Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4123 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

220

ГЛ. 7. ПРИЕМЫ

ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Система

уравнений

акустики

~дГ ~дх

/ >0,

— оо <

х < оо,

==0,

дх

v (х, 0) =

ф (х),

w (х, 0) = -ф ( А ; )

имеет решение вида

v (х,

t):

(p(x—t)+T\>(x

— t) + q>(x + t) — \p(x + t)

]

w (х, t) '

ф (x -

t) + 4) (x - t) -

ф (x +

0 +

(x + 0

Может ли оказаться

сходящейся разностная схема вида

vl+'-vl

p>0,

Jm+\

0, m = 0,

± 1 ,

Сопоставьте

области

влияния

начальных

данных

для

разностной

и диффе

ренциальной

задач.

Задача

Коши

имеет решение

Соответствующая

0+1 " т

имеет решение

ди	ди			.
-дГ'-ЬТ^0'				/ > 0 -	-°°<*<°°.
	и (х, 0) =	е'ах,			о о <		х< о о ,
	и (х, 0		=	ег с "е'°*.
разностная схема
_	о
" т				О,	р =	0,	1, . . .
				О,	р =	0,	1, . . .
					т =	0,	± 1 ,
	:[1	_ Г +		iaftlP	Jahm
	:[1	_ Г +	Г в	* « Л ] -	е

которое при р — t/x,		т	= x/h	стремится к решению дифференциальной	за
дачи	при л - > 0 , каково бы ни			было фиксированное г — x/h. Между тем	при
г > 1	разностная схема		не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и
Леви,	необходимому	для	сходимости. Объясните кажущийся парадокс.

Г Л А В А 8

НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 25. Спектральный анализ разностной задачи Коши

Мы изложим широко применяемый способ Неймана иссле дования разностных задач с начальными данными. В этом па раграфе ограничимся случаем разностной задачи Коши с по стоянными коэффициентами, а в § 26 частично распространим результаты на случай переменных коэффициентов.

1. Устойчивость по начальным данным. Простейшим приме ром разностной задачи Коши может служить неоднократно встречавшаяся выше задача

ит

ит+1

- £ = < С

Р =

[7Ут]-1,

(1)

Положив

[ 7 У т ] - 1 ,

1 i|)m >

m =

± 1 ,

запишем

задачу (1) в форме

Lnuw

fh\

(2)

Определим

нормы

|«( f t ) ||yA

и || fh)

равенствами

II " < W

—

max

max \ирт\,

\ fih)

== max

Нт\

max I ф? I .

" г а

т, р

Тогда условие

устойчивости задачи (2)

примет вид'

\W%h<c\\f»\\Fli

(3)

max|U P

1 < с [ т а х Н 5 о т | +

т а х | ф Ч ] ,

р =

О,

[Г/т],

(4)

т 1

т,к

222

ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

где

с не

зависит от h (и от

x = rh, г =

const).

Условие

(4)

должно

выполняться

при произвольных

{г|)т} и {ф^|. В част

ности, для устойчивости

необходимо,

чтобы оно

выполнялось

при

произвольных

{ф ) и ф £ = 0 ,

т. е. чтобы

решение

задачи

ир-н

т + \

т = 0 ,

р =

[Tlx]

(5)

= *т>

= = 0 '

] -

••••

удовлетворяло

условию

maxlifP | < c m a x | « °

I ,

р =

[Т/х],

(6)

при

произвольной

ограниченной

функции

u°m =

tym.

Свойство (6), необходимое для устойчивости (4)

задачи (1),

называют

устойчивостью

задачи

(1)

относительно

возмущения

начальных

данных.

Оно

означает,

что

возмущение

{и°т),

вне

сенное

начальные

данные

задачи

(1),

вызовет

возмущение

{ит}

Р е ш

е н и я

задачи

(1), которое

в силу

(6)

не более

чем в с

раз превосходит возмущение начальных данных, причем с не зависит от h.

2. Необходимое спектральное условие устойчивости. Для устойчивости задачи Коши (1) по начальным данным необхо

димо, чтобы условие (6) выполнялось, в частности, если						{«^}
есть какая-нибудь гармоника
u% = etam,		т =	0,	± 1		(7)
где а — вещественный	параметр. Но			решение	задачи (5)	при
начальном условии (7) имеет вид
	ирт = %ре(ат,					(8)
где % = 'к(а) определяется		путем	подстановки		выражения (8)
в однородное разностное уравнение задачи (5):
Я, (а) =	1 — г +	reia,	r =	-jj-=const.		(9)
Для решения (8) справедливо равенство
m a x \и р \ =		\ К (а) \| р т а х \| г г Ч .
т			т
Поэтому для выполнения условия (6) необходимо, чтобы						при
всех вещественных ос выполнялось			неравенство
\| Я ( а ) \| р < С ,		р = 0,	1	[Т/х],
или	\| М « ) 1 < 1 + ¥ .					(Ю)
	\| М « ) 1 < 1 + ¥ .					(Ю)

	§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ		РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ	КОШИ	223
где	сj — некоторая	постоянная,	не зависящая от а и т. Это и
есть	необходимое	спектральное	условие Неймана	применитель

но к рассматриваемому примеру. Спектральным оно называется


по следующей причине. Существование решения вида										(8) пока
зывает,	что гармоника {eiam}				является		собственной			функцией
оператора		перехода
		" S ^ d + " С и .				т = о, ± 1 , . . . ,
который	в	силу		разностного	уравнения		(5) ставит		в	соответ
ствие сеточной			функции		m =	0, ± 1 ,		определенной			на
слое tp = px сетки, сеточную					функцию		{w^"1"1},	/п =	0,	± 1 ,
определенную			на	слое 1Р+\ =	(р +	1)т.	Число	А , ( а ) = 1 — г А-
+ reia	является			соответствующим-		этой	гармонике		{eiam}		соб

ственным числом оператора перехода. Линия, которую пробе гает точка X(а) на комплексной плоскости, когда а пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и яв

ляется	спектром		оператора	перехода.
Таким образом, н е о б х о д и м о е					у с л о в и е	у с т о й ч и
в о с т и	(10)	можно сформулировать так: спектр оператора пе
рехода,	соответствующего			разностному	уравнению	задачи	(5),
должен	лежать		в круге радиуса 1 -\|- схх на комплексной				пло
скости.	В нашем		примере	спектр (9) не зависит от		т. Поэтому
условие	(10)	равносильно		требованию,	чтобы спектр Х(а)		ле
жал в единичном			круге
				U ( a ) \| < l .			(11)

Воспользуемся сформулированным признаком для анализа устойчивости задачи (1). Спектр (9) представляет собою окруж

ность

центром

в точке

1 — г и

радиусом г на комплексной плоо-

кости. В случае

г <

1 эта

окруж-

ность

лежит

внутри

единичного

( [

круга

(касаясь его в точке Я,= 1),

\\ff

при г =

1 совпадает

единичной

окружностью,

при

г > 1 лежит

вне единичного

круга

(рис.

20).

Соответственно

необходимое

ус

ловие

устойчивости

(11)

выполнено при

1 и не выполнено

при г >- 1. В п. 3 § 21 мы

исследовали

рассматриваемую

разно

стную

схему

показали,

что

при

г ^

1 она

устойчива,

а при

г > 1 неустойчива. Таким

образом,

необходимое условие

устой

чивости Неймана оказалось в данном случае достаточно чув ствительным, чтобы в точности отделить случай устойчивости от случая неустойчивости.

224ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Вобщем случае задачи Коши для разностных уравнений и" систем разностных уравнений необходимый спектральный при знак устойчивости Неймана состоит в том, что спектр Я = Я(а,«)

разностной задачи при всех достаточно малых h должен	лежать
в круге
\| Я \| < 1 + е	(12)

на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее вы бранное положительное число е.

Заметим, что если для рассматриваемой разностной задачи

спектр окажется не зависящим от h (и от т),

то условие

(12)

равносильно

требованию,

чтобы

спектр Я =

Я(сс, h) — Я(а)

ле

жал

в единичном

круге

| Я ( а ) | < 1 .

(12')

Под спектром разностной задачи в условии

(12)

понимается

совокупность

всех

Я = Я(а, h),

при

которых

соответствующее

однородное разностное уравнение (или система

уравнений)

имеет

решение

вида

= [Я (a, h)}p

[u°etam],

m = 0 , ± l , . . . ,

(13)

где

и0

— число

(единица),

если

речь

идет

скалярном

раз

ностном уравнении, и числовой вектор, если речь идет о век торном разностном уравнении, т. е. о системе скалярных раз ностных уравнений.

Если необходимое условие Неймана (12) не выполнено, то ни при каком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчи вости, а в случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборе норм устойчивость имеет место. Аналогичный вопрос о независимости спектрального признака устойчивости от выбора норм мы уже обсуждали в связи с раз ностными схемами для обыкновенных дифференциальных урав нений в § 15.

3. Примеры. Рассмотрим ряд интересных разностных задач Коши и применим для анализа их устойчивости спектральный признак Неймана. Начнем с разностных схем, аппроксимирую щих дифференциальную задачу Коши

- \| Г - - ? Г =		Ф(*. О,		- ° ° < * < ° о ,			0<t<T,	(14)
и (х,	0) =	ip (х),		— оо <	х <	оо.

П р и м е р	1. Рассмотрим			разностную		схему
итР - Н ит	ит	ит—1	ф(*«, tP),		Р = 0, 1,		[Г/т] - 1,

		М т = ^ Ы .			^ = 0, ± L

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ к о ш й

225

Подставляя выражение вида (8) в соответствующее однородное

разностное уравнение, после				простых			преобразований			получим
			1(a) =	1 +		г —	re~ia.
В силу этой формулы спектр представляет собою окруж
ность	с центром		в точке 1 + г		и радиусом			^
г (рис. 21). Ни			при каком г спектр не ле-						ч.
жит в единичном круге. Условие устойчи-								/		i / ' / S
вости	(12')	всегда не выполнено.						( 0	/ д	» )
В § 24 уже было установлено, что при								\ .		У\/*гУ
любом г не выполнено необходимое уело-									Рис.	21.
вие сходимости			(и устойчивости)			Куранта,			Рис.	21.
Фридрихса и Леви.
П р и м е р		2.	Рассмотрим		следующую			разностную схему
										(15)
								т	Т m

аппроксимирующую задачу (14) со вторым порядком относи

тельно	h (§ 22). Для нее				Х = %(а) определяется						из уравнения
	Х - ± _ е ^ ~ е ^ _						r _ ( i a	_	,	{ а ) =	: 0
	х	2h					2h^e			>	U >
Обозначим по-прежнему			г =			т/я. Заметив,				что
		e i	a		- e	- i	a
					2]		= = s	i n	a '
						/	Ja_	ia	\ 2
	« * - 2	+ e - " _			[ e \ ^ T ±				1	_ s . n 2 a i
							2i
получим
		A = l +			/ r s i n a - 2 r 2 s i n 2 - \| - .						(16)
	I Я (a) \| 2 ^ ( l				- 2 r 2 s m 2 y ) 2				+	r2 sin2 a.
После	простых	преобразований найдем
		l - \| A \| 2		= 4 r 2 s i n 4 y ( l - r 2 ) .							(17)

Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрица тельна, r < 1, и не выполнено при г >> 1.

8 С, К. Годунов, В. С Рябенький

226 ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

П р и м е р		3. Рассмотрим			следующую		разностную схему
		(	„ Р - Н _	„ Р	,.Р . . .. ..			=	<р{хт,	tp),
	LhuW		X			2h		=	<р{хт,	tp),	(Щ
	LhuW		X			2h		—	Ч Ч * т .	*р/,	(Щ
							<	=	НХт)
для той же задачи			Коши	(14).
Подставляя в уравнение (18) выражение (8), после сокра
щений получим уравнение для X:
			Я - 1		e i a - e - i a	=	0
			х		2h	=	0
или			х		2h
или
			X (а) =		1 + i [j^-	sin	aj.
Спектр	X =	X(a)	заполняет		вертикальный			отрезок		длины	2т//г,
проходящий		через	точку X =		1 (рис.	22).
Если	т/ft = г = const,			то	условие (12')				не выполняется —

спектр не лежит в единичном круге. Если при я—>0 шаг т из

	меняется,	как я2 , так что			т = гп2,	то	самая да
/+1Г	лекая от	точки X = 0		точка X(а)		имеет		модуль

	I Ш Un/2	= l / 1 +			= / 1 + ТГ < 1 + f Т.
Mr	Условие	Щ а )	\| sg; 1 +	ст	в этом	случае		выпол-

Рис. 22.	нено при	с — г/2.			т = гп2
	Ясно,	что	требование			накладывает
	гораздо	более	жесткое		условие	на	убывание

шага по времени т при стремлении шага я к нулю, чем требо
вание т = rh,	1, которого было достаточно для		выполнения
признака Неймана для разностных схем (5) и (15), аппрокси
мирующих ту же задачу Коши (14).
Отметим, что признак Куранта, Фридрихса и Леви, как по
казано в конце § 24, позволяет утверждать неустойчивость об
суждаемой схемы	только при т/h > 1, а при	т/л ^	1 суждений
об устойчивости не дает и оказывается слабее признака Ней
мана.
Рассмотрим теперь две построенные в § 22 разностные схе
мы, аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопро
водности
щ — а2ихх	== ф(х, t), — о о < х < о о ,	0<t<T,	\|	^

и (х, 0) = яр (х),

— о о < л : < с о .

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

227

П р и м е р

4. Явная разностная

схема

" m + 1 - " m

U P m + 1 -2иРт

+ UPm_x

а2

= ф ( т я , пх),

u°m

= ^(mh),

т =

± 1 , . . . ;

р = 0, 1,

[Г/т] — 1 ,

при

подстановке ит

— л е

соответствующее

однородное

разностное уравнение приводит к соотношению

2 + е

га =

Заметив, что

•2 + е ia

— sin2_а_

получим

Я(а) =

1 -Ara2sm2-~,

Г = -р-

При

изменении а

число

Л (а)

пробегает

отрезок

1 — 4га2 ^

^ ^ ^ 1

вещественной оси (рис.

23).

Для

устойчивости

необходимо,

чтобы

левый

•

i ,

конец

этого

отрезка

лежал

единичном

круге

(

™

1 - 4 г а 2 ^ - 1 и л и

f /

(20)

2а2

В случае,

если г >

, точка

Я, (а) =

I — 4га2 sin2

> отвечаю

щая

а = я,

лежит

левее точки

— 1 . Гармоника

е1ят~

(—1)т

порождает

решение

И р т = ( 1 _ 4 г ) я ( - 1 Г ,

не удовлетворяющее

условию

(6) ни при какой постоянной с.

П р и м е р

5. Рассмотрим теперь

вторую

схему

"я

ит

2 "m+I

2й

^ M m - 1

Ф (m/г, ят),

Й 2

ы о = ф ( т я ) ,

<21>

от = 0, ± 1 ,

р = 0, 1, . . . . [ Г / т ] - 1.

Аналогичные выкладки приводят к выражению

228 ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Спектр этой задачи	заполняет	отрезок
		-1	< А < 1
	1 + 4ra2 sin2 -J		< А < 1
вещественной оси,	и условие	\| Я \| < ;	1 выполнено при любом г.

Спектральный признак Неймана применим для исследования разностной задачи Коши и в случае, если пространственных пе

ременных два	или	более.
П р и м е р	6. Для		задачи
		ди		д2и	,	д2и		t>o,\
		~дТ~~дх2			~* ~ду2~ '			t>o,\
		~дТ~~дх2			~* ~ду2~ '
			и(х,	у,	t) =	ty{x,		и)у)	)
возьмем сетку	{xm,	у„, tp)		=	(mh, nh, рх). Заменяя производные
разностными	отношениями,				построим			разностную		схему
• "тп	тп		ит+\,		п ~~ ^итп		+	" m - I ,	п
						h2
						< , п	+	1 - 1 <	п + < , п	- 1 _ п	(23)
								h2		~	U '

Задавая и°тп = е* (ат+$п\ т. е. в виде двумерной гармоники, за висящей от двух вещественных параметров а и р , найдем ре шение вида

Подставляя это выражение в разностное уравнение, после со кращений и тождественных преобразований найдем

Я (а, р) = 1 — 4г sin2 -|- — 4r sin2 - | .

При	изменении		вещественных а и р		точка Я = Я(а, Р)	про
бежит	отрезок
			1 — 8г <	Я < 1
вещественной		оси.	Условие	устойчивости выполняется,		если
L-z$S.^	— 1 ,	г <	У4.		применение признака
Приведем		пример, иллюстрирующий			применение признака

Неймана для разностных уравнений, связывающих значения искомой функции не на двух, а на трех временных слоях,

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

229

П р и м е р

Задачу

Коши

для

волнового

уравнения

д2и

2 -

— " ^ 2 = 0,

— оо <

х <

оо,

0 < / < 7 / ,

ы (х,

0) =

о|э, (л;),

а " 1 * '

0 ) =

о|)2

(л:),

—

оо

х < со,

аппроксимируем

разностной схемой

« £ + 1

- 2 < + Я Р - 1

< + ,

2 « £ + «° _ ,

= 0,

т2

л2

Р = 1 ,

[Г/т] -

(24)

==М*т)>

m = = 0 -

± 1 '

••

Подставляя в разностное уравнение решение

вида (8),

полу

чим после

простых

преобразований

следующее

уравнение

для

определения к:

Л,2 — 2 ( l — 2r2 sin2 -j) Л,+ 1 = 0 , г = ^-

Произведение корней этого уравнения равно единице. Если дискриминант

d (а) =	4r2 sin2 а (г2 sin2	-J	- 1)
квадратного уравнения	отрицателен,	то	корни Я,(а) и Я2 (а)

комплексно-сопряженные и равные единице по модулю. В слу

чае	г <С 1 дискриминант	остает
ся	отрицательным при	всех а.
На	рис. 24, а изображен	спектр

вэтом случае. Он заполняет


часть		единичной			окружности.
В	случае		г =	1 спектр		заполняет
всю		окружность.			При	г > 1 по
мере увеличения а от нуля до л							Рис. 24.
корни		Я, (а)		и Я2 (а)		движутся
из	точки		А =	1	по	единичной

окружности один по часовой стрелке, а другой против часовой

стрелки,	пока	не	сольются в точке		к =	— 1 ,	а	затем	один из
корней	пойдет	по	вещественной	оси	из	точки	к =—I		влево,
а другой вправо, так как они вещественны и к\к2=\								(рис. 24,б).
Условие устойчивости выполнено при г
Рассмотрим		задачу Коши		для	следующей			гиперболиче
ской, системы		дифференциальных			уравнений,			оцисывающей

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4123 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ