книги из ГПНТБ / Пивоваров В.А. Проектирование и расчет систем регулирования гидротурбин

равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой системы.

Замкнутая система регулирования, показанная на рис. 11, относится к простым одноконтурным системам. На практике встречаются более сложные многоконтурные системы, в которых имеется не одна, а несколько цепей обратных связей, образующих свои внутренние контуры регулирования. Часто цепи этих вну­ тренних контуров пересекаются друг с другом. В таких случаях без знания правил преобразования структурных схем чрезвы­ чайно трудно определить передаточную функцию системы.

В)

Рис. 13. Преобразование сложной замкнутой системы в простую одно­ контурную систему

Существуют два основных правила, с помощью которых можно преобразовать многоконтурную систему любой сложности

впростую, ей эквивалентную.

1.Цепь ответвления сигнала в системе может быть перенесена вперед или назад по направлению стрелки, но так, чтобы новая точка ответвления не прошла суммирующую точку. Если цепь

ответвления переносится вперед за передаточную функцию W, то последовательно с этой цепью должна быть добавлена функ­

2. Цепь, входящую в точку суммирования, можно перенести вперед или назад в системе, но так, чтобы новая точка суммиро­ вания не прошла точку ответвления. Когда эта цепь перемещается в системе вперед за функцию W, необходимо данную функцию включить последовательно в перенесенную цепь. Если же цепь перемещается назад за функцию W, то в эту цепь последовательно

замкнутая система регулирования и показан путь ее преобразо­ вания в простую одноконтурную систему (рис. 13, б и в). В дан­ ном случае цепь с передаточной функцией W и входящая в сум­ мирующую точку, перенесена назад за функцию Wг, поэтому

30

8. Частотные характеристики

Как уже отмечалось, основная задача проектирования и рас­ чета системы автоматического регулирования заключается в удо­ влетворении требованиям устойчивости и качества переходных процессов. Для решения этой задачи необходимо знать статиче­ ские и. динамические характеристики всех звеньев, включенных в данную систему. Характеристики отдельных звеньев могут быть определены по их переходным функциям. Однако конечной целью расчета является проверка работы системы в ее замкнутом состоя­ нии. Для этого метод переходной функции мало пригоден, так как он требует громоздких вычислений, связанных с определением корней характеристического уравнения, особенно когда порядок

регулирования широкое применение получил частотный метод, основанный на использовании частотных амплитудно-фазовых и логарифмических характеристик. Ценность частотного метода состоит в том, что он позволяет, не решая дифференциальных уравнений всей системы, производить полный анализ динамики регулирования, включающий в себя анализ устойчивости, каче­ ства и переходных процессов. Кроме того, этот метод устраняет необходимость громоздких вычислений, так как он основывается на использовании специальных шаблонов, номограмм и таблиц, что особенно важно для инженерной практики.

Частотные характеристики описывают реакцию системы (звена) на гармоническое входное воздействие различных частот. Пусть на вход линейной системы подаются синусоидальные колебания

с амплитудой а и угловой частотой со.

После окончания переходного процесса в системе на ее выходе установятся вынужденные колебания с той же частотой со, 'но с другой амплитудой аг и сдвигом фазы ср между выходным и входным сигналами

*вых = й і sin + ср). (2.26)

При постоянном значении амплитуды входного сигнала а величины аг и ср будут зависеть от частоты колебаний со. Если на вход системы подавать колебания с различной частотой со и для каждой частоты определять значение усиления амплитуды

31

выходе системы от частоты колебаний входного сигнала назы­ вается амплитудной частотной характеристикой системы, а зави­ симость сдвига фазы ср между выходным и входным сигналами от частоты колебаний называется фазовой частотной характе­ ристикой. Вид этих характеристик представлен на рис. 14, а и б.

На практике обычно пользуются амплитудно-фазовой частот­ ной характеристикой, построенной в полярных координатах, которая объединяет оба графика на рис. 14. Ее построение ве­ дется следующим образом. Для каждой частоты колебаний со =

проводятся лучи под углами к горизонтальной оси, соответству­ ющими найденным значениям срх, ср2, . . ., причем отрицательные углы откладываются по часовой стрелке. Затем на каждом луче

и представляет собой амплитудно-фазовую частотную характе­ ристику. Значение амплитуды А = k, соответствующее со = О, называется статическим коэффициентом усиления данной системы или звена.

Как видно из рис. 14, а, по мере увеличения частоты со коэф­ фициент усиления в динамике изменяется. Интервал частот от со = 0 до со = со о, в котором коэффициент усиления мало отли­ чается от статического, называется интервалом равномерного пропускания частот. При со >> <в4 данная система практически не пропускает колебания, подаваемые на ее вход, т. е. она служит как бы фильтром низких частот. В общем же случае каждое звено и каждая система характеризуется своей полосой пропу­

32

скания частот. Кроме того, для анализа и расчета важно знать и другие особенности частотных характеристик всех звеньев, включенных в систему.

Поскольку частотная характеристика показывает, насколько точно данная система регулирования может воспроизводить быстро меняющиеся величины на ее входе, то можно так подобрать элементы этой системы и ее схему, чтобы изменить полосу про­ пускания частот в нужную сторону.

В практических расчетах удобно пользоваться частотными характеристиками, построенными в логарифмическом масштабе.

В этом случае они называются логарифмическими амплитудной

ифазовой частотными характеристиками. Для их построения по оси абсцисс откладывается lg со, но пишется значение самой частоты со в рад/с (рис. 15). В результате по оси абсцисс полу­ чается неравномерный логарифмический масштаб. Изменение частоты со в десять раз называется декадой, а изменение в два

раза — октавой. В данном случае равномерным масштабом по оси со являются декада и октава. Следует отметить, что по оси

измеряется в децибелах. Нетрудно видеть, что изменение усиле­ ния амплитуды в десять раз приводит к изменению L на 20 дБ.

На комплексной плоскости (рис. 16) функция еіш представ­ ляет собой вектор единичной длины, вращающийся с угловой скоростью со против часовой стрелки. Проекция этого .вектора на мнимую ось и будет выражать гармонические колебания (2.25). Следовательно, в комплексной форме можно записать

Тогда на выходе системы, вместо (2.26) будем иметь

Выражения для хвх и хВЬІХпо (2.28) и (2.29) подставим в диф­ ференциальное уравнение (2.2), и, учитывая, что:

г^'вых __ Л„>’(И/+ф) {ко), ~ d T ~ AIе

-плексной плоскости в координатах U—іѴ. Таким образом, Леіф =

=f (eo) является и с к о м о й амплитудно-фазовой характеристикой

системы.

Сравнивая выражение (2.30) с (2.3) и (2.12), приходим к заклю­ чению, что амплитудно-фазовая характеристика системы или звена может быть получена из передаточной функции путем простой замены в ней р на мнимую величину гео. Тогда, ампли­ тудно-фазовая частотная характеристика имеет вид

34

откуда модуль комплексной величины W (іа), представляющий собой амплитудную частотную характеристику, определяется как

дает фазовую частотную характеристику.

Накомплексной плоскости амплитудно-фазовую частотную характеристику можно строить непосредственнопо выражению (2.32), подставляя в него различные значения со и для каждого из этих значений откладывая U и V соответственно на действи­ тельной и мнимой осях.

9.Динамические характеристики типовых звеньев

Вобщем случае динамика любого звена может быть описана дифференциальным уравнением (2.3) или .(2.4), которое показы­

вает, что выходная функция хвых (t) зависит от входной хвх (і) и от свойств самого звена.

Чтобы иметь возможность сравнивать различные звенья по динамическим характеристикам, независимо от их физической природы, будем считать, что дифференциальное уравнение звена дано в безразмерной форме. В этом случае, вынеся в уравнении (2.3) за скобки в левой части а0, а в правой Ь0, получим переда­

измеряются в тех же единицах, что и время.

Звенья, порядок дифференциальных уравнений которых не превышает второго, называются, типовыми.

Ниже будут рассмотрены дифференциальные уравнения, пере­ ходные функции и частотные характеристики часто встречаю­ щихся типовых звеньев. Динамические характеристики типовых звеньев сведены в табл. 2.

Идеальное пропорциональное звено. Идеальное звено мгно­ венно передает на выхюд любое значение, которое получает

входная величина, поэтому часто такое звено называют чисто усили­ тельным. Для идеального звена уравнение динамики представ­ ляется простейшей алгебраической зависимостью

женной на k (табл^ 2, звено 1). Передаточная функция идеального звена определяется как

Выражение (2.38) можно рассматривать как комплексную величину, мнимая часть которой равна нулю, т. е. W (гсо) = = k 4-0-t. Модуль этой величины А (со) = k не зависит от частоты со, а фазовый угол ср = О при всех значениях со. Значит, амплитудно-фазовая частотная характеристика идеального звена представляет собой точкуна вещественной оси, отстоящую от начала координат на величину, равную коэффициенту усиления к.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика этого звена

-имеет вид прямой, параллельной оси частот со и отстоящей от нее на 20 lg к дБ, а логарифмическая фазовая частотная харак­ теристика ср = 0 совпадает с осью со.

Апериодическое звено первого порядка. Дифференциальное уравнение апериодического звена первого порядка имеет вид

t —>оо, т. е. математически новый установившийся режим насту­ пает при t = оо. Однако если считать, что переходный процесс

36

заканчивается, когда хВЬ1х = 0,95k, то легко вычислить его дли­ тельность

постоянная времени апериодического звена определяет длитель­ ность переходного процесса или инерционность данного звена, поэтому такое звено часто называют инерционным, тем самым

экспоненты.

Иногда вместо проведения касательной величину Т опреде­

которого свободная составляющая переходного процесса затухает в е раз.

Построим теперь частотные характеристики апериодического

а его амплитудно-фазовая частотная характеристика определится из (2.45), если заменить в нем р на гео,

37

40

41