книги из ГПНТБ / Пивоваров В.А. Проектирование и расчет систем регулирования гидротурбин

Смысл введения в систему интегрирующего контура заклю­ чается в том, чтобы уменьшить коэффициент усиления разомкну­ той системы в районе частоты среза сос, не изменяя усиление при низких частотах (рис. 45). Это позволяет добиться устойчи­ вости, не снижая статической точности системы. Параметры 7 \ и k должны быть выбраны такими, чтобы отставание по фазе, создаваемое этим контуром, не оказывало заметного влияния на фазовую характеристику разомкнутой системы вблизи частоты

среза шс. Таким образом, действие интегрирующего контура состоит не в улучшении фазовой характеристики разомкнутой системы, а в уменьшении ее коэффициента усиления в определен­ ной области частот. В ряде случаев такой контур вводят в устой­ чивую систему регулирования для повышения статической точ­ ности ее работы (см. гл. 5, стр. 224).

В данном параграфе изложены только те методы корректи­ рования, которые применяются при проектировании систем регу­ лирования гидротурбин. Вообще же существуют и более сложные корректирующие цепи, с которыми можно ознакомиться в спе­ циальной литературе [21].

13. Граница области устойчивости на плоскости параметров

В практических расчетах часто требуется определить диапа­ зон изменения настраиваемых параметров, в котором замкнутая система регулирования устойчива. В этом случае цель исследо­ вания системй состоит в нахождении области устойчивости на плоскости параметров или границы области устойчивости, пред­ ставляющей собой совокупность точек пространства параметров системы, отделяющих область устойчивости от области неустой­ чивости.

95

В § б было показано, что замкнутая система регулирования устойчива в том случае, когда характеристическое уравнение системы

не содержит корней с положительной вещественной частью. Если все корни уравнения (2.169) нанести на комплексную плоскость а = ко, то для устойчивой системы они расположатся слева от мнимой оси (рис. 46, а). Эта плоскость называется пло­

ты, кроме а0 и аъ и требуется определить границу устойчи­ вости системы в зависимости от значений а0 и о.х. Задавшись про­ извольными значениями а0 >■ 0 и а 1 > 1 и подставив их в урав­ нение (2.169), определяем корни и наносим их на комплексную плоскость. Последовательно задавая все возможные сочетания коэффициентов а0 и а х и отмечая получающиеся корни на пло­ скости корней, определим величины а0 и аъ при которых корни располагаются на мнимой оси.

Теперь берем плоскость а0аг (рис. 46, б) и переносим на нее точки, соответствующие значениям а0 и аъ при которых корни уравнения (2.169) находятся на мнимой оси. Соединив эти точки кривой, получим границу устойчивости на плоскости коэффициен­ тов а0 и аъ которая разделяет области устойчивости и неустойчи­ вости коэффициентов.

Точно таким же пуетм можно определить границу устойчи­ вости и на плоскости параметров системы. Однако этот путь чрез­ вычайно громоздок. Поэтому были разработаны простые приемы для построения границы области устойчивости на плоскости одного и двух параметров. Одним из таких приемов является построение областей устойчивости по критерию Михайлова. В этом случае разбиение плоскости параметров на устойчивую и неустойчивую области называется D-разбнением, а граница, от-

96

определенный физический смысл — она представляет собой ча­ стоту собственных колебаний системы.

После построения D-кривой нужно еще решить вопрос, какие из значений т попадают в область устойчивости. Чтобы выяснить

В заключение необходимо убедиться в правильности решения задачи. Для этого следует внутри найденной области проверить

положим, что имеется характеристическое уравнение (2.169) и некоторые из его коэффициентов содержат параметры т и п си­ стемы, по которым требуется построить D-кривую. По аналогии с предыдущим выражение кривой Михайлова для уравнения (2.169) будет иметь тот же вид, что и (2.170), только теперь много­ члены Ul (со) и Ѵх (со) являются функциями от ш и от параметров in и п, а на границе устойчивости по критерию Михайлова должны соблюдаться соотношения:

нений с неизвестными т и п, видим, что их молено решить отно­ сительно т и п в виде:

пг = нг(со); \

(2.173)

п = п (со). /

Из (2.173) вытекает достаточно простой прием для построения D-кривой. Задаваясь значениями со от 0 до оо и подставляя их в (2.173), получаем величины пг и /г, принадлежащие D-кривой, которая вычерчивается на плоскости с координатами т и ѣ (рис. 47, б).

98

Отметим некоторые особенности, связанные с D-разбиением на плоскости двух параметров. При некоторых значениях со мо­ жет оказаться, что уравнения (2.172) будут отличаться друг от друга на постоянный множитель. В результате получится одно уравнение, которое дает на плоскости т, п не точку, а прямую. Такая прямая называется особой прямой.

Особых прямых может быть несколько. Две из них соответ­ ствуют значениям со = 0 и со = о о , и их уравнения определяются либо по выражению (2.173), либо приравниванием нулю первого (а0 и свободного (ап) коэффициентов характеристического уравне­ ния (2.169). Чтобы выяснить наличие др,угих особых прямых нужно

ния со подставить в (2.172) и определить уравнения этих прямых. ТакиД'і образом, на плоскости двух параметров граница D-раз- биения состоит из D-кривой и особых прямых. Когда D-разбиение осуществлено, необходимо выделить область устойчивости. На практике часто по смыслу бывает ясно, какая из частей, на кото­ рые разбивается плоскость параметров т и п D-кривой и особыми прямыми, принадлежит области устойчивости. Для определен­ ности в отыскании этой области существует следующее правило штриховки кривых. Если опредеІШтель Ах положителен, ToD-кри-' вая штрихуется слева при движении по ней в направлении воз­ растания со; если же определитель Дх отрицателен, то — справа. При этом, когда имеются особые прямые, они должны штрихо­ ваться отдельно и независимо от их пересечения с другими пря­ мыми или кривыми. Особые прямые, соответствующие со = 0 и со = о о , штрихуются таким образом, чтобы по одну сторону от точек с со = 0 и со = о о . кривая и прямая были обращены друг к другу заштрихованными сторонами, а по другую — незаштрихованньшн. А дальше эти прямые штрихуются без изменения на­ правления, независимо от того, имеются ли еще точки пересече­ ния прямых с кривой или между собой. Возможной областью устойчивости будет та часть плоскости, в сторону которой направ­ лено большинство штриховок. Проверку производят, как указы­ валось выше, применяя критерий устойчивости Михайлова к одной

произвольной точке этой области.

Для наглядности на рис. 47, в показана штриховка границы D-разбиения на плоскости двух параметров с особыми прямыми,

совпадающими с осями координат. Возможная область устой-* чнвости находится сверху от кривой АВС.

Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой си­ стемы

Поскольку параметры 7\ и k не содержатся в свободном члене характеристического уравнения, значению со = 0 не будет соот­ ветствовать особая прямая.

Выясним есть ли другие особые прямые. Для этого вычислим определители Аг и Д2 по (2.174):

Дх = U (Тх) V (k) — U (k) V (Тх) = —4со3 — 4со5 = = —4 (со5 + со3);

Д2 = и (k) V (со) — U (со) V (k) =

100

D-разбиения состоит из D-кривой и особой прямой Т г = 0. Теперь сделаем штриховку. Знак А г— отрицателен при со >> 0, поэтому двигаясь по D-кривой в направлении возрастания со, наносим штриховку справа. Возможная область устойчивости находится справа от D-кривой. Для проверки можно взять, например, точку, где /г = 2, а Т х = 5 с.

14. Выбор структуры и параметров регулятора

Изложенные в п. 10 критерии устойчивости позволяют не только произвести проверку устойчивости системы с заданными структурой и параметрами, но и выбрать структуру регулятора и его параметры, удовлетворяющие требованиям устойчивости и статической точности системы. Последняя задача является одной из основных при проектировании системы автоматического регу­ лирования. В дальнейшем необходимо так выбрать параметры регулятора, чтобы при заданной степени устойчивости они обес­ печивали определенные качества переходного процесса. С этой точки зрения спроектированная система должна иметь достаточно широкую область устойчивости, чтобы имелась возможность варь­ ировать настраиваемые параметры. Следовательно, полное реше­ ние задачи выбора структуры и параметров регулятора состоит в отыскании такой точки в области устойчивости, которая удо­ влетворяет требованиях! качества процесса регулирования.

Соответствующим выбором структуры теоретически всегда можно получить желаемое качество регулирования. Однако здесь нужно иметь в виду, что не всякую теоретически обоснованную структуру возможно осуществить технически. Это связано прежде всего с наличием различных ограничений, обусловленных, с одной стороны, динамическими свойствами самого объекта регулиро­ вания, а с другой — свойствами отдельных звеньев регулятора. Большинство звеньев, как правило, имеют характеристики с на­ сыщением, определяющие предельные значения некоторых пере­ менных. Например, быстродействие системы регулирования ско­ рости гидроагрегата ограничивается явлением гидравлического удара в напорном водоводе, что, в свою очередь, вызывает необ­ ходимость ограничивать для безопасности сооружения максималь­ ную скорость перемещения регулирующего органа турбины. При проектировании системы регулирования подобные факторы нужно учитывать и исходить из возможных для данной системы средств динамической коррекции (структуры регулятора).

Выбор структуры и параметров регулятора из условий устой­ чивости. Для этой цели наиболее широкое практическое при­ менение получил частотный метод. Преимущества этого метода проявляются особенно в тех случаях, когда некоторые звенья системы заданы не передаточными функциями, а их частотными характеристиками для которых в специальной литературе имеется

.101

большое количество номограмм и таблиц. Это позволяет в дальней­ шем использовать эти же частотные характеристики и для анализа качества переходных процессов.

Вначале рассмотрим порядок выбора структуры и параметров регулятора, исходя из условий устойчивости, без учета качествен­ ных показателей системы.

Проектируемая система автоматического регулирования может быть разбита на две части. В одну из них (рис. 49, а) включим

а)

J)

Рис. 49. Определение параметров корректирующего звена

все звенья с известными параметрами, изменить которые невоз­ можно или нежелательно, и назовем ее неизменяемой частью си­ стемы. Обозначим передаточную функцию этой части через Wu. Тогда вторая часть данной системы будет содержать только те звенья, которые необходимо добавить к неизменяемой части, чтобы обеспечить устойчивость замкнутой системы. Эти звенья являются корректирующими, и они будут определять структуру регулятора. Обозначим передаточную функцию корректирующих звеньев через WK. Частотная характеристика разомкнутой системы определяется по выражению

Пусть логарифмические амплитудная и фазовая частотные ха­ рактеристики неизменяемой части системы Wa (ісо) имеют вид, показанный на рис. 49, б. Эти характеристики могут быть получены либо аналитическим путем по передаточным функциям отдельных звеньев, входящих в неизменяемую часть, либо, если передаточные функции неизвестны, — по частотным характеристикам, снятым экспериментально.

102

Анализируя характеристики L„ = / (ш) и ср„ = f (со), можно прийти к заключению, что быстродействие рассматриваемой си­ стемы ограничивается частотой со2, так как при частотах со > <в2 отставание по фазе настолько быстро увеличивается, что вряд ли имеет смысл добиваться более высокого быстродействия. Из этих

9к = f (со) частотные характеристики корректирующих звеньев, входящих в выражение (2.175).

В данном случае, согласно табл. 2, в состав корректирующих звеньев должны входить пропорционалы-ю-дифференцирующее и

структура и параметры корректирующей части регулятора будут определяться передаточной функцией

которая может быть реализована схемой, показанной на рис. 43, а. При проектировании конкретных схем автоматического регу­ лирования чаще бывает, что желаемые частотные характеристики не заданы, а их необходимо выбрать. Здесь нужно иметь в виду, что параметры корректирующих звеньев (параметры регулятора) должны выбираться таким образом, чтобы система регулирования находилась достаточно далеко от границы устойчивости, т. е. не­ обходимо, чтобы система имела определенные запасы устойчивости

по амплитуде АА и фазе Аср.

Это связано с тем, что при выводе передаточной функции неиз­ меняемой части WH, как правило, не учитываются малые постоянные времени звеньев, допускается определенная идеализация физи­ ческих явлений, происходящих в отдельных звеньях, усугубляе­ мая последующей линеаризацией полученных дифференциальных уравнений. В результате коэффициенты, входящие в передаточную функцию WH, определяются с некоторой погрешностью, которую практически невозможно исключить даже в тех случаях, когда частотные характеристики неизменяемой части системы полностью получены экспериментально, так как и в этом случае точность измерений зависит от таких факторов, как методика эксперимента, точность приборов, обработка материалов и т. д.

Кроме того, при выборе запасов устойчивости необходимо учи­ тывать, что в дальнейшем будет выпускаться серия регуляторов, в отдельных образцах которой могут иметь место отклонения пара­ метров от расчетных значений из-за случайных явлений (неста­ бильность, влияние температуры и т. д.). По указанным причинам

103

запасы устойчивости должны предусматривать такие значения параметров регулятора, чтобы любой образец данной серии на­ верняка обеспечивал работу замкнутой системы в области устой­ чивости.

Опыт проектирования и эксплуатации систем автоматического регулирования скорости гидроагрегатов показывает, что для обес­ печения их устойчивой работы необходимо иметь запасы устой­ чивости по амплитуде 6—10 дБ, по фазе 30 -н50°.

Область устойчивости на плоскости параметров. Выше был изложен метод определения границы устойчивости на плоскости параметров, основанный на использовании кривой Михайлова и характеристического уравнения замкнутой системы. На практике не всегда удается составить дифференциальное уравнение систе­ мы, однако в распоряжении проектировщика имеются ее частот­ ные характеристики, снятые, напргщер, экспериментально. Рас­ смотрим как в этом случае построить границу устойчивости на плос­ кости параметров.

Предположим, что структура системы известна (рис. 49, а), причем заданы все параметры, кроме т и п. Требуется определить на плоскости этих параметров область устойчивости. Как и ранее, разделим систему на две части, только теперь в первую часть Wt включим все звенья с заданными параметрами, а во вторую W2 — звенья с неизвестными параметрами т и я. Для простоты будем

гласно частотному критерию, на границе устойчивости должны

в многочлены которого Q (ісо) и R (іа) входят неизвестные пара­ метры т и я. Выделив в (2.178) действительную и мнимую части, получим

U2 (яг, я, со) = А 2 cos ф2;

где Л 2 должно быть выражено не в децибелах, а в натуральных числах.

104