книги из ГПНТБ / Пивоваров В.А. Проектирование и расчет систем регулирования гидротурбин

Логарифмическую фазовую частотную характеристику при­ ближенно можно также построить в виде суммы фазовых характе­ ристик двух последовательно соединенных апериодических зве­ ньев, причем при со = МТ значение ср = —90°. Однако действи­ тельные логарифмические характеристики в зависимости от

т. е. в отличие от апериодических звеньев колебательное звено обладает резонансными свойствами и коэффициент усиления амплитуды вблизи частоты собственных колебаний может стано­ виться больше статического коэффициента /г. Поэтому при расчетах логарифмические частотные характеристики колебатель­ ного звена целесообразно строить непосредственно по выраже­ ниям (2.72) и (2.73) или пользоваться специальными номограм­ мами (рис. 23 и 24), на которых изображены логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для различных значений коэффициента затухания £ ^ 1 в зависимости от соТ.

Идеальное и реальное интегрирующие звенья. У идеального интегрирующего звена выходная величина пропорциональна ин­

Переходная функция при хвх = [1] и хпых (0) = 0 представляет собой прямую А'вых — kt (табл. 2, звено 5).

Согласно (2.74), передаточная функция идеального интегри­ рующего звена имеет вид

а амплитудная фазовая частотная характеристика

совпадает с отрицательной мнимой осью и имеет при всех часто­ тах постоянный сдвиг фазы, равный —90°, так как

ср — —arctg оо = —90°.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика по­ лучается из выражения

55

56

Рис. 23. Логарифмические амплитудные^частотные характеристики колебательного звена для различных значений £ ^ 1

57

Давая изменение со, соответствующее одной декаде, получим приращение

L (10©) — L (со) = 20 ig k — 20 lg 10 — 20 lg со — 20 lg /е +

+ 20 lg со = —20 дБ.

При со = 1 значение L = 20 lg /г. Следовательно, логариф­ мическая амплитудная частотная характеристика идеального интегрирующего звена представляет собой прямую с наклоном —20 дБ/дек, проходящую через точку с координатами со = 1 и Д = 20 lg k. Фазовая частотная характеристика также представ­ ляет собой прямую, параллельную оси со и отстоящую от нее на —90°.

Дифференциальное уравнение реального интегрирующего звена имеет вид

шых условиях дает следующее выражение для переходной функ­

Из (2.80) видно, что переходная функция реального интегри­ рующего звена определяется прямой kt, соответствующей пере­ ходной функции идеального звена, из которой вычитается экспо­ нента с постоянной времени Г.

Передаточная функция реального интегрирующего звена

58

а логарифмическая амплитудная частотная характеристика будет

что логарифмические частотные характеристики реального интегри­ рующего звена получаются простым сложением логарифмиче­ ских характеристик идеального интегрирующего и апериодиче­ ского звеньев. При частотах, меньших 1IT, это звено близко к иде­ альному интегрирующему (табл. 2, звено 6).

Идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Идеальное дифференцирующее звено дает на выходе производную по вре­

мгновенный импульс. Если же считать, что входная величина хвх подается не мгновенно, а за некоторый промежуток времени At, то и А'вых будет иметь конечное значение, что часто ближе к реаль­ ным условиям подачи входного сигнала (табл. 2, звено 7).

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена

Сравнивая (2.91) с (2.78), видим, что они отличаются лишь знаком перед вторым членом. Отсюда логарифмическая ампли­ тудно-частотная характеристика идеального дифференцирующего

59

Здесь Т, так же как и в (2.79), является инерционной постоянной данного звена. Переходная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения (2.92), определяется выражением

__t_

из которого видно, что, когда Т = 0, звено превращается в идеаль­ ное дифференцирующее.

Рассмотрим частотные характеристики этого звена. Согласно (2.92):

Таким образом, амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена представляет собой полу­ окружность с диаметром klT, расположенную в положительной четверти комплексной плоскости (табл. 2, звено 8).

Как видно из табл. 2, в отличие от апериодических и интегри­ рующих звеньев дифференцирующие звенья дают не отставание, а опережение фазы. Как будет показано ниже, это является весьма ценным свойством дифференцирующих звеньев.

Из (2.96) получаем логарифмическую амплитудную характе­

которая складывается из уже известных характеристик идеаль­ ного дифференцирующего и апериодического звеньев.

На рис. 25 показаны отдельные характеристики, построенные по выражению (2!97), и результат их сложения. Принято считать, что реальное дифференцирующее звено выполняет свои диффе­ ренцирующие функций при частотах со <j 1IT.

60

Пропорционально-дифференцирующее звено. В таком звене выходная величина хвых пропорциональна не только отклоне­ нию входной величины л:вх, но и производной от этого отклоне­ ния, т. е. дифференциальное уравнение этого звена определяется зависимостью

А — к У Т2со2-f 1 .

Из (2.101) следует, что на комплексной плоскости амплитудно­ фазовая частотная характеристика пропорционально-дифферен- цирующего звена является прямой, параллельной положительной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии, равном коэффи­ циенту усиления к. При изменении частоты ш от 0 до оо сдвиг фазы ер изменяется от 0 до +90°.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика оп­ ределится, из выражения

61

Сравнивая (2.102) с (2.50), а также выражения для ф из (2.101) и (2.49) приходим к выводу, что логарифмические частотные ха­ рактеристики пропорциоиалыю-диффереицирующего звена яв­ ляются зеркальным отображением подобных характеристик апе­ риодического звена первого порядка относительно оси абсцисс. Значит, в данном случае, начиная с со = МТ, амплитудная ха­ рактеристика имеет наклон -|-20 дБ/дек, а сдвиг фазы ф = 45°. Вся логарифмическая фазовая частотная характеристика строится с помощью того же шаблона, что и для апериодического звена, только для положительных значений сдвига фазы ф.

Пропорционально-интегрирующее звено. Выходная вели­

т. е. на выходе звена установится постоянная скорость, опреде­ ляемая коэффициентом усиления k интегрально составляю­ щей.

Согласно (2.103), передаточная функция и амплитудно-фа­ зовая характеристика звена имеют вид:

где Т = k jk .

Из (2.105) имеем:

При изменении частоты от 0 до с о амплитудно-фазовая ча­ стотная характеристика этого звена будет представлять собой прямую, параллельную отрицательной мнимой оси и отстоящую от нее на расстояние, равное kT (табл. 2, звено 10). Поскольку модуль комплексной величины

л/г іДрсоз+ 1 г

со

то логарифмическая амплитудная частотная характеристика оп­ ределится из выражения

/

Из (2.106) и (2.107) видно, что логарифмические частотные характеристики пропорционально-интегрирующего звена склады­ ваются из частотных характеристик идеального интегрирующего

62

и пропорционально-дифференцирующего звеньев. На рис. 26 по­ казаны составляющие и результирующие логарифмические ха­ рактеристики этого звена.

Изодромное (гибкое) звено. В общем видъдинамика изодромного звена описывается тем же уравнением, что и динамика реального дифференцирующего звена (2.92). Однако между этими звеньями имеется некоторое различие. Дело в том, что время Т, входящее в уравнение (2.92), является инерционной постоянной, прису­ щей самой природе реального дифференцирующего звена, в то время как в изодромное звено постоянная времени Т вводится спе­ циально Для стабилизации системы регулирования. Как правило, это звено включает­ ся в цепь обратной связи и часто называется звеном изо­ дромной обратной связи.

В отличие от (2.92) диф­ ференциальное уравнение изо­ дромного звена запишем в

а передаточная функция и амплитудно-фазовая частотная характе­ ристика определятся по выражениям:

откуда

Из (2.111) определяем и логарифмическую амплитудную ча­ стотную характеристику

Динамические характеристики изодромного звена также при­ ведены в табл. 2, звено 11. Если их сравнить с характеристиками реального дифференцирующего звена, то по внешнему вдду они

63

совпадают. Однако динамические свойства этих звеньев различны. Например, согласно логарифмическим амплитудным характе­ ристикам, изменение постоянной времени Т в реальном дифферен­ цирующем звене ведет к изменению характеристики лишь при частотах со >> МТ, в то время как в изодромном звене время Т влияет на амплитудную характеристику во всем диапазоне ча­ стот.

устанавливается определенная величина, т. е. выходная величина неограниченно удаляется от установившегося значения.

Рассмотрим динамические характеристики некоторых не­ устойчивых звеньев, часто встречающихся в-системах автомати­ ческого регулирования. Однако в начале необходимо сделать ого­ ворку. Известно, что частотные характеристики любого звена определяют установившиеся синусоидальные вынужденные коле­ бания. Поскольку в отдельно взятом неустойчивом звене на вы­ ходе отсутствует установившееся состояние, то такое звено прак­ тически не может иметь установившихся вынужденных колеба­ ний, по которым возможно получить частотные характеристики. Поэтому амплитудно-фазовые и логарифмические частотные ха­ рактеристики неустойчивых звеньев могут быть построены только

Амплитудно-фазовая характеристика данного звена представ­ ляет собой полуокружность, расположенную в третьем квадранте комплексной плоскости, так как здесь:

а логарифмическая амплитудная характеристика совпадает с ха­ рактеристикой устойчивого апериодического звена, поскольку

64