книги из ГПНТБ / Пивоваров В.А. Проектирование и расчет систем регулирования гидротурбин

Частотный критерий устойчивости гласит: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно­ фазовая частотная характеристика устойчивой или нейтральной разомкнутой системы не охватывала критическую точку с коор­ динатами (— 1, г-0) (рис. 30, кривые 1 и 2).

Понятие устойчивая, или нейтральная, разомкнутая система говорит о том, что ее характеристическое уравнение Q (г) не со­ держит корней с положительными вещественными частями, но может иметь нулевые или чисто мнимые корни. Наличие или от­ сутствие положительных корней легко можно обнаружить, так

как передаточная функция разомкнутой системы, как правило, представляет собой послёдовательное соединение рассмотренных выше типовых звеньев.

Если же разомкнутая система неустойчива, то для устойчи­ вости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ампли­ тудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы охватывала критическую точку с координатами (— 1, г-0) на угол тп против часовой стрелки, где т — число корней с положи­ тельными вещественными частями в уравнении Q (z) = 0 (рис. 31, кривая 1).

Когда условия критерия не выполняются, замкнутая система будет неустойчивой (кривая 3 на рис. 30 и кривая 2 на рис. 31).

Когда амплитудно-фазовая частотная характеристика разом­ кнутой системы проходит через критическую точку (— 1, і-0) (рис. 30, кривая 4), замкнутая система будет находиться на гра­ нице устойчивости. Физически это можно объяснить следующим образом. Допустим, что на вход системы (рис. 32, а) подан синусо­ идальный сигнал хвх и обратная связь отключена. Прохождение амплитудно-фазовой частотной характеристики через критиче­ скую точку (—1, г-0) означает, что при некоторой частоте сос амплитуда выходного сигнала а'ВЬ!Х равна по величине амплитуде

75

входного сигнала, а сдвиг фазы ср = — 180°. Следовательно, в замкнутой системе даже при отсутствии входного сигнала мо­ гут существовать синусоидальные колебания с частотой сос.

Таким образом, согласно частотному критерию, устойчивость замкнутой системы определяется расположением кривой G (ш) относительно критической точки (— 1, і- 0). Чем дальше от этой точки проходит кривая, тем дальше будет находиться система от границы устойчивости. Обычно степень устойчивости характери­ зуется запасами по фазе и амплитуде, которые определяются так.

гарифмическим частотным характеристикам. Прежде всего от­ метим, что модулю А = 1 (точка сос на рис. 32, б) в логарифми­ ческом масштабе соответствует 0 дБ, т. е. при сос амплитудная характеристика пересекает ось со. Значение сос называют часто­ той среза. Будем также считать, что статический коэффициент

ским характеристикам можно сформулировать следующим об­ разом.

Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы логарифмическая амплитудная характеристика разомкну­ той системы пересекала ось абсцисс при частоте, которой соот­ ветствует отставание фазы не более 180° (рис. 33, а). Если это условие не выполнено, то замкнутая система неустойчива (рис. 33, б). В случае, когда сдвиг фазы ф = —180° соответствует

Тогда запас устойчивости по фазе Дф определится как превыше­ ние фазовой характеристики над прямой — 180° при частоте среза сос, а значение ДА в децибелах амплитудной характеристики при

76

частоте, когда фазовая характеристика пересекает прямую — 180°, является запасом устойчивости по амплитуде (модулю).

Аналогичным путем можно сформулировать частотный кри­ терий устойчивости и для случая, когда разомкнутая система неустойчива.

П р и м е р п р и л о ж е н и я ч а с т о т и ы х к р и т е ­ р и е в .

Определим устойчивость замкнутой системы (рис. 34, с), со­ стоящей из звеньев с известными передаточными функциями.

Рис. 33. Логарифмические частотные характеристики устойчивой (а), неустой чиной (б) и находящейся на границе устойчивости (а) систем

Разомкнем систему в точке 1. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет

из которой видно, что степень числителя меньше степени знаме­ нателя. Один из корней характеристического уравнения (соот­ ветствующего знаменателю G) равен нулю, а остальные — отри­ цательные. Следовательно, разомкнутая система нейтральна, при­ чем статический коэффициент ее усиления (а —>0) G (0) —>оо. Применим критерий устойчивости по логарифмическим характе­ ристикам.

Заменив р на ісо, получим

представляет собой сумму характеристик типовых звеньев, приведенных в табл. 2.

77

порционалыіо-дифференцируюіднм звеньям — обычному и инверторному, поэтому

ff)

Рис. 34. Логарифмические частотные характеристики устойчи­ вой системы

при частотах со2 и со4амплитудная характеристика изменяет наклон каждый раз на 20 дБ/дек. Фазовая же характеристика 2 звена с Г 2 имеет сдвиг ср = 45°

шаблона, а результирующая фазовая характеристика 'ср разомкнутой системы получена путем алгебраического суммирования характеристик 1—5 с фазовой характеристикой 6 идеального интегрирующего звена.

Построение амплитудной характеристики начинаем с идеального интегри­

системы легко вычерчивается, поскольку мы уже знаем точки излома этой харак­ теристики. Первоначальный наклон — 20 дБ/дек будет только до частоты со,, здесь он будет уже — 40 дБ/дек и продолжается до частоты со2. От ш2до со., наклон будет — 20 дБ/дек, а от со4до со5будет 0. При частотах же со5 и со3 амплитудная

характеристика каждый раз изменит наклон на —20 дБ/дек. Из рис. 34, б видно, что система имеет запасы устойчивости Дф = 50° и ДА —4 дБ. Значит, замкну­ тая система, показанная на рис. 34, а, при заданных параметрах будет устой­ чивой.

78

11. Номограммы для определения частотных характеристик замкнутой системы

На практике часто приходится исследовать так называемые миогоконтурные системы, о которых уже упоминалось. В этих системах (рис. 35, а) кроме главной обратной связи имеются еще внутренние обратные связи, образующие свои внутренние регу­ лирующие контуры, которые сами по себе могут быть неустойчи­ выми, если их параметры выбраны неудачно. Поэтому эти кон­ туры также должны проверяться на устойчивость. В то же время

систем.

Вообще говоря, эти характеристики можно получить по выра­ жению (2.24), заменив в нем р на гео и подставив различные зна­ чения частоты от со = 0 до со = оо. Однако такой путь связан с до­ вольно громоздкими вычислениями, особенно при синтезе систем. На практике для построения частотных характеристик замкнутой системы обычно используются специальные номограммы, часто называемые также номограммами замыкания. Рассмотрим, как они получены.

С помощью правил преобразования структурных схем лю­ бая система регулирования может быть приведена к виду, показан­ ному на рис. 35, б. Здесь G (р) — передаточная функция разом­ кнутой системы. Используя (2.24), получим амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы

ѵ т = - р т т к г (2Л4|>

Если на комплексной плоскости вычертить амплитудно-фазо­ вую характеристику разомкнутой системы G (іа) (рис. 35, в), то эта же кривая относительно точки (— 1, і-0) представляет

79

Поскольку U и V относятся к комплексной плоскости, на ко­ торой построена кривая G (гсо) разомкнутой системы, то на этой же плоскости для любого постоянного значения /VI уравнение (2.143) представляет собой уравнение окружности с радиусом, равным Лі/(1 — Л42), и центром, расположенным на вещественной оси U (сплошные линии на рис. 36). При различных М = const полу­ чаем семейство окружностей. Центры всех окружностей, для ко­

вырождается в прямую, параллельную мнимой оси и проходя­ щую через точку U = —0,5. Когда М —>оо , что соответствует условию сильных колебаний в замкнутой системе или резонансу, центр окружности находится вблизи критической точки (—1, г-0), а ее радиус стремится к нулю.

Аналогичным путем можно получить линии равных значений сдвига фазы ф замкнутой системы. Согласно выражению (2.141)

окружности) должна находиться на одинаковом расстоянии от

80

Рис. 36. Номограмма для определения амплитудно-фазовых характеристик замкнутых систем

Рис. 37. Номограмма для определения логарифмических характеристик зам­ кнутых систем (по оси абсцисс указан .запас по фазе)

82