книги из ГПНТБ / Пивоваров В.А. Проектирование и расчет систем регулирования гидротурбин

Г л а в а 2

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ

5. Линейные и нелинейные звенья и системы

Воспользуемся функциональной схемой системы автоматиче­ ского регулирования, показанной на рис. 1. Она состоит из ряда различных звеньев, выполняющих определенные функции, при­ чем вход каждого звена связан с выходом предыдущего. В даль­ нейшем под звеном будем понимать часть системы,' выходная величина которой не оказывает воздействия на ее входную ве-' личину.

_ На систему регулирования непрерывно действуют возмуща­ ющие воздействия z (t), а также управляющие воздействия с (I) (например, изменение настройки регулятора, сигналы от системы

Основным вопросом, которым занимается динамика регули­ рования, является исследование движения системы под действием возмущающих и управляющих воздействий. Это движение системы называется процессом регулирования, который математически характеризуется изменением регулируемой величины х во вре­ мени, т. е. функцией х (t). Значит, для того, чтобы изучить про­ цессы, происходящие в системе регулирования, необходимо прежде всего составить дифференциальные уравнения всех звеньев, входящих в данную систему, а также получить уравнения, мате­ матически связывающие между собой различные звенья. В ре­ зультате получим систему дифференциальных уравнений или одно общее дифференциальное уравнение высокого порядка, которым будет описываться динамика системы автоматического регулирования, ~"'

В общем виде уравнение (2.1) может содержать частные про­ изводные, или оно может получиться в интегро-дифференциальном или разностном виде. При заданных воздействиях г (t) и с (t)

21

процесс регулирования определяется общим решением я = х (t) уравнения (2.1).

Уравнения некоторых звеньев системы автоматического регу­ лирования могут содержать нелинейные функции. Иногда эти функции задаются графически, например статические характе­ ристики гидротурбины (рис. 4). Решение таких уравнений, вообще говоря, возможно только графически или численно, что, конечно, в сильной степени затрудняет получение общих результатов. Поэтому в теории автоматического регулирования нелинейные уравнения обычно линеаризируют; в этом случае систему назы­ вают линейной.

Процесс линеаризации состоит в переходе от нелинейных уравнений в полных переменных к линейным уравнениям для малых отклонений переменных от установившихся значений. Например, зависимость момента турбины M t от скорости вра­ щения п, показанная на рис. 4, является нелинейной. Однако если взять малые отклонения момента АMt = Ма — М/2 от его установившегося значения М,0, то в этом диапазоне характе­ ристику Mt = / (п) приближенно можно считать линейной. В основе такой линеаризации лежит предположение, что в процессе регулирования переменных изменяются так, что их отклонения от установившегося значения все время остаются достаточно малыми. Справедливость этого предположения вполне законна, так как сама идея работы автоматической системы требует малых отклонений регулируемой величины от ее установившегося зна­ чения.

Если хвх и л'вых являются входной и выходной величинами линейной системы или звена, то динамика последних будет описы­ ваться дифференциальным уравнением

(2.2)

d

= ргх и т. Д.;

22

Тогда уравнение (2.2) можно переписать в виде

К линейным системам относятся такие автоматические системы, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. При этом система может содержать звенья: 1) опи­ сывающиеся дифференциальными уравнениями с постоянными

ипеременными параметрами;

2)с распределенными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, системы, содержащие длинные трубопроводы, в которых необходимо учи­ тывать волновые процессы; 3) обладающие запаздыванием в пере­ даче воздействия.

Нелинейными называются такие системы, которые содержат

хотя бы одно нелинейное звено, т. е. когда характеристика какоголибо звена (или нескольких звеньев) не может быть линеаризована без существенного ущерба для точности получаемых результатов.

В данной главе будут рассмотрены только линейные звенья и системы. Представление уравнений отдельных звеньев системы автоматического регулирования в линейной форме значительно облегчает анализ динамики регулирования. Но при этом нужно всегда иметь в виду, что использование результатов, полученных на основании решения линеаризированных уравнений, будет приводить к определенным погрешностям при больших откло­ нениях от равновесных режимов. Несмотря на это, линейная теория регулирования лежит в основе всех инженерных методов

автоматического регулирования гидроагрегатов будет уделено особое внимание влиянию некоторых существенных нелиней­ ностей отдельных звеньев на качественные показатели работы замкнутой системы регулирования.

6. Устойчивость и качество переходных процессов

Динамика линейной системы автоматического регулирования описывается уравнением (2.3), которое можно представить в виде

23

общее решение однородного уравнения для случая, когда отсут­ ствуют кратные и нулевые корни и все корни различны, будет иметь вид

где Сх, С2 , ■■., Сп — постоянные интегрирования, определяемые по данным начальных условий.

Выражение для хвых1 (/) соответствует переходному процессу, или свободному движению системы, а частное решение ,ѵвых2 (/) — установившемуся процессу или вынужденному движению. Из

способной, так как она не сможет прийти в установившееся состоя­ ние, определяемое частным решением хвых2 (і). Такая система называется неустойчивой.

Посмотрим, при каких условиях линейная система будет устойчивой. В общем случае среди корней zlt zs, . . ., zn могут быть как вещественные, так и комплексные сопряженные. Пред­ положим, что уравнение (2.7) имеет k пар комплексных сопря­ женных корней а,- ± ißy, где / = 1, 2, . . ., к, и п—2k действи­ тельных корней s£, где і = 2/е -(- 1, . . ., а. Тогда общее решение

уравнению (2.9), это может быть-только в том случае, когда все слагаемые обеих сумм, входящих в правую часть; будут стре­ миться к нулю при t —>0 0 . Если с ростом времени хотя бы одно слагаемое будет расти, то неограниченно будет расти и значе­ ние хвь1х1, т. е. процесс будет расходящимся, а система неустой­ чивой.

В любом случае каждый член первой суммы выражения (2.9) определяет колебательное движение, и, если какой-либо член

24

т. е. система будет неустойчивой. Если же каждый член первой суммы будет иметь а << 0, то все они будут стремиться к нулю при t —>оо и каждый член будет давать колебательный затухающий процесс (рис. 9, б).

Точно так же обстоит дело и со второй суммой выражения (2.9), только все слагаемые этой суммы определяют экспонен­ циальное движение. Если какое-либо слагаемое второй суммы содержит s > 0, то при t —>оо и значение хвых1 —>о о , т. е. система неустойчива. Если же каждое из слагаемых этой суммы имеет

нулю или когда среди корней имеется пара чисто мнимых (а = 0), система находится на границе устойчивости и характер ее пове­ дения неопределенен (рис. 9, г).

Следовательно, для того чтобы линейная система автоматиче­ ского регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения этой системы были отрицательными. Заметим, что вещественный корень является частным случаем комплексного, когда его мнимая часть равна нулю.

Любая работоспособная система автоматического регулирова­ ния прежде всего должна быть устойчивой. Для этого ее пара­ метры, входящие в коэффициенты дифференциального уравнения, необходимо выбрать таким образом, чтобы переходные процессы были затухающими. Но устойчивость является не единственным требованием хорошей работы системы. Нужно еще обеспечить требуемое качество переходного процесса.

На рис. 10, а показан переходный процесс в системе регули­ рования после мгновенного изменения входной величины на Дхвх. Заштрихованная часть графика представляет собой так называе­ мую переходную динамическую ошибку, которая показывает, как изменяется отклонение регулируемой величины с течением времени.

25

Наиболее важными показателями переходного процесса яв­ ляются величина перерегулирования Ах и время переходного процесса, или время регулирования tp. Перерегулирование обычно выражается в процентах от номинального значения регу­ лируемой величины

Согласно выражению (2.9), значение ,Ѵ'ВЬ1Х будет равно нулю только при t = о о , т. е. математически время регулирования равно бесконечности. Поэтому для практических расчетов за

Рис. 10. Показатели качества переходного процесса

(а) и переходная функция звена (б)

время регулирования tp принимается время, в течение которого отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения становится меньше некоторой заданной величины е. Обычно берется е = ±5% от хвых0.

Дифференциальное уравнение звена или системы (2.3) описы­ вает изменение выходной величины хвых (t) в зависимости от заданной функции на входе хвх (t). С целью сравнения различных звеньев, применяемых в системах автоматического регулирования, по их переходным процессам необходимо на вход звена подавать

циального уравнения получим процесс перехода звена из состоя­ ния хвх = 0 в новое состояние, при котором л:вх = 1. Полученный таким образом график переходного процесса и само аналитическое

26

решение уравнения называется переходной функцией данного звена (рис. 10, б).

Принципиально для сравнения динамических характеристик различных звеньев и анализа их переходных процессов могут быть использованы и другие функции на входе, например ,vDX(t) =

Это отношение называется передаточной функцией звена или системы и обозначается следующим образом:

прямоугольников, обозначающих отдельные звенья, удобно впи­ сывать обозначения передаточных функций этих звеньев. На этой схеме кружочками обозначаются точки суммирования, а знаки плюс или минус указывают, суммируются или вычитаются дан­ ные сигналы. Зная действия над передаточными функциями, для этой структурной схемы можно получить передаточную функцию этой системы, не решая системы дифференциальных уравнений, которыми описываются отдельные звенья. Рассмотрим основные действия над передаточными функциями.

Последовательное соединение звеньев. Пусть имеется два после­

г отношение хшх/хвх иесть результирующая передаточная функция

W W 1 W ft. ( 2 . 1 5 )

27

два параллельно соединенных звена. Их передаточные функции соответственно W х и W2- В точке суммирования сигналы х х и х 2 могут складываться или вычитаться. Из рисунка следует

Значит, припараллельном соединений звеньев их передаточ­ ные функции алгебраически складываются.

Звено с обратной связью. Структурная схема такого звена представлена на рис. 12, в. В этом звене выходной сигнал хвЫХ через передаточную функцию обратной связи W2 подается со знаком минус или плюс на вход звена, т. е. звено имеет либо отрицательную, либо положительную обратную связь. По ана­ логии с предыдущим имеем

28

причем в знаменателе знак плюс соответствует отрицательной обратной связи, а минус — положительной.

Из полученного соотношения (2.21) следует, что передаточная функция звена с обратной связью равна передаточной функции этого звена без обратной связи, деленной на единицу плюс или минус произведение передаточных функций звеньев с обратной

Замкнутая система регулирования показана на рис. 11. В этой системе цепь, соединяющая входную величину хвх с выходной д вых, называется прямой цепью.

Разомкнутой называется такая система, в которой сигнал обратной связи не сравнивается с входным сигналом хвх. Ее можно получить из замкнутой системы, если отключить от точки сумми­ рования на входе сигнал обратной связи. В результате разомк­ нутая система регулирования представляет собой последовательное соединение звеньев прямой цепи и цепи обратной связи. Пере­ даточная функция разомкнутой системы, которую мы будем

Рассмотрим замкнутую систему регулирования (рис. 11). Необходимо иметь в виду, что в любой системе автоматического регулирования или следящей системе для выполнения задачи регулирования всегда производится сравнение выходной вели­ чины д:ВЬІХ с входной хвх. Сигналом для изменения установивше­ гося режима является разность между хвх и а'вых. Значит, в систе­ мах регулирования главная обратная связь всегда отрицательна в отличие от обратных связей отдельных звеньев, которые могут быть как отрицательными, так и положительными. Используя изложенные выше действия, получим

Числитель выражения (2.23) представляет собой передаточную функцию прямой цепи Wn, произведение WXW2WS равно G. В результате передаточная функция замкнутой системы

29