Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

290	ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ
схема	устойчива лишь при жестком ограничении		т ^ /г/4 на
шаг т сетки. Приведенная выше простейшая неявная			разностная
схема	(3), как мы уже знаем	(§ 27, п. 3), абсолютно устойчива.
Но она далеко не является		экономичной. Для	неизвестных

{"mn'} приходится решать сложную (нерасщепляющуюся) си стему линейных уравнений. Как известно из алгебры, для этого требуется произвести арифметические действия в количестве, пропорциональном не первой степени числа неизвестных, как в экономичных схемах, но кубу числа неизвестных, если поль зоваться каким-либо методом исключения неизвестных.

Заметим, что сейчас ведутся поиски более экономичных способов точного решения общих линейных систем. Штрассеном указан алгоритм, требующий числа действий, пропорционального не третьей, a \g27 степени числа неиз вестных.

Разностная схема расщепления, которую мы построим, яв ляется экономичной и безусловно устойчивой, т. е. соединяет достоинства явной (2) и неявной (3) схем.

Относительно решения u(x,y,t) задачи (1) мы будем пред полагать, что оно имеет непрерывные вплоть до границы Г производные всех порядков, которые по ходу дела потребуются. Отметим, что на границе Г все производные по пространствен

ным

переменным четного

порядка

(до

того порядка, до

кото

рого

они

существуют и непрерывны)

обращаются

нуль:

ихх

\р

~ ихххх

If =

иххуу

1р = 0.

(4)

Так,

на

стороне

х =

границы

квадрата

0 <; х, у ^ I

обращаются

нуль du/dt

и д2и/ду2.

Поэтому в

силу

урав

нения ы(

= ихх

+ иуу

также

ихх

— 0.

Дифференцируя

уравнение

по у

дважды,

получим

д"уу

fit

Uxxyy

~Г

иуууу

Но на стороне

х =

0 границы

будет

а значит, в силу дифференциального уравнения также иххуу=0.

Переходим к построению разностной схемы расщепления для задачи (1),

§•32. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

291

Задаче

(1)

на

отрезке

t ^

tP+t

поставим

соответ

ствие две задачи:

d2v

дх2

(5)

1>|Г

v(x,

y,tp)

u(x,

y,tp),

d2w

]

ИГ

"dy2

(6)

w | r

w (x\ y, tp)

v (x, y,

tp+1).

Сеточную

функцию

UW = [UP l

uo = ^ ( x

, и ) , up

I = 0

mny

Уп)'

mn |p

будем определять последовательно при p=l,

2, ..

[Г/т] из

уравнений

A-xxU-tnnt

m, я:

1, 2,

tf-

(7)

mn Ip =

..P+I

Ayyumn>

m,n=l,

N - l ,

(8)

„Р-Н

_ o

Задача (7) аналогична

задаче

(5), а

задача

(8) — задаче

(6). При

этом

—и"

= у Р

= Й

W P + L = U P + 1 .

mn'

mtv

В соответствии

разностной

схемой

расщепления

(7), (8)

сна

чала

по известным

значениям

ир = {иртп}

вычисляется

вспомога

тельная функция йтп,

потом

из (8) вычисляется up+i

{и^ 1 } .

Заметим,

что

разностная

задача

(7)

для

отыскания

йтп

при

каждом

фиксированном

п,

п =

N—1,

точности

совпадает с неявной

разностной

схемой

v p + l

_ .

vmn

"mn

p +

для

одномерного

уравнения

теплопроводности

(5)

на

отрезке

0 ^ л с < ; 1 ,

которое

входит

только

как

параметр.

Разностная

задача

(7)

при

каждом

фиксированном

ре

шается прогонкой в направлении оси Ох.

Точно

так же

разностная

задача

(8)

при

каждом

фикси

рованном

т решается

прогонкой

по

направлению

оси

Оу.

292	ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Подчеркнем, что в силу свойств алгоритма прогонки общее чис ло арифметических действий для вычисления up+l — {ит+п1} ока зывается пропорционально числу неизвестных значений, т. е. разностная схема (7), (8) является экономичной.

Для точного формулирования понятия аппроксимации и устойчивости запишем разностную схему (7), (8) в принятом

нами на протяжении всей книги		виде
Для этого	положим			(9)
Для этого	положим
	„ 0 + 1 г,	т,п=1,	2,	N - l ,
	\уиРт+п>	т,п=1,	2,	N - l ,
Lnuih)^{	„ р + i i			(Ю)

"1 Umn |г>

тп'

где итп — решение вспомогательной задачи,

			^-ххЦтп,		т, п =	1, 2,
		1тп 1г '	= 0.
За	/< Л ) надо	принять в таком случае
		( 0,			т, п—	1, 2,
		0,			(хт, уп)	е Г,
		$(хт,		Уп)-	max	ытпр
В	качестве	нормы	в Un
				примемт, п, р
К	пространству Fn		отнесем		элементы g( f t )

N - 1,

(И)

N - l ,

(12)

вида

ф" ,

т(Л) _ т тп'

о,

и норму в Fh определим	равенством
rW\|\| =	max \| Ф р я \| +	т а х \| ф т „ \| .
я	т, п, р	т,п

Сначала докажем безусловную устойчивость разностной схемы (9), задаваемой уравнениями (10), (12), а аппроксимацию до кажем позже. Ввиду линейности разностной схемы (9) для до-

§ 32. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

293

казательства устойчивости надо показать, что задача Lhz^ =

= имеет решение при произвольному'^ —{ 0 \^Fn,

								I	Ф/ВД	I
			1\|2<А% < с \| \| * < * % ,
где с не зависит от h.				uh				ft
где с не зависит от h.
Запишем задачу			Lhz(h)	= g{h)		в развернутом			виде:
г р + '	+	г	_ _ д			р + ,
тп	-Г^тп		_ _ д	р +	1 =	р + ,
	т.			уу тп		™тп '
				т,	п—\,		2,	. . . , /V — 1,
				^On		^Nn		u '
где 2 m n — решение		вспомогательной					задачи
"тп	тп	=	Axxzmn,	т, П = 1, 2, ...,N—						1,
2m, 0 ~			Z-m, дг == 0,
причем
				2mra ~		^mn'

причем

(13)

В силу принципа максимума, доказанного в § 28 для одно мерной неявной разностной схемы, аппроксимирующей одно мерное уравнение теплопроводности, из уравнений (13) следует, что

Ш а Х	\| ZmV \| < т			а Х	\*тп	\| + Т		т З Х	\| <PL \|-
т, п			т, п					т, п, р
Но из (14) следует,		что
Поэтому		m,		га	т, п '
Поэтому	I2 mt' \| < т
m a X	I2 mt' \| < т			а Х	\|2 L \| + Т			Ш а Х	\| < п	\|-
т,	га		т, п				т, п, р
Отсюда
т а Х \|Z mt' \| < т З Х	IZmn	\| +	2 Т т	а Х	\| Фтга \|		<
	<	т а Х	К «га		+ Т	т З	Х	\| ф т » \| <
	<	т,	К «га			in, п, р		\| ф т » \| <
(1 + Т) (max \| ф и „ \| +						max \|Ф р п			\|) =	(1 + Т) \|\| \|\|
		т , га 1				m, п, р		-	'	ft.

294 ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Выписанное		неравенство
		max\|z £ +'\|<( l		+ r ) \| \| £ W \| \|
		т, п		я
справедливо		при любом р,	поэтому
		. л		л
при	произвольном соотношении			шагов т и h. Это и	означает,
что	рассматриваемая схема		расщепления безусловно		устойчива.

Перейдем к проверке аппроксимации. Будем предполагать, как обычно, что задача (1) имеет достаточно гладкое решение u(x,y,t). Вычислим невязку &f<h\ L h [u]h. = -4- Ар), возни кающую при подстановке [и]п в левую часть уравнения (9), и покажем, что II А/( й > \\Р = О (т + h2).

В соответствии с тем, как мы определили оператор L n , бу

дет

(хпи Уп, tp+i) — йтп

h-yyU\xm> Уп, *р + \),

L h [и]а

= {

т, п = 1

N — 1,

(15)

в точках

Г,

"(хт,

Уп, 0),

/ п , я = 1

i V - 1 ,

где йтп

— решение

вспомогательной

задачи

йтп — u(xm,yn,tp)

. , .

•

Лххитп

= 0, т, п=

1, 2, . . . , N — 1,

(16)

Чщп \р = : 0-

Решение йтп

вспомогательной

задачи

(16), как мы покажем

ниже,

имеет вид

йтп

fez.

tP) + т:Л-хх и (хт, уп, tp) + О (т2 ), 1

т, п= 1, 2, . . . , N — 1,

J (17)

"mrt Ip=

И (ЛГт, г/п, /р) |р =

Подставляя

это выражение

йтп

в (15), получим

и (хт, Уп, tp+\) ~~ йтп

Л-уу U (Хт, уп, tp + i) —

« {хт,

Уп, tp+x)

— [и (хт,

уп, tp)

+ гАхх и (хт,

уп, tp)

+ О (т2)]

(хт, Уп, tp+\) — и (хт, Уп, tp)

. . .

l\yyU\Xm, уп,

tpM\) =

•

: '

Л** и (хт,

у„, tp) — Ауу

и (хт, уп, tp+x)

+ О (т) —

§ 32. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

295

+ О (т +

А2)

+ 0

(хт,

Уп) + О

О (т +

я2 )

в точках

(х т , г/„, г^),

О,

р = 0, 1

[ 7 У т ] - 1,

О,

т ,

п =

N — 1.

II А/( й )

||^ =

0 ( т

А2).

Осталось доказать приближенное представление (17) для

решения йтп

задачи

(16).

Сначала выскажем эвристические соображения, подсказавшие

представление

(17).

Ясно,

что

при

малых т

выполняется

при

ближенное

равенство

йтп ~

U {Xmi Уп, tp)'

При замене на этом основании в уравнении (16) выражения

Аххйтп

выражением

Ахх

и (хт, уп,

tp)

возникло

бы уравнение

—

Л, х м =

из которого

следует

равенство й — и •+• хАххи,

лишь

остаточным

членом

О (т2)

отличающееся

от

(17).

Переходим

доказатель

ству справедливости

(17).

Доопределим Axxii(xm,

уп,

tp)

в точках Г, положив Аххи

| г

Подставим

Wmn'= U (Хт, уп, tp) + хАхх

U (Хт, уп, tp)

вместо

йтп

уравнение

(16).

Получим

®>тп — U (хт,

уп,

tp)

Axxwmns=

{и (*m>

Уп, tp) +

хА.хх

и (хт, Уп,

iP)}

— и (хт,

уп,

tp)

Л х х

и (хт,

уп, tp)

хАххАхх

и (хт,

уп,

tp)

—

хАххАхх

и (хт,

Уп, tp).

296

ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

предположении,

что д4и/дх4

непрерывна и ограничена, и

учитывая,

что

" 1

= 0 ,

легко

видеть,

что

АххАххи(хт,

уп,

tp)

ограничено. Поэтому

^xxWmn=0(x),

Wmn 1Г

Вычитая

из

этих уравнений

уравнения

(16)

почленно,

для

раз

ности

гтп

хютп — йтп

получим

%тп

^Л-хх^тп

= =

(т2 ),

(18)

%тп

Ij '

или

развернутом

виде

rzm-u

п — 2 [г + у ) zmn

- f r z m + 1 , „ = О (т2 ),

m, n = 1, . . . , N — 1,

(18')

z0 « =

« м п =

г =

т//г2.

Но

эта

задача

для

{zmn}

имеет

вид

amUm-i

+ bmum-r-cmum+l

gm,

т=1,

N—1,

и0

иы

ат>0,

ст>0,

| 6 m | > a m

6, 6 = 1 .

В §

было

доказано,

что в

таком

случае

max | ит

с max 1 gm

где

зависит

только

от

6. Отсюда

zmn

0 (т2 ), т. е.

« и » = » m « — Zmn

= Wmn+0

( Т 2 ) =

— и (хт, уп, tp) + хАхх

и (хт, уп, tp) + О (г2),

что

совпадает

представлением

(17),

которое мы доказываем.

ЗАДАЧИ

1. Для

дифференциальной

краевой

задачи

(1)

распространении тепла

в квадратной

области

0 ^ х, у ^

предложить

исследовать

разностную

схему

расщепления,

аналогичную

явной

схеме расщепления (8) из § 31

для

задачи Коши.

Для

дифференциальной

краевой

задачи

(1)

предложить

разностную

схему,

аналогичную

схеме

переменных

направлений

(12) из § 31. Доказать,

что имеет место аппроксимация порядка

0(x

h2).


§ 33.	РАСЩЕПЛЕНИЕ		ПО ФИЗИЧЕСКИМ				ФАКТОРАМ		297
3. Предложить разностную схему для решения задачи
ди	д2и	. д2и	„ ^ ,		. „	,	. „	\|
и(х,у,	t) \| г	= ф (х,	у, t),	и (х,		у, 0) =	1\|) (х, у)	J
в случае криволинейной области D по аналогии с разностной схемой расщеп
ления, рассмотренной для задачи (1) в тексте						параграфа.
§ 33.	Расщепление		по	физическим			факторам
Идея расщепления используется не только для получения
экономичных абсолютно устойчивых					схем. Иногда			производится

расщепление сложной задачи на более простые, чтобы на каж дом малом интервале времени tp < t < tp+\ разделить во вре мени действие различных факторов, влияющих на процесс. Для возникающих при этом сравнительно простых задач легче по строить адекватные им схемы, составляющие в совокупности

разумную разностную схему расщепления	для всей задачи.
В качестве примера укажем метод крупных частиц		О. М. Бе-
лоцерковского и Ю. М. Давыдова (ЖВМ	и МФ 11, №	1, 1971),

предназначенный для расчета течений газа при сильной де формации вещества и больших колебаниях плотности. Этот

метод,	как и метод Харлоу частиц	в	ячейках, по	замечанию
Н. Н.	Яненко, можно трактовать	как	некоторую	разностную

схему расщепления для уравнений газовой динамики. Все ве

щество разбивается			сеткой	неподвижных	прямых (речь	идет
о	двумерной	задаче)	на ячейки. Вещество, попавшее в ячейку
в	хмомент tp,	и есть	крупная	частица. Ей	приписываются	им

пульс и полная энергия. Затем строится разностная схема, мо делирующая изменение скоростей, импульсов и полной энергии

крупных частиц под влиянием одного только		давления,	без
учета тех членов системы уравнений газовой	динамики,		кото
рые описывают перенос вещества, импульса	и	энергии. Это —

первый шаг разностной схемы расщепления. На втором шаге производится пересчет полученных на первом шаге промежу точных величин по разностной схеме, учитывающей остальные члены уравнений газовой динамики, т. е. только перетекание вещества из ячейки в соседние ячейки и соответствующий пе ренос импульса и энергии. Так получаются крупные частицы и соответствующие им импульс и энергия на момент времени tp+) — tp -\- х.

Г Л А В А 11

ЭЛ Л И П Т И Ч Е С К ИЕ ЗАДАЧИ

§34. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле

Здесь мы проверим, что	простейшая разностная схема	(13)
§ 24 аппроксимирует задачу	Дирихле (12) § 24 со вторым	отно

сительно h порядком и устойчива, а следовательно, применима для приближенного вычисления решения задачи Дирихле.

Задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной об

ласти

D =

(0 ^

х, у sg: 1)

с границей

Г запишем

в.виде

дх2

1 <Э(/2

:ф(дг, у),

0 < х ,

г / < 1,

(1)

И L =

-ф (s),

где s — длина

дуги, отсчитываемая

вдоль

границы

Г,

функции

(р(х, у)

и ty(s) заданы.

(хт, уп) = (mh,

nh)

h —

\/М, М —

Совокупность

точек

сетки

целое, попавших внутрь квадрата или на

его

границу, обозна

чим через Dh. Точки Dh,

лежащие

строго

внутри квадрата

будем считать внутренними точками сеточного

квадрата Dh', со

вокупность внутренних

точек обозначим D\.

ТОЧКИ Dh,

лежащие

на границе Г квадрата D, будем считать граничными точками

сеточной области

Dh\

совокупность

граничных

точек

обозначим

Гл. Разностную

схему

(13)

LhU(h)

= fm

(2)

запишем в

виде

LhU{h)s

f A

- " m „ +

\yUmn

= Ф К '

Уп)'

(Хт>

Уп) е

{ Щ

I-

timn = ^(smn),

(хт,

j/„)e=

Yh,

где ^ (smn)

— значение

функции

*ф (s)

в точке

(хт,

уп),

лежащей

на границе Гй .

Правая

часть

/ № ) разностной

схемы

(2)

Аппроксимация.

имеет

вид

(

Ф К .

уп)>

К<

Уп)^Ч>

( 4 )

У (Smn),

(Хщ, Уп) Е I V

§ 34. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

299

В предположении, что решение и(х, у) задачи (1) имеет огра ниченные четвертые производные, с помощью формулы Тейлора устанавливается равенство

Апи = Аххи + AgyU = -jjr + -jyT +

Jf_	l д*и(x	+ IK у)	,	(x, y +	r\h)\
~f 24	\	dx'	~*~	dy*	) '

Поэтому для решения u(x,			у)	задачи		(1) имеем
	1 Ф («тп)		+	0.		(-«т. Уп) S			Г А .
Таким образом, невязка 6/(ft),				возникающая				при подстановке [и]п
в левую часть разностной схемы					(2), имеет вид
	f	О (A2),			(л: , н ) е			D°
	l	0,		(х т , г/„) е= ГА .
В пространстве FA , состоящем из элементов									вида
	f(h) — <	Ф	,	(х	, и ) Е		D9,
	f(h) — <
введем	^	l\|>mn» (хт, Уп)					Tft,
введем	норму
	max		\| ф ^ \| +			max		\| ф т	J .	(8)
	(tnh, nh) eDQh			-	• (mft, ял) e= rf t
Тогда	\|\|6P\|\| f			= 0 ( Л 2 ) .
	\|\|6P\|\| f			= 0 ( Л 2 ) .
				h
Таким	образом, разностная			краевая		задача (3) аппроксими
рует задачу Дирихле (1)		со вторым				порядком			относительно h.
2. Устойчивость. Определим норму в							простанстве			Uh функ
ций, заданных на сетке Dh,			положив
	\|\| „ < А > ц =			max		\ и т п \ .				(9)

Л(mh,nh)^Dn

ДЛ Я доказательства устойчивости разностной схемы (3), к которому мы переходим, в соответствии с определением устой

чивости надо установить, что задача				(2) однозначно	разрешима
при	произвольной правой		части	(это свойство	не зависит
от	выбора норм)	и что выполнена		оценка вида
		I\|K<A»IL < d l P I k ,			(Ю)
где	с не зависит	ни от h,	ни от /' (ft).

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ