Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4129 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

280	ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИИ
Интегралы по тем сторонам прямоугольничков, -которые не
лежат на	границе gh области Gh, но входят в выражение	(6),
после суммирования уравнений (6) взаимно уничтожатся.
Действительно, каждая из этих сторон принадлежит		двум
соседним	прямоугольничкам, так что интегрирование функции

«w по ней встречается дважды и ведется в противоположных направлениях (рис. 39).

Разностные схемы, при суммировании которых по точкам се точной области Gh остаются только алгебраические суммы зна чений неизвестных или функций от них вдоль границы области, называют ди

вергентными			или				консервативными.
Такие	схемы			аналогичны				дифферен
циальным		уравнениям					дивергентного
вида
Рис. 39.	d i v	Ф =		«ЭФ,+		Ф =		0
				dt	1		дх	'

при почленном интегрировании	которых			по двумерной области
D в левой части возникает контурный интеграл							(3) § 29. Разно
стная схема (2) недивергентна, схема (7) дивергентна.
Заметим следующее. Пусть	сеточная			функция				удовлет
воряющая уравнению (7), при Л->0 равномерно							сходится		к не
которой кусочно-непрерывной	функции			и(х, t)		во всякой			зам

кнутой области, не содержащей линий разрыва, и пусть ы( Л )

равномерно по h ограничена. Тогда

и(х, t)

удовлетворяет

интег

ральному

закону

сохранения

§udx—

~dt

= 0,

где g — произвольный

кусочно-гладкий

контур.

Это

непосредственно

следует

из возможности

приблизить

контур g

контуром gh, из равенства

(8) и предположенной схо

димости *) ы('!) —• и.

Чтобы

схема

(7) приобрела смысл, надо указать

способ вы

числения

величин UPm'k

по величинам um+i/2.

В схеме С. К. Го

дунова,

которую

мы используем

для иллюстрации

понятия ди

вергентных

схем, для

этого

используется

решение

следующей

задачи

«распаде

разрыва».

Пусть

начальный

момент

*) Функция u =

u(x,t)

определена

почти

всюду,

функция

«<Л> =

= u^(x,t)

—лишь

на сетке

прямых. Это формальное несоответствие можно

преодолеть,

считая, что при уменьшении

h каждая новая

сетка

является под

разделением

старой,

и говоря о сходимости в точках сетки, построенной для

любого фиксированного h из числа допустимых,

§ 30. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

281

решение и(х,0)			задано условиями
			и (х,		« л е в		при		х < 0,
				0) =			при		х > 0,
					•"прав

где «лев =	const		и «прав = const. Тогда						можно найти		соответ
ствующее	обобщенное			решение. Как это делается,						мы видели
в § 29 при разборе				примера		и Л е в = 1 ,			"прав = 2	и	примера
"лев = 2, ып рав =			1. Нам важно			знать		значение U =		и(0, t) ре
шения и(х, t)		при х =		0.
Читатель,		построив картинки					типа	рис. 33, 34,		изображаю
щие решение		u(x,t),		легко проверит,				что на прямой			х = 0 ре
шение принимает значения ияев,							иП рав	или 0 в зависимости от
заданных начальных данных, и выяснит для каждой											конкрет
ной пары чисел ыЛ ев				и	«прав	какое		именно. Например, при
«лев > 0, ЫП рав >			0 будет		«(0, t) ss		ЫЛ ев,	а при « Л е в <		0,	« п р а в < 0

будет Ы(0, 0 = "прав-

Величину ирт++\	{— U) в схеме (7) будем определять
о распаде разрыва,	возникающего на границе х = хт+у2
двух участков, где	заданы постоянные значения " Р

из задачи каждых

ч ( = " л е в ) и

И & + 1 ( = И п р . в ) -			т — 0, ± 1 , . . . . то
Если,	например, и р > 0,
	ГгР+Чг :	"лев =	" т . т • ••0, ± 1
и схема	(7) примет вид
	М Р + ' _ М Р	1		= 0,
	х.	А	2

xm+4t

Хт-Ч,

и л и

Легко видеть, что при

max н£

имеет место принцип максимума

max I и%+11 < max I и" I < . . . < max I и°т I < max | ф (х) |.

282	ГЛ. 9. РАСЧЕТ	ОБОБЩЕННЫХ	РЕШЕНИЙ
Отсюда	видно, что при т :	max \| я\|) (х) h	можно надеяться, что

полученная разностная схема устойчива при некотором ра


зумном выборе	норм. Мы не будем		фактически		указывать эти
нормы: экспериментальные		расчеты	подтверждают, что при из
мельчении сетки	решение	ы(/1) задачи		(7) с кусочно-монотон
ными и кусочно-гладкими начальными				данными	ip(x) сходится
к некоторой функции u(x,t),		имеющей		конечное	число разры

вов, причем вне любой окрестности разрывов сходимость рав номерная.

Схема (7) с вычислением Um++y2 путем использования рас пада разрыва не является, конечно, единственной дивергент ной схемой для задачи (1). Укажем, например, еще простей шую схему, основанную на идее пересчета, которую мы изло жили в п. 3 § 22. Для простоты ограничимся случаем гр(л:) > 0.

Сначала ищем вспомогательные величины й по недивергент ной неявной разностной схеме

цР+'/2 _ „Р	ит-1	= 0.

т/2

Значение коэффициента при их в уравнении ut'-\-uux = Q) за меняем через ирт, а не через й т + 1 / 2 , чтобы возникающая схема была линейна относительно подлежащих вычислению величин.

Далее полагаем

Г/Р+'/г _		1 (.-.Р+Ч* I	^Р+'/Л		(9)
ит+У2—!?{Utn			-f-Um+l)		(9)
и пользуемся схемой	(7), (9).
Получаемая так дивергентная схема на гладком					решении
имеет второй порядок	аппроксимации.
Эвристическое исследование с помощью спектрального при
знака Неймана при линеаризации и			замораживании		коэффи
циента указывает на устойчивость при произвольном					г = x/h.
Проведем это исследование.
В результате линеаризации и замораживания				коэффициента
придем к схеме вида
	ит	"т , „ ит	" т - 1	л
	т/2
а	ит+1	+ и т	lm ^ ит-\	= 0.
+ J				= 0.
+ J

Для решения с начальными данными

§ 30. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

283

получим

где

Далее,	2	2
Далее,	up+1=Xelam
	up+1=Xelam
где	т
где
Л ( а ) = —	=йГ-	U(a) = 1 .
2 +	вг — але

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

З А Д А ЧИ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Г Л А В А 10

ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Разностные схемы расщепления — одно из важных средств при расчете решений многомерных нестационарных задач ма

тематической

физики.

31.

Конструкция схем

расщепления

На описательном уровне идею конструкции схем расщепле

ния можно изложить так.

Рассмотрим дифференциальную задачу

вида

-^- =

Аи,

0<t<T,

д *

(1)

и \ t = 0

задано,

где А — некоторый

оператор

по пространственным переменным,

например:

д2и , д2и

Значения

и(х,

у, г*р+1) по уже известным

значениям

и(х,

у, tp),

tp — рх, выразим

формулой

и {х, y,tp~r-x)

= u (х, y,tp)

x-2jj- +

(т2 )

= и (х, у, tp)

хАи

(х, у, tp)

О (т2) =

(Е +

гА) и (х,у,

tp) +

О (т2 ).

Допустим,

что

правая часть уравнения (1) имеет вид

Лц== Л,« +

А2и.

Тогда расщепим

уравнение

(1)

ди

Aiu +

А2и

| f

§ 31. КОНСТРУКЦИЯ СХЕМ

РАСЩЕПЛЕНИЯ

285

на следующие два:

-^ — A^v,

tp^.t^.tp+1,

v(x,

у, tp)—u(x,

у,

tp),

w (x, y, tp) = v (x, y,

tp+i).

Заметим, что

w (x, y,tp+i)=u

(x, y, tp+l)

4- О (T2 ).

(4)

самом

деле,

v (x, у, * p + i ) =

(Я +

тЛ,) v (х, у, tp) 4- О (т2) =

(£ + тЛ,)и(*, у, tp) + О (х2),

где Е — единичный

оператор,

Ev = v. Далее, с учетом

послед

него

равенства

имеем

w (х, у, tp+i) = (Е 4- тЛ2 ) w (х, у, tp) 4- О (т2) =

(Е 4- тЛ2 ) v (х, у, tp+l)

4- О (т2) =

(Е 4- тЛ2 ) (£ 4- тЛ,) и (л:,

г/, tp) +

О (т2)

[Е + х (Л, 4- Л2 )] и (х, г/, tp) +

т2 Л, Л2 ы (х, у, tp) 4- О (т2) =

(Е 4- хА) и (х, у, tp) 4- О (т2) = и (х, у, tp+l)

4- О (х2).

Равенство

(4) и дает основание

на каждом интервале вре

мени

<: t ^

tp+l

вместо

задачи

(1) последовательно

решать

задачи (2) и (3).

Для фактического решения уравнений (2) и (3) формально

аппроксимируем

эти

уравнения

какими-либо

разностными.

Тогда

возникает

некоторая

разностная

схема

расщепления

LhtiW =

/W,

позволяющая

в два этапа

вычислить

по уже

известному

UP (первый

этап — вычисление

v?+l

по заданному

VP — ир, а второй — вычисление

« p +

I = WP+1 ПО уже вычислен

ному на первом этапе WP =

VP+1).

Высказанные соображения носят эвристический характер.

После того как разностная

схема

расщепления

LA «(A >=/<">

(5)

для численного решения задачи (1) построена, надо как-либо проверить ее апйроксимацию и устойчивость.

286ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Вслучае задачи Коши для двумерного уравнения тепло проводности

ди	д2и . д2и	0 <t < Г,	—оо<х,у<оо,
~дГ~'дх2	*~ Ту2 '

и (х, у, 0) = ар (х, у)

в качестве системы (2), (3) можно взять, например,

dv	-J^- ,	V (х,	у, tp)	=	и (х,	у, tp),	]
~дТ
	д^хю						\
dw		w(x,	y,tp)	=	v(x,	y,tp+l).
	-^г,						•
~~дТ

(6)

(7)

Указанное расщепление двумерного уравнения из задачи (6) на два одномерных уравнения (7) можно истолковать как при ближенную замену процесса распространения тепла по плос

кости Оху за время tp ^ t <с; tp+l на два процесса. В первом из них, который описывается первым уравнением (7), вводятся

(мысленно) теплонепроницаемые перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси Оу. Затем, по про шествии времени т, взамен этих перегородок вводятся пере городки, препятствующие распространению тепла в направле нии оси Ох. Но прежние перегородки снимаются. Тогда рас пространение тепла, снова в течение времени т, описывается вторым уравнением.

Выберем сетку (xm, уп, tp) = (mh, nh, рх).

Разностную схему расщепления, отправляясь от (7), можно построить многими способами. Укажем два из них:

	^xxUmrf
„Р-Н
	AyyUmn'	I
	Umn = ^(Xm>	Уп)
'ran	„Р
'ran	"тп

i™» Z™- =	A	ир+[,
Т	уу	тп '
и0тп =	Тtp\(хт', цап)\.

В обеих этих схемах расщепления положим

(8)

(9)

; Wp	,	U p + i	Е=доР-Н
тп'		тп	тп '

§ 31. КОНСТРУКЦИЯ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ

287

Напомним обозначения Ахх и Л„„, которые нам уже встречались:

д ,,	um+l, п — 2итп	+ "m-l, п
1Уххитп—	Я 2	>

Ayytlmn	'-	h2
		h2

Схему (8) поясняет рис. 40, схему (9) — рис. 41.

Самое расщепление задачи (6) тоже неединственно.

ит,п-1

Рис. 40.

Задачу (6) можно записать, например, так:

dt ~~ 2 [ дх2 +	ду2) + 2 \ дх2	ду2) '
и{х,	у, 0) — гр (ЛГ, у),

и поставить ей в соответствие на отрезке tp^.t^tp+l щие две системы:

dt ~ 2 \ дх2 "т" ду2 ) ' f P ^ f ^ r P + l >

у (*, г/, tp) = u (*, г/, tp)

<?o>	1 / d2w	, d2w
dt ~ 2 \ dx2 T		dy2 ) » * P ^ ^ P + l '

1т,п*/

(б')

следую

(10)

(П)

^ (*, I / . *p) = У (*i У, tp+i).

288 ГЛ. 10. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Такое расщепление не есть расщепление по физическим сообра жениям, как в схеме (7). Разностную схему выберем так (рис. 42):

l ( A A n + V ™ ) '

и р + х	— й	1			(12)
" л и	"ям
Для вычисления и р + 1		по схеме (12) переменных		направлений
надо сначала при	каждом		фиксированном п решить		неявное
		р + ,	уравнение для йтп,	в которое п
„р+1	ит-/,п		входит как параметр. Потом для
ит-1,п			вычисления и р +' надо решить
			второе уравнение	(12),	неявное
и,m,n~i			относительно w^t1 .	в которое т

umn+t

В Х ° Д И Т	к а к параметр.
Схему (8) можно записать в
виде	(5), если	положить
	и р + 1	- й

Рис.

42.

Г 1 * е и'тп~итп~т~

хАххитп

определяется

из первого уравнения (8).

Тогда

m,n = Q, ± 1,

р =

0, 1

[ Г / т ] - ! ,

Ф(*т,

«/«),

т,га = 0, ± 1, . . .

Мы

предоставляем

читателю

записать

схемы

(9)

и (12) в

принятом нами виде (5).

Читатель может проверить, что спектральный признак устой?

чивости

Неймана,

состоящий в

ограниченности

решений

вида

upmn = X"ei{am+m,

выполнен для

схемы

(8)

при

г =

т/А2 ^

'/г.

а для схем (9) и (12) при любом г.

Мы не будем останавливаться на исследовании условий

устойчивости

доказательстве

аппроксимации

схем

(8),

(9)

и (12).

ЗАДАЧИ

1. Исследовать,

при каких г = т/ft2

выполнен

спектральный признак

Ней

мана для разностных

схем

расщепления

(8),

(9)

и (12), приведенных в

этом

параграфе.

	§ 32. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ				289
2.	Проверить, что схема (8) аппроксимирует задачу			(6)	на достаточно
гладком ограниченном решении и(х,у,		t).
3.	То же, что и в задаче 2, но для разностных		схем	расщепления (9)
и (12).
	§ 32. Экономичные	разностные	схемы

Рассмотрим и исследуем примеры разностных схем рас щепления для задачи о распространении тепла

ди

д2и .

д2и

0 < х , г / < 1 ,

0 < * < 7 \

и (х,

у,

0) =

-ф (х, у),

0 ^ х ,

у ^

(1)

и{х, у,

t) | =

прямоугольной

области

х, у ^

границей Г.

Будем

пользоваться

обычной

сеткой

(xm,

уп,

tv) = {mh,

nh, рх),

т,

п = 1, 2,

h =

l/N.

Разностная

схема

расщепления,

которую

мы приведем, в не

которых отношениях обладает принципиальными преимуще ствами перед простейшей явной

• = Л ир + Л ир ,

		Umn	хх тп 1		уу тп>	(2)
		Umn	= *	Уя).
		ир	= 0
и простейшей	неявной
	и р + 1	- нр
	и тге	"теге	Kx<V+\y<V>
		/О	— У(Хт'	Уп)'		(3)
		«р	0
		«р
разностными	схемами.
Вычисления по явной схеме (2) очень просты. Для перехода
от уже известного		UP К	неизвестному		ы р + \| = [U^+'J	требуется

проделать арифметические действия в количестве, пропорцио нальном числу (N—I)2 неизвестных значений {и^1 }- В этом смысле явная схема неулучшаема. Разностные схемы, в кото


рых число	арифметических действий		для	перехода от	UP к
«р+1 = {«р+'} пропорционально числу			неизвестных значений, на
зываются	экономичными.	Однако, будучи		экономичной,	явная

Ю С. К. Годунов, В. С. Рябенький

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4129 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ