книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

370

ГЛ. 13. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ

max

\\RPhl

1 < Р < [ Г / т ]

при

h-*0

остается

ограниченной

либо

растет

медленнее

сте­

пени

р[Т/х]

с любым

основанием р =

1 +

е, превосходящим

еди­

ницу.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предварительно

покажем,

что

если

спектр

семейства операторов

{Rh} лежит в круге \Х\^

р, то для

любого

X,

удовлетворяющего

неравенству

| Я | ^ р +

е,

е > 0,

существуют числа

А = А (е)

и h0

>

0

такие,

что при

любом

h < h0

и любом u^Uh,

и ф 0, выполнено

неравенство

\\Rhu-Xu\\>^\\u\\.

•

(14)

\Rhk-Xkuhk\\<£±^\\unk\\.

(15)

При достаточно больших значениях k,

при которых

-р + е

< 1,

числа Xk

в силу (12) не могут лежать

вне круга

| Л | ^ с + 1 ,

так как вне этого

круга

| | ^ « - Я и | ) > ( | Я ] - | | ^ | | ) | | « | | > | | « | | .

Таким

образом,

последовательность

Xk

ограничена,

а

приведении

разностной

краевой задачи

ит

ит

ит+\

ит

,

, \

г

h

= Ф ( ^ ' 'Р).

;

Р = 0, 1

[ Г / т ] - 1 ,

{ 2 )

w P 4 + I

= °. " * = * ( * * ) .

m = 0, 1,

к виду

«р+1 = Rnup-\-

трр ,

и°

задано.

374

ГЛ. 13. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ

^Ru — Ян = О

имеет ограниченное решение и = {ит},

т =

0, + 1 , . . . Эти числа

X и есть собственные значения оператора

R. В нашем примере

уравнение Ru — Хи =

0 имеет вид

(1 — г — Х)ит

+

гит+1=0,

т

=

0, ± 1 , . , .

Всякое решение этого

обыкновенного

разностного уравнения

множителем

отличаться

от

сеточной

функции

ит

=

qm,

т —

=

0,

± 1 ,

где

q — корень

характеристического

уравнения

( 1 — г

— X) -{-rq

— О. Связь

между числами

X и q

можно

запи­

сать также в форме

X =

1 — г +

rq.

Решение

um

— qm

ограничено

при

т—• - f 0 0

и при

т~*—со

только в том случае, если

\q\

= 1,

q = eia,

0 ^

а ^

2я.

По­

этому множество тех значений X, при которых решение ит

—

qm

ограничено, получается

по формуле

Я = 1 — r + rq = \ — г + re1'",

когда

q = eia

пробегает

единичную окружность

\q\

=

1 на

ком-

плексной плоскости. Точка X пробегает при этом окружность Л

радиуса г с

центром в точке 1 — г (рис. 26, а,

стр.

247).

~>

которых уравнение

Ru — Хи = 0

имеет

решение

и =

(«о. Щ,

ит,

. . . ) , стремящееся

к

нулю

при

т - * -f-oo.

:

Уравнение

Ru —

Хи = 0

в

развернутом

виде

можно

запи­

сать так:

(\—r

— X)um

+

rum+l

= 0,

т = 0,

1, . . .

Его

решение

ит

— qm,

ш,= 0,

стремится

к

нулю

при

§ 43. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА

375

tn—>+°°.

е с л и

\l\

<

1- Соответствующие

собственные значения

k—l—r-\-rq

<-->

заполняют

при

этом внутренность круга Л ра­

диуса г

с центром

в точке

1 — г

(рис. 26,6).

<-

Алгоритм

вычисления

собственных чисел

оператора

R ана-

логичен

алгоритму

вычисления

собственных

->

чисел оператора R.

Уравнение Ru—

Хи — О запишем развернуто:

(1 — г — Л)«о т +

г и т + ,

=

0,

т=

...,

— 1,0,

1, . . . ,

М—

1,

— Хим

=

0.

и =

{ит},

tn = М,

М—1,

Всякая

сеточная

функция

уравнения RhU— Ки — 0

в алгебре

принято называть собствен­

ным

вектором.

Построения,

с помощью которых

проводится

доказательство,

зависят

от того,

какому

-У

<-

принад-

из трех множеств Л, Л

или Л

Ко. Начнем

<-->

лежит

точка

со

случая

Ко е Л. Покажем,

что при

любом

е > 0

и всех достаточно малых

h

неравенство (7)

имеет

решение и.

и — (ио, т,

им). По

Переходим

к

построению

функции

определению

множества

Л

существует

qo, \Яо\ =

1, такое, что

Ко =

(1 — г)

+rq0,

а

уравнение

(1 — г — Л0) vm

+ rvm+l

= О,

m =

0,

± 1

имеет ограниченное

решение

vm

= Q™,

от=0,

± 1 , . . .

Будем

рассматривать

это

решение

только

при

т =

0,

1, . . . , М,

сохраняя обозначение

v. Вектор

и

=

v i

VM) = {1>

%>•••>

о .

(1 —r — XQ)vm-T-rvm+1=0,

от

= 0, 1, . . . .

M—l,

§ 43. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА

377

Отсюда

видно, что || w || =

rh, и при

h <

г/г

выполнено

нера­

венство II W

RhU — кои || <

е|| «||. Этим

и завершается

дока-

<~>

зательство того, что точка кое А

принадлежит

спектру

семейства

разностных операторов

{Rh}.

Покажем, что если точка ко

принадлежит

одному

из

мно-

->

<-

жеств Л

или

Л,

то она

является

точкой

спектра

семейства

опе­

раторов {Rh}. Пусть для опреде-

(0, /)

Рис. 50.

Рис. 51.

" = ("о- "i

им) = (1> <7о

О -

= 0,

m =

0, 1,

М-

1,

wM.

<7oi

следует,

что

|| w || =

| q0 \ м =

| q0 \"п.

Если

h

настолько

мало, что

|<7о|1 / / г <е, то

||да|| = ||

— Я.0 ы||< е =

е||ы||, поскольку

| | и | | = 1 .

Итак,

доказано,

что в

нашем

примере

все точки

множеств

<—> ->

<-

h и такое, что для любой функции и= (и0, щ,

им) выпол­

нено неравенство

| | / ? л М - А 0 и | | > Л | | и | | .

(8)

(1 — г — k0)um + rum+l—fm, m = 0, 1

М— 1, j ^

^ом м — /м-

J

ит = ат-\-\Ът,

т = 0,1,...,М,

(11)

где (Хт — компоненты

ограниченного

решения

а = { а т }

следую­

щего уравнения:

(I — г — ко) ат + ram+i

—Fm =

О,

если

т < О,

fm,

если га = 0, 1

М— 1,

(12)

О,

если

т^М.

Тогда

в силу линейности вектор р =

{р\„}, компоненты

которого

входят в равенство

(11), есть решение уравнения

(1 - г - Я 0 ) р т

+ г р т + 1 = 0, т = 0, 1, . . . . A f - 1, |

^

^оРм =

/м +

^оа м •

J

Для доказательства оценки (9), которую мы перепишем в

форме

| ит | < -j max | fm |, в

силу

соотношения

ы т =

a m

+ р т

достаточно установить оценки

вида

| а т | <

Л , т а х | / т | ,

(14)

| р т | < Л 2 т а х | / т | ,

(15)