книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

применительно к следующей общей краевой задаче для разностного аналога

записываемая равенствами (27)-—(29), которая рассматривается в методе внутренних граничных условий.

представляют собой два вещественных соотношения, связывающих две ве­ щественные функции, но они не независимы, и многообразие удовлетворяю­ щих условиям Сохоцкого—Племеля пар функций зависит от одной произ

ству задача / н г = Ср, — Яыг = ip устойчива в смысле теоремы 6 относи­ тельно возмущения правой части гр. В общем случае при вычеркивании части уравнений из числа составляющих с и с т е м у — Риг = 0 может получиться подсистема, алгебраически равносильная исходной, но уже не обладающая свойством устойчивости.

Можно показать, что в нашем примере (25), (26) вместо иг — Р « г = 0 удобнее использовать не подсистему (28), аналогичную интегральному соот­ ношению (24), а подсистему (29), которая устойчива и в отличие от подси­ стемы (28) состоит из независимых уравнений — ее ранг равен числу состав­ ляющих ее уравнений.

Итак, в рассматриваемом примере аналогия между методом внутренних граничных условий и методом сингулярных интегральных уравнений не является полной.

Тем более, нет полной аналогии с классическим методом интегральных уравнений, в котором искомой функцией является не само решение исходной задачи (21), (22) на границе, а некоторая вспомогательная плотность потен­ циала простого или двойного слоя.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ

класса разностных краевых задач авторы впервые познакомились в 1953 году по рукописи статьи И. М. Гельфанда и О. В. Локуциевского «Метод про­ гонки для решения разностных уравнений» (см., например, [4] или [8]). Суще­ ствуют варианты прогонки, предназначенные для вычисления решений раз­

К гл. 3. Идея использовать при обосновании прогонки непосредственно свойство хорошей обусловленности разностной краевой задачи была выска­ зана Н. С. Бахваловым. Некоторые шаги в осуществление этой идеи были сделаны при изложении прогонки в книге [8], а затем В. В. Огневой, ЖВМ и МФ 7, № 4 (1967), которой принадлежит идея рассмотрения урезанных си­ стем. Модифицированное изложение этой работы имеется в книге [7].

Приведенное в § 6 обоснование хорошей обусловленности разностной краевой задачи использует дипломную работу студента Новосибирского уни­ верситета Багисбаева, которому, в частности, принадлежит пример, показы­ вающий, что условие гладкости коэффициентов нельзя игнорировать. Работа Багисбаева была выполнена под руководством С. К. Годунова.

Разностные схемы для некоторых важных классов дифференциальных уравнений с. разрывными коэффициентами построены в теории однородных разностных схем А. Н. Тихонова и А. А. Самарского и изложены в одной из глав книги [17].

К гл. 7, § 21. Понятие устойчивости разностных схем относительно оши­ бок округления при задании начальных данных впервые описано Дж . фон Нейманом и Р. Д. Рихтмайером в 1950 году (см. сб. переводов «Механика», в. 1, 1951) в работе, посвященной расчету газодинамических скачков. Первая

что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, близки к пред­

Среди них наиболее известна система определений П. Д. Лакса, предложен­ ная в 1956 году (см. например, [14]). В теории Лакса рассматриваются раз­ ностные схемы для нестационарных задач, причем предполагается, что эти разностные схемы действуют не в пространстве сеточных функций, а в том же функциональном пространстве, что и дифференциальное уравнение. При этом (дополнительном) предположении доказывается, что для аппроксимирующей разностной схемы устойчивость и сходимость имеют место одновременно. Эта теорема эквивалентности Лакса является одной из конкретизации более об­ щей конструкции Л. В. Канторовича, УМН 3, в. 6 (1948).

В последние годы А. А. Самарский предложил и в соавторстве с А. В. Ту­ линым развил теорию устойчивости, применимую к весьма широкому классу разностных схем (см. [17], [18] и § 41 настоящей книги).

С новыми результатами, библиографией и обзорами работ по устой­ чивости разностных схем можно познакомиться по книгам [8], [И], [14]-[19].

ных разностей используется для доказательства существования решений дифференциальных уравнений, устанавливаются неравенства, которые в со­ временной терминологии можно истолковать как устойчивость в тех или иных нормах. Однако понятие устойчивости возникло в связи с использова­ нием разностных схем для приближенного вычисления решений в предполо­

тапринт). Двумерный вариант рассмотренной в этом пункте схемы с пересче­

Л. А. Чудов (статья в сб. «Некоторые применения метода сеток в газо­ вой динамике», в. 1. «Течения в пограничном слое», Изд-во МГУ, 1971) для уравнений параболического типа построил разностную схему типа Рунге — Кутта второго порядка точности, обладающую хорошими сглаживающими свойствами. Схемы с пересчетом применяются во многих газодинамических расчетах. См., например, [1]. Существуют вариационные и другие методы построения разностных схем (см. [3], [11], [14]—[20]).

К гл. 8, § 25, п. 5. Насколько известно авторам, возможность использо­ вать дифференциальные приближения для исследования разностных уравне­ ний впервые заметил в 50-х годах А. И. Жуков (сообщение на семинаре ИПМ), которому принадлежит рассмотренный здесь пример. Теория диффе­ ренциальных приближений, в которой изучаются асимптотические и группо­

статьи Н. Н. Кузнецова, ДАН 200, № 5 (1971); ДАН 204, № 2 (1972); ЖВМ и МФ, 12, № 2 (1972).

Кгл. 8, § 26, п. 1. Идея замораживания коэффициентов во внутренних точках предложена в цитированной выше статье Неймана и Рихтмайера (см. примечание к § 21).

Кгл. 8, § 26, п. 2. . Признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда был до­ ложен в их совместном с О. В. Локуциевским докладе на конференции по функциональному анализу в Москве в 1956 году. См. также [2] и примеча­ ния к гл. 13, помещенные ниже.

Кгл. 8, § 27. Существует очень экономный по числу арифметических действий алгоритм вычисления коэффициентов конечного ряда Фурье, назы­

статей и журналах постоянно появляются новые работы по численным ме­ тодам механики сплошных сред.

К гл. 10. Схема переменных направлений (12) из § 32 построена Д. Писманом и Г. Рэкфордом в 1956 году (см., например, [5] или [20]); схема рас­ щепления (7) из § 31 предложена Н. Н. Яненко, ДАН СССР 125, № 6 (1959). В настоящее время схемы расщепления построены для многих основ­

фию.

Относительно метода крупных частиц О. М. Белоцерковского и Ю. М. Да­ выдова и его приложений, помимо работы, цитированной в § 33, см. работы этих авторов в сб. статей ППММ, М., «Наука» (1971), и в ЖВМ и МФ 13,

№1 (1973).

Кгл. 11, § 34. Для разностного уравнения Пуассона в прямоугольнике самым экономным способом вычисления решения является быстрое преобра­ зование Фурье (см. примечание к § 27). Разностными схемами для уравне­

предела решений нестационарных при возрастании времени впервые исполь­ зована в 30-х годах А. Н. Тихоновым.

Одна из разностных схем установления для расчета стационарного сверх­ звукового обтекания тел газом предложена С. К. Годуновым, А. В. Заброди­ ным и Г. П. Прокоповым, ЖВМ и МФ 1, № 6 (1961). Интересно отметить, что обоснование устойчивости этой схемы, описанное в работе К. А. Багриновского и С. К. Годунова, ДАН СССР 115, № 3 (1957), использует расщеп­ ление разностных операторов. Имеется ряд работ многих авторов в направ­ лении расчета стационарных задач установлением.

Один из первых эффективных методов ускорения сходимости при реше­ нии разностного уравнения Пуассона указал Л. А. Люстерник, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 20 (1947).

К гл. 11, § 36. Многочлены Чебышева для выбора оптимального набора итерационных параметров используются в различных задачах, начиная с работ А. А. Абрамова, М. К. Гавурина, Фландерса и Шортли, относящихся к 1950 году.

Новые результаты, библиография и обзоры с различных точек зрения итерационных методов решения разностных эллиптических краевых задач содержатся в книгах [5], [12], [17], [20]; в монографиях Е. Г. Дьяконова, Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа, Киев, 1970 (ротапринт); Г. И. Марчука и Ю. А. Кузнецова, Итерационные методы и квадратичные функционалы, Ново­ сибирск, «Наука» СО, 1972 (ротапринт); в обзорной статье Р. П. Федоренко, УМН 28, № 2 (1973) и в др.

чае разностного аналога уравнения теплопроводности с переменными коэф­ фициентами, а в более общей форме — в § 15 книги [16], где имеется также модифицированное изложение упомянутой работы Н. Миньо.

К гл. 12, § 41, п. 6. Первый из критериев устойчивости А. А. Самарского, приведенных в этом пункте, получается из теоремы 5, п. 6, § 1 гл. VI книги [17], если вместо гильбертова пространства рассматривать евклидово и поло­ жить р = 1. См. также п. 7, § 1, гл. VI книги [17].

внутренних граничных условий к исследованию и вычислению решений раз­ ностных краевых задач в простых и составных областях.

ЛИТЕРАТУРА

9.Д ь я ч е н к о В. Ф., Основные понятия вычислительной математики, М., «Наука», 1972.

20.Я н е н к о Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач ма­ тематической физики, Новосибирск, «Наука», 1967.