книги из ГПНТБ / Мазель Е.З. Планарная технология кремниевых приборов

пропорционально количеству фононов, имеющих энергию, достаточ­ ную для их образования:

поэтому при нормальной температуре количество вакансий в едини­

це объема полупроводника будет достаточно малым. Оценки дают для этой величины значения порядка 107—10s \/см~3, т. е. по одной

вакансии на 101 5 —10'° атомов.

Наличие в решетке дефектов другого типа, например дислокаций, атомов примесей и их комплексов, а также их взаимодействие могут привести к образованию дополнительных вакансии и увеличению их плотности по сравнению со значением, соответствующим выражению

оказавшиеся рядом с ними). Для осуществления этого процесса, оче­ видно, потребуется энергия, во много раз меньшая, чем, скажем, для перемены местами двух соседних атомов.

Движение атомов примесей в соответствии с вакансионным ме­ ханизмом диффузии можно поэтому представить себе следующим образом. Вакансии, перемещаясь по решетке, зремя от времени ока­

торый, сравнительно небольшой, 'энергетический барьер. Вероятность

вероятность того, что за единицу времени атом примеси покинет свое положение, может считаться пропорциональной произведению вероят­ ности того, что рядом с атомом окажется вакансия, на вероятность преодоления потенциального барьера между атомом примеси и ва­ кансией. Первая из этих величин пропорциональна количеству вакан­ сий в единице объема. Поэтому можно считать, что вероятность пе­

где величина kE=U'+U называется энергией активации процесса

диффузии.

Иногда говорят не о вероятности перехода атома из своего по­ ложения за единицу времени, а рассматривают величину, обратную р и представляющую собой среднее время пребывания атома в опре­ деленном узле решетки. Очевидно, что за время

(4-4)

132

Рассматривая элементы, относящиеся к другим группам перио­ дической системы, т. е. к первой, второй, шестой, седьмой и восьмой, можно сказать, что большая часть этих элементов образует в крем­ нии твердые растворы внедрения, т. е. занимает места не в узлах решетки, а в междоузлиях. Диффузия атомов, образующих растворы

в соседнее с ним, как бы «продавливаясь» между окружающими его атомами. При этом ему приходится преодолевать потенциальный

барьер, по всей видимости более высокий, чем барьер U', преодоле­

ваемый атомом при переходе из узла в соседнюю с ним вакансию. Однако величина этого барьера существенно меньше, чем AE=U'+U.

Поэтому вероятность перехода атомов примеси в твердом растворе внедрения из одного междоузлия в соседнее существенно выше ве­ роятности перехода атома из узла в соседний узел. В связи с этим диффузия их происходят существенно быстрее, чем диффузия атомов элементов третьей и пятой групп. Картина диффузии элементов, спо­ собных образовывать в решетке полупроводника растворы обоих ти­ пов, значительно сложнее, так как в одних условиях они могут диф­ фундировать по узлам, а в других по междоузлиям. Примером такой примеси является цинк.

133

4-2. У Р А В Н Е Н И Е Д И Ф Ф У З И И И Е Г О О С Н О В Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Й

Если в какой-либо" среде имеется неравномерно распределенная примесь, то в процессе диффузии происходит выравнивание концентра­ ции, т. е. переход примеси от мест с большим содержанием в места с меньшим содержанием.

Рассмотрим для простоты одномерный случай, т. е. среду, кон­ центрация примеси в которой зависит только от одной переменной,

Величина D, являющаяся коэффициентом пропорциональности между потоком примесей и градиентом концентрации, называется коэффициентом диффузии. В определенных условиях величина D может рассматриваться как постоянная.

С течением времени распределение, показанное на рис. 4-2, посте­ пенно сглаживается.

Рассматривая баланс примеси в слое вещества толщиной Ах и

Это уравнение называется уравнением диффузии. Можно пока­ зать, что в случае, когда задачу ?!ельзя считать одномерной, это уравнение принимает вид:

В полупроводниковой технологии очень часто условия процессов позволяют считать задачу одномерной. В таких процессах практиче­ ские результаты диффузии могут быть связаны наиболее простым образом с расчетными данными. При создании планарных переходов и структур значительные их области в большинстве случаев могут рассматриваться как полученные в результате одномерной диффузии. Вблизи краев планарных структур диффузия уже не может считаться одномерной. Вопросы, связанные с решением неодномерных задач диффузии, будут рассмотрены далее.

Приведем решения наиболее простых задач одномерной диффу­ зии. На практике результаты диффузии всегда отличаются от этих решений. Получение расчетных данных, соответствующих реальным

134

условиям с DbicoKon точностью, возможно только с помощью счетнорешающих устройств. В то же время решения наиболее простых за­ дач одномерной диффузии очень верно отражают качественный ха­ рактер распределения примесей в диффузионных структурах.

2 УТЯ

prfy, а дополнение этой функции до 1 обозначается как егГсу. По-

135

этому решение уравнения диффузии (4-9) с начальными условиями, показанными на рис. 4-3,0, может быть записано как

Если W=y^0 и х=£0, то легко показать, что решение уравнения (4-10) может быть переписано как

Решение (4-10) может быть использовано и для таких одномер­ ных задач, когда диффузия происходит не в бесконечном кристалле, а идет в тюлубесконечнын полупроводник (при условии, что на по­ верхности полупроводника концентрация примеси постоянна и равна Л'пов). Надо только в уравнении (4-10) заменить N\\2 на Л/1 И ) в:

(4-12). Так, плоскость, соответствующая какой-либо концентрации N<N\j2 (или Л^пов), будет с течением времени смещаться в сторону увеличения х пропорционально Vt (рис. 4-4).

N

а,

Hi

Ni/2

Рис. 4-4. Распределение примесей для диффузии, задаваемой за­ коном

N = {N,/2) [ e r f c - ^Dt

а — начальное распределение; б — распределение в момент времени t; в — рас­ пределение в момент времени 4/.

На практике приходится часто встречаться еще с одним случаем диффузии — с одномерной диффузией из ограниченного источника. Представим себе, что в начальный момент концентрация примеси постоянна между координатами xt и х 2 и равна нулю во всем осталь­ ном бесконечном полупроводнике. В последующие моменты происхо­ дит диффузия, и примеси расходятся из легированного слоя в осталь­ ную часть кристалла. Не теряя общности, можно считать, что xi =

=— ft/2, а хг =Л/2. Пусть концентрация примесей в начальный момент

136

между —Л/2 I I Л/2 равна Л'0 . Рассмотрим область, имеющую в на­

правлении осей у и z сечение, равное единице. Тогда, исходя из (4-8), можно написать:

Л/2 {х—х'У

Распределение (4-14) напоминает распределение Гаусса и отли­ чается от него (если в качестве аргумента рассматривать x2/4Dt) только тем, что величина N(0, /) не остается постоянной, а изменяет­ ся пропорционально 1/J/7. Тем не менее это распределение в литера­ туре часто называют просто гауссовым.

Продифференцировав выражение (4-14) и взяв значение производ-

з этом месте поток примесей равен всегда нулю. Поэтому решение (4-14) можно распространить на практически важный случай, когда диффузия ведется из очень тонкого легированного слоя, расположен­ ного в полупроводнике у самой его поверхности, и когда на поверх­ ности имеется защита, обеспечивающая непроницаемость границы, г. е. полное отсутствие потока примесей из полупроводника наружу.

137

В этом случае решение уравнения (4-14) можно писать в виде

t — время.

на границе полупроводника (или при диффузии из «скачка» концен­ трации) имеет место свободное проникновение примеси в полупровод­ ник и мгновенное установление постоянного граничного условия Wo(0, t) = const.

промежуточные случаи, когда и концентрация и поток на границе полупроводника все зремя изменяются и связаны друг с другом тре­ бованием, чтобы непосредственно на границе полупроводника не про­ исходило накопления примеси '(т. е. чтобы поток примесей в полу­ проводник был равен потоку примесей в полупроводнике в непосред­

\х=о;

Что касается суммарного потока в полупроводник, то он складывается из двух потоков: одного, подходящего снаружи к по­ верхности полупроводника, и другого, представляющего собой поток примесей, выходящих из полупроводника. Этот поток можно считать пропорциональным концентрации примесей у поверхности, т. е. ве­ личине ^V:(0, t). Если поток снаружи не изменяется, то происходит постепенное установление концентрации примеси на поверхности по­ лупроводника так, что в конце концов оба потока — снаружи и изну­ три — стремятся к одному значению. Если концентрацию, соответст­ вующую установившемуся состоянию, обозначить как N(0, о о ) , то

138

пропорциональности. Суммарный поток примесей в полупроводник будет равен K[N(0, оо)—N(Q, t)], а граничное условие для диффузии

Величина К имеет размерность скорости и характеризует прони­ цаемость границы и скорость установления процесса. При /Х-э-оо мы будем иметь дело с мгновенным установлением концентрации у по­

верхности, соответствующая установившемуся равновесию. Помимо

у

Для диффузии примесей из ограниченного источника, если гра­ ница не может считаться непроницаемой (в этом случае поток при­ месей снаружи равен нулю), решение будет иметь вид:

При z-Ю (К-*-0) выражение (4-19) перейдет в (4-15).

Итак, рассмотренные простейшие одномерные задачи диффузии при различных начальных и граничных условиях имеют в предель­ ных случаях решения в виде трех функции — функции Гаусса, допол­ нительной функции ошибок и интеграла от дополнительной функции ошибок. При высоких температурах, когда заметным образом проис­ ходит диффузия примесей в кремний, может начать сказываться испа­ рение самого кремния с поверхности того кристалла, в который про-

139

водится диффузия (например, при диффузии в разреженной атмосфе­ ре). Это обстоятельство приведет к тому, что решение одномерной задачи диффузии в этом случае существенным образом изменится. Проще всего для рассмотрения диффузии в испаряющийся полупро­ водник ввести подвижную систему координат, начало которой рас­ полагается не в плоскости х=0, а в плоскости, движущейся в на­ правлении оси х со скоростью испарения кремния о. Фактически нас в каждый момент интересует распределение примесей относительно

проводник так, чтобы распределение, было близко к какому-либо из рассмотренных, то различие между ними будет не очень существенно при условии, что все они имеют одинаковую поверхностную концен­ трацию и одинаковую кончен-

140