a 22 |
|||
§ 4.6. С О Е Д И Н ЕН И Я СТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
183 |
при граничных условиях при т — t:
|
|
gn (i, t) = |
1, |
£12 (t, t) = o. |
(4.5.29) |
|
Если сделать |
замену |
переменной интегрирования по |
формуле т = t — а |
|||
и рассматривать переменные как функции ст, то будем иметь |
||||||
dgti (t, t— o) = |
|
|
|
a2i(f —а) |
* — <*)> "I |
|
da |
|
|
|
|
|
(4.5.30) |
dgi2 (t, { |
g) __ д |
(г —а) gn (t, i —ст)+а2 2 (* —'a) 812 (*> t— °)- J |
||||
do |
|
|
|
|
|
|
В этом случае условия (4.5.29) |
выполняются при начальном значении ст = 0. |
|||||
§ 4.6. |
Соединения |
стационарных линейных систем |
||||
Выведем теперь зависимости между передаточными функциями |
||||||
соединений |
стационарных |
линейных систем |
и передаточными |
|||
■функциями соединяемых систем.
Рассмотрим последовательное соединение двух стационарных
линейных |
систем |
с передаточными |
функциями Ф4(s) |
и Ф2 (s) |
||||
(рис. |
4.6.1). Предположим, что |
|
^ |
|
|
1 |
||
на входе |
этого последователь- |
|
|
|
||||
ного соединения неограниченно |
g S t j |
Ф/ S ) |
0 / s ) e st |
Ф(з)еи |
||||
|
г |
Ф/ S ) |
|
|||||
долго |
действует |
возмущение, |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
Ф(в) |
|
||||
представляющее собой показа |
|
L |
|
|
||||
тельную |
функцию |
времени est. |
|
|
|
Рис. 4.6.1. |
|
|
Это возмущение при прохожде |
|
|
|
|
||||
нии через первую систему умно |
|
(s). Таким образом, на вы |
||||||
жается на передаточную функцию |
|
|||||||
ходе первой системы и на входе второй будет функция |
(s) est. |
|||||||
В силу линейности второй системы ее выходная переменная будет равна произведению ее реакции на показательное возмущение est на постоянный множитель Фі (s ), т . е. Фі (s ) Ф2 (s)esi. Таким образом, последовательное соединение стационарных линейных систем дает стационарную линейную систему, передаточная функция которой Ф (s) равна произведению передаточных функ ций соединяемых систем:
Ф (s) = Ф4 (s) Ф2 (s). |
(4.6.1) |
Формула (4.6.1) легко распространяется на последовательное соединение любого числа стационарных линейных систем. А имен но, если передаточные функции п соединяемых последовательно систем равны Фі (s), . . ., Фп (s), то передаточная функция соеди нения ф (s) определяется формулой
Ф (s) = Фі (s) Ф2 (s) . . . Фп (s). |
(4.6.2) |
Так как модуль произведения комплексных чисел равен про изведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргу-
184 |
ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
ментов сомножителей, то из (4.6.2) вытекают следующие формулы для амплитудной и фазовой частотных характеристик последова тельного соединения:
| Ф ( г м ) | = |
П |
| Ф й (ісо) | , |
(4.6.3) |
Ä=1 |
|
|
|
|
П |
|
|
а^Ф(і<в) = |
2 |
а^Фь(ісо). |
(4.6.4) |
k—i |
|
|
|
Логарифмируя формулу (4.6.3), |
получим |
|
|
lg 1Ф (ico) I = |
2 |
lg 1Фй(i<ö) |. |
(4.6.5) |
Ä = 1 |
|
|
|
Формулы (4.6.4) и (4.6.5) показывают, что при последователь ном соединении стационарных линейных систем их фазовые частотные характеристики и логарифмические амплитудные ча стотные характеристики суммируются.
Формула (4.6.2) показывает, что результат последовательного соединения стационарных линейных систем не зависит от поряд ка их соединения.
Рассмотрим теперь две взаимно обратные стационарные линей ные системы. В результате их последовательного соединения получается идеальная следящая система, передаточная функция которой по доказанному в § 2.4 равна единице. Поэтому из формулы (4.6.1 следует, что передаточные функции двух взаимно обратных стационарных
|
линейных |
систем являются взаимно |
||||
|
обратными величинами. Если данная |
|||||
|
система |
имеет передаточную |
функ |
|||
|
цию Ф (s), |
то передаточная функция |
||||
|
обратной системы будет |
1/Ф (s). |
||||
|
Для |
определения |
передаточной, |
|||
стационарных |
функции |
параллельного соединения |
||||
линейных систем с весовыми |
функциями |
Ф4 (s) |
||||
и Ф2 (s) (рис. |
4.6.2) предположим, |
что на |
входе |
этого |
соеди |
|
нения неограниченно долго действует возмущение, представляю щее собой показательную функцию времени еѣ1. В результате выходные переменные соединяемых систем будут равны соответ ственно Фі (s) esl и Ф2 (s) est. Выходная переменная соединения будет равна сумме этих выражений. Следовательно, передаточная функция параллельного соединения стационарных линейных систем равна сумме передаточных функций соединяемых систем:
ф (s) = Ф і (s) + Ф 2 (s). |
( 4 . 6 . 6 ) |
§ 4. 6, С О Е Д И Н Е Н И Я С ТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
185 |
Эта формула, очевидно, также распространяется на любое число соединенных параллельно систем.
Переходим к определению передаточных функций стационар ных линейных систем, замкнутых обратными связями. Рассмотрим
Рис. 4.6.3. |
Рис. 4.6.4. |
систему, состоящую из стационарной |
линейной системы с пере |
даточной функцией Фі (s), замкнутой |
отрицательной обратной |
связью, содержащей стационарную линейную систему с пере
даточной функцией Ф2 (я) |
(рис. 4.6.3). |
|
|
||||||
Для определения передаточной функ |
і |
|
|||||||
ции Ф (s) |
этой системы |
|
рассмотрим |
1 |
^ |
||||
обратную систему, |
которая по доказан |
I |
Ф/ s ) |
||||||
4 |
|||||||||
ному |
имеет |
передаточную |
функцию |
1 |
|
||||
\0(S) |
|||||||||
l/®(s). |
На |
основании |
изложенного |
||||||
в § 4.2 эта обратная система представ |
|
Рис. 4.6.5. |
|||||||
ляет |
собой |
параллельное |
|
соединение |
|
||||
системы с передаточной функцией 1/Ф4 (s) |
(s) (рис. 4.6.4). Поэтому, |
||||||||
и системы с передаточной функцией Ф2 |
|||||||||
пользуясь формулой (4.6.6), |
получаем |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
Ф2 (8): |
l-f-Ф і (s) д >2 (s) |
|||
|
|
Ф(») |
Фі(*) |
|
|
Ф1(») |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда находим передаточную функцию интересующей нас системы с обратной связью (рис. 4.6.3):
|
|
ф (s) — ------ ------------- |
(4.6.7) |
|
|
|
к ' і+Фі(«)Ф2(») |
: |
|
В частном |
случае |
жесткой |
отрицательной обратной связи |
|
(рис. 4.6.5) |
Ф2 (s) = |
1 и формула’ (4.6.7) |
принимает вид |
|
|
|
Ф(*) |
Фі(») |
(4.6.8) |
|
|
1 + Фі (в) ' |
||
Мы видим, что при любых соединениях стационарных линей ных систем всегда получаются стационарные линейные системы, передаточные функции и частотные характеристики которых'определяются при помощи элементарных алгебраических действий по данным передаточным функциям (соответственно частотным характеристикам) соединяемых систем. Вследствие этого метод
186 |
ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
частотных характеристик получил широкое практическое распро странение.
Вычисления по формулам (4.6.4) и (4.6.5) практически выпол няются графически путем суммирования ординат логарифмиче ских частотных характеристик соединяемых последовательно систем.
Для вычисления частотной характеристики системы с отрица тельной жесткой обратной связью по формуле (4.6.8) обычно пользуются специальными номограммами, которые позволяют находить логарифмические частотные характеристики системы, замкнутой отрицательной жесткой обратной связью, по данным логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой систе мы. Такая номограмма дана в приложении 2.
Для нахождения логарифмических частотных характеристик системы с гибкой обратной связью можно пользоваться той же номограммой. Для этого представим формулу (4.6.7) в виде
CD(ч\ = |
Фі (s) Фг (s) |
1 |
(4.6.9) |
|
К ) |
l + flMs)<D2(s) |
<D2 (s) |
||
|
Таким образом, систему с гибкой обратной связью можно пред ставить в виде последовательного соединения системы с переда точной функцией Фі (s) Ф2 (s), охваченной отрицательной жесткой обратной связью, и системы с передаточной функцией 1/Ф2 (s). К этому же выводу можно прийти чисто структурными преобра зованиями, которые будут рассмотрены в следующем параграфе.
Логарифмические частотные характеристики параллельного соединения двух систем также можно найти при помощи номо граммы, определяющей логарифмические частотные характери стики замкнутой системы по данным логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Для этого достаточно перейти к обратной системе. Мы знаем, что системой, обратной по отношению к параллельному соединению систем с передаточ ными функциями Фі (s) и Ф2 (s), является система, полученная
в результате замыкания системы с передаточной функцией 1/Ф±(s) |
|
отрицательной обратной связью, содержащей систему с передаточ |
|
ной функцией Ф2 (s). Определив при помощи номограммы лога |
|
рифмические частотные |
характеристики этой обратной системы |
и изменив у них знаки, |
мы и получим логарифмические частотные |
характеристики параллельного соединения систем с передаточ ными функциями Ф4 (s) и Ф2 (s). Применяя этот прием последова тельно, можно найти логарифмические частотные характери стики параллельного соединения любого числа стационарных линейных систем.
Практические приемы построения логарифмических частотных характеристик стационарных линейных систем будут изложены в § 4.8.
§ 4.6. С О Е Д И Н Е Н И Я СТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
187 |
Легко видеть, что при всех возможных соединениях стацио нарных линейных систем, описываемых обыкновенными диффе ренциальными уравнениями, в результате всегда получаются стационарные линейные системы, поведение которых также описы вается обыкновенными дифференциальными уравнениями. ’ Дей ствительно, в этом случае передаточные функции всех соединяе мых систем представляют собой дробно-рациональные функции s. Все выведенные формулы для передаточных функций соединений в этом случае определяют передаточную функцию соединения Ф (s) также в виде дробно-рациональной функции s. Представив эту функцию в виде отношения двух полиномов и заменив s опе ратором дифференцирования по времени D, мы найдем операторы F (D) и Н (D) и получим дифференциальное уравнение вида (2.5.15), связывающее входную и выходную переменные х, у рас сматриваемого соединения стационарных линейных систем.
Заметим, что на основании доказанного в конце § 2.5 опреде ляемая любой из выведенных выше формул передаточная функция Ф (s) соединения стационарных линейных систем, описывае мых обыкновенными дифференциальными уравнениями, суще ствует при всех s, действительные части которых больше действи тельных частей всех полюсов функции Ф (s). При этом в случае, когда рассматриваемое соединение содержит цепи обратных свя зей, передаточные функции систем, входящих в соединение, могут и не существовать при всех значениях s, при которых существует Ф (s). Это, очевидно, не мешает пользоваться при вычислении Ф (s) формальными выражениями вида (2.5.12) для передаточных функций всех соединяемых систем. Этим объясняется, в частно сти, возможность пользоваться формальными выражениями частотных характеристик дифференциатора, интегратора, фор
сирующих звеньев |
и неустойчивых апериодических (Т < 0) |
и колебательных (£ < |
0) звеньев для получения частотной харак |
теристики любого соединения стационарных линейных систем. Следует лишь помнить, что полученная в результате частотная характеристика соединения физически существует только в том случае, когда все полюсы передаточной функции этого соедине ния имеют отрицательные действительные части.
П р и м е р 4.6.1. Физическое последовательное соедішение двух цепо чек RC, рассмотренное в примере 4.1.1, с точки зрения теории автоматиче ского управления представляет собой последовательное соединение этих двух элементов, замкнутое обратной связью, содержащей дифференцирующее звено с передаточной функцией RiC^s (рис. 4.6.6). Действительно, вычислив изложенным в § 3.11 методом передаточную функцию физического последо вательного соединения двух цепочек RC (рис. 4.1.5), получим
1
ф (5І= _____________ 1___________________(7У+1) (Г2«+1)
и ( т у + ін т ѵ + іэ + д , ^ |
RjC2s |
’ |
^(7У + 1) (7V+1)
188 |
ГЛ . 4 , С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
где Т1 = |
RiCt, Т2 — R 2C2. Сравнивая это выражение с (4.6.7) и принимая |
во внимание (4.6.1), убеждаемся в справедливости высказанного утверждения. И только при очень малой емкости С2 (и пропорционально большом сопро тивлении Л2>чтобы произведение Т2 = R 2C2 оставалось неизмен ным) это соединение можно рас сматривать как чистое последо вательное соединение без обрат
ной связи.
|
Интересно |
отметить, |
что |
|
|
не только в |
рассмотренном |
||
Рис. 4.6.6. |
примере, но и вообще физи |
|||
ческое |
присоединение |
лю |
||
|
бого |
элемента к выходу |
||
любого другого элемента практически всегда добавляет к по следовательному соединению ту или иную обратную связь. Иными словами, присоединение к выходу любого элемента другого элемента, представляющего собой нагрузку на выходе первого элемента, дает не только эффект последовательного соединения, но и дополнительный эффект обратной связи. Это легко просле дить на примерах исполнительных устройств и длинной линии, рассмотренных в предыдущей главе. Учет сил, действующих на исполнительное устройство со стороны приводимого им в дви жение механизма, в уравнениях работы исполнительного устрой ства равноценен подаче на вход исполнительного устройства дополнительного сигнала, зависящего от его выходного сигнала, т. е. обратной связи. Точно так же учет нагрузки на конце длин ной линии в уравнениях, описывающих процесс в длинной линии, равноценен охвату ее обратной связью, содержащей звено с пере даточной функцией (eß(s>* — e_ßts>f)/2Zn (s) у (s). Это непосред ственно следует из выражений (3.15.15) и (3.15.16) для переда точных функций длинной линии с учетом и без учета нагрузки и формулы (4.6.7).
§ 4.7. Структурные преобразования линейных систем
Мы видели, что структурная схема автоматической системы определена неоднозначно, одной и той же системе соответствует бесчисленное множество структурных схем. Это дает возмож ность выбирать наиболее простые и удобные для исследования структурные схемы и тем самым значительно сократить объем необходимых вычислений. Для нахождения наиболее простых и удобных структурных схем линейных систем необходимо научиться преобразовывать структурные схемы линейных систем.
Так как всякая структурная схема представляет линейную систему в виде соответствующего соединения более простых линейных систем, сумматоров и точек разветвления, то любое пре
§ 4.7. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е П РЕО БРА ЗО В А Н И Я Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
189 |
образование структурной схемы сводится к поочередной попарной перестановке ее соседних звеньев. Поэтому достаточно научиться переставлять различные соседние звенья структурной схемы — точки разветвления, которые мы будем называть для краткости узлами, сумматоры и линейные системы.
Ясно, что все преобразования в структурной схеме и, в част ности, перестановки соседних звеньев должны производиться так,
чтобы все |
Рис. 4.7.1. |
Рис 4.7.2’. |
|
входные и выходные сигналы каждого преобразуемого |
|
участка схемы оставались неизменными. В этом состоит основной принцип структурных преобразований, который обеспечивает равноценность исходной и преобразованной схем в том смысле,
что обе они соответствуют одной и той |
|
|
|
||||
же линейной системе. |
общего |
|
|
|
|||
Из |
сформулированного |
|
|
|
|||
принципа вытекают следующие пра |
X , |
|
|
||||
вила |
структурных |
преобразований: |
|
|
|
||
1) |
Два узла всегда можно менять |
t/j-X j |
Хг |
||||
местами (рис. 4.7.1). |
можно |
|
|
|
|||
2) |
Два сумматора всегда |
X-, |
|
y2-Xj+X£ |
|||
менять местами (рис. 4.7.2). |
|
Т |
|||||
3) |
При переносе узла через сум |
|
|
||||
матор по ходу сигнала (или сумма |
х г |
У ;~х 1 |
|||||
тора через узел против хода сиг |
|
|
|||||
нала) следует добавить связь между |
Рис. 4.7.3. |
||||||
линией |
второго |
входа сумматора |
|||||
и ответвлением, направленную по ходу сигнала в прямой цепи и содержащую усилитель скоэффициентом усиления —1 (рис. 4.7.3).
4)При переносе узла через сумматор против хода сигнала (или сумматора через узел по ходу сигнала) следует добавить связь между линией второго входа сумматора и ответвлением, направ ленную против хода сигнала в прямой цепи (рис. 4.7.4).
5)При переносе узла через линейную систему по ходу сигнала необходимо включить в ответвление обратную линейную систему
(рис. 4.7.5).