Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

у здесь штрихи при f означают д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е по т) =

У\

~E{x)J'

а и а л

° г и ч н о е

полученному М е л л о р о м [14] при анализе 1

немагнитного

следа с

градиентом

д а в л е н и я ,

причем

в ы р а ж е н и я

в к в а д р а т н ы х

скобках д о л ж н ы быть постоянными:

Т а к к а к м а с ш т а б

8(х),

вообще говоря, произволен, то выбе

рем его таким образом,

чтобы

J * ± t E £ . _

, .

(5.32)

Тогда з а д а ч а

сводится

отысканию собственных функций Д и

собственных значений % д л я уравнения

+ т ) / Ч Я / = 0

(5.33)

условиями

f ( 0 ) = 0 ,

f ( o o ) = 0 ,

т. е. к з а д а ч е Ш т у р м а — Л и у в и л л я .

К а к

было

показано

М е л л о р о м

[15], Стейгером

Б л у м о м [16],.

существует бесконечный

дискретный р я д

собственных

функций,

удовлетворяющих

условию

/ ' ( 0 ) = 0

и. экспоненциально

убы-.

в а ю щ и х при

т}-*~оо.

\=п+1,

где п

Действительно, если

—

натуральное

число,

то

решением (5.33) является

в ы р а ж е н и е

•п

причем

условие

/ ' ( 0 ) = 0

удовлетворяется

к а к

при

четных

( в к л ю ч а я п = 0),

если

С 2

= 0,

т а к

и при нечетных

п,

если

CY=0.

П р и

прочих п

подстановка f — e~zF(z)

ТІ2

(5.33)

г—сводит

к стандартной форме вырожденного гипергеометрического урав нения

zF"+(c-z)F'-aF	= 0	( с = - і ,	а	= Ь ^ ) ,	(5.35)
одним из решений которого является				р я д
с 1!	с ( с + 1 )	2!	'

Л е г к о видеть, что решение	f = e~^i2F \|~j	удовлетворяет ус
ловию f'(0) = 0 . Однако если	ограничиться	условием экспонен

циального убывания решения на бесконечности, то на собствен ные значения X н а к л а д ы в а ю т с я определенные ограничения.

Сэтой целью рассмотрим асимптотическое поведение f\ при

различных		X.	П р и четных п		(соответственно, нечетных X), к а к
следует	из	(5.34), f-*-0		при	ті-voo,	к а к / ; =т[ я _ 1 е _ 1 1 2 ' ' 2 ; при нечет
ных п	—	ка к	f^x~x,	т. е. лишь		алгебраически . П р и прочих п

асимптотическое поведение / определяется, согласно [17], выра жением

2 ^ v " [ i + 0 ( h | - 1 ) ] .

Следовательно, при Х<0 решения расходятся, при А,>0 схо дятся алгебраически .

Таким образом, экспоненциальное убывание решения на бес конечности обеспечивается бесконечным дискретным рядом по


ложительных		нечетных значений	X.	Однако эти		решения		обла
д а ю т	тем свойством, что все они, кроме				одного,	д а ю т	нулевой
поток	количества движения . Поэтому			з а д а н и е потока количества
д в и ж е н и я к а к		характеристики следа		или	струи позволяет			выде-*
лить	единственное собственное		значение		и собственную			функ
цию,	удовлетворяющую этому условию; с				помощью ж е		осталь

ных собственных функций можно, в принципе, удовлетворить

произвольные	начальные		(при х = 0)			условия,	но их в к л а д			в им
пульс струи равен		нулю. К а к		будет		показано	ниже,		это единст
венное собственное значение X обеспечивает, кроме того, наибо
лее медленное	затухание		(при x-voo) решения					д л я	продольной
составляющей	скорости.
Интегральное		условие,		х а р а к т е р и з у ю щ е е				изменение		им
пульса, легко	получается из (5.29), записанного с использова
нием уравнения неразрывности в виде
-—[u(U-u)]		д [v(U-u)]		= x	~	+ (NU+U')(U-u)			.
		ду
Интегрируя по у в пределах от — оо					до + о о , имеем
со				со

—оо

•оо

или, в линеаризованной

форме, —

оо

- 4 - U [ u,dy=-{№+U')

uYdy.

(5.36)

—оо

Если в (5.36) перейти к функции и2, то получим закон изме

нения

импульса

в обычной

гидродинамике:

со

~ U

u2dy=-U'

u2dy,

(5.37)

—CO

из

которого

следует,

что в ускоренном

внешнем

потоке

((У'>0)

количество

д в и ж е н и я

в следе

(струе)

уменьшается,

замедлен

ном

( ( 7 ' < 0 )

увеличивается,

однородном

спутном

потоке

(U'=0)

сохраняется постоянным. К а к видно

из (5.36), в

присут

ствии

магнитного

поля

количество

д в и ж е н и я

всегда

уменьша

ется по сравнению со случаем

отсутствия

поля

(по смыслу N

всегда

п о л о ж и т е л ь н о ) .

д л я и2,

П о д с т а в л я я

(5.37)

в ы р а ж е н и е

получаем

—оо

ОО

откуда

следует,

что если

J fdi\=£0,

то функции

ит

и б свя -

—оо

з а н ы помимо соотношений

(5.32)

условием

Umb

= kU-2,

(5.38)

где

—

известная

постоянная,

х а р а к т е р и з у ю щ а я

количество

д в и ж е н и я

в з а д а н н о м

сечении

x = const.

Л е г к о проверить,

что

в силу

ограничения

нечетными значе-

оо

ниями

К решение

(5.34)

С 2

= 0

д а е т Sfkdr\=0

д л я

всех значе-

—оо

К связь

ний

Я,

кроме

Я = 1 , т а к что л и ш ь

при этом

значении

(5.38)

имеет

место.

U=Axm,

где А —

Пусть

внешний поток

з а д а н

в ы р а ж е н и е м

з а д а н н ы й коэффициент пропорциональности . Тогда

решением

системы

(5.32)

я в л я ю т с я

(при тф

— 1) следующие

в ы р а ж е н и я :

6 = 1 — ) х-т

-х1+т

I ,

/АВ

„

т +1

П о д с т а в л я я	эти	решения в	(5.38), еще р а з у б е ж д а е м с я , что
К=1. К р о м е	того,	постоянная . решени я С определяется, согласно
(5.38), через А и k следующим			образом :

-• »(;)••

частном случае однородного

внешнего

потока

( т = 0,

А =

— U0)

решение д л я Ui принимает окончательный вид

U ] = 2 / e l / ^ e x p ( - N . - l ^ ) , '

\'Х

с о в п а д а ю щ и й с приведенным в

н а ч а л е п. 3.3. П р и

получении

ре

шения

было

принято, что

/3 = 0 в в ы р а ж е н и я х

д л я

б и ит.

уче

том этого предположения

ит^х~х^,

т а к что значение

% = \

дейст

вительно

обеспечивает

наиболее

медленное

затухани е

струи

с ростом

х.

И з полученного

решения следует

т а к ж е ,

что при

на

личии спутного потока струя затухает асимптотически в присут

ствии	магнитного поля;	д л я свободной ж е		затопленной струи
(глава	I I I ) х а р а к т е р н о	появление	конечного	сечения	торможе
ния, где струя полностью		р а з м ы в а е т с я .
Р а с с м о т р и м струю в однородном спутном потоке. Если внеш
ний поток однороден, т. е. U'(x)=0,			то произвольные		начальные

условия могут быть удовлетворены более простым способом, чем

подбором собственных значений X. Действительно, при								U'=0
уравнение		(5.29)	после	з а м е н ы «i = exp ( — Nx)u2		переходит в
уравнение		теплопроводности:
ди2	. д2и2		v
—	=а2—г-,		а2=—.
дх	ду2		U
Решени е		з а д а ч и Коши,		т. е. з а д а ч и с	граничными		условиями
«2->-0 при,# - э - ±о о			и . н а ч а л ь н ы м условием		и2=ц>(у)	при	х=0,	в та
ком	случае	легко получить с помощь ю фундаментального						реше
ния уравнения теплопроводности:

Пусть,	например, рассматриваетс я	з а д а ч а о	перемешивании
в спутном потоке струи, истекающей из плоского			сопла конечной
ширины	2а, при равенстве давлений	на выходе	из сопла и в

спутном потоке,			а профиль скорости на срезе сопла			(х=0) з а д а н
с л е д у ю щ и м о б р а з о м				(рис. 5.2):
и = £7	•	при	\| у \| > а ;
u = U + u0		при	\у\<Са.
Тогда	<р(г/)=0		при	\| t / \| > a и (р(у)=и0	при \у\<а,	а решением
д л я U\ явится следующее в ы р а ж е н и е [18]:
Ui~ —2	е -	•ы-и-ы-2 тс ф -)]-
"о
где
	-4=	( e-e'de.

Д р у г о й пример (течение в следе з а пластиной, длина которой столь

велика,	что на ее кромке		имеет
место	асимптотический	профиль
< p O / ) = " ( 0 , i / ) = e x p ( - 7 N M )				[19])
приведен	в работе (20]. В этом			слу
чае решение имеет вид

Рис. 5.2. Схема смешения струи из сопла конечной ширины со спутным потоком.

* - | H i - i ( y b - 5 L ) } t

+Є

3.4.МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

Приведенные в пп. 3.1 и 3.2 решения я в л я ю т с я по существу первым приближением полной нелинейной задачи . С целью уточнения решения в теории пограничного слоя непроводящей жидкости прибегают обычно к построению решения д л я функции

тока в виде ряда по	степеням некоторого п а р а м е т р а . В	магнит
ной гидродинамике	приходится, кроме того, р а з л а г а т ь	в р я д и

вектор — потенциал магнитного поля (магнитный аналог функ ции т о к а ) , причем вид этого р а з л о ж е н и я зависит от предпола -

гаемого направления вектора напряженности невозмущенного

магнитного		поля . Н а п р и м е р , если однородное магнитное		поле
Н0	параллельно спутному потоку U струи проводящей		жидкости,
то	ряды д л я	функции тока г\|) и ее магнитного аналога	Т	имеют

вид [21]

^ = - ^ [ у 2 І л + / о ( г , ) + - ^ \| - + - - -	] . .	(5.40)
где t, = vx, г\| = г/У
П о д с т а в л я я (5.39) и (5.40) в	(5.10),	(5.11), получаем сис

тему обыкновенных линейных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений относительно функций фі и fj. Приведенное в работе [21] реше

ние д л я функций		фо и /о первого		приближения в точности		совпа
д а е т с решением		(5.23).
Несколько иначе обстоит дело в случае магнитного поля, ор
тогонального невозмущенной скорости. Здесь дл я					сведения за
д а ч и к системе обыкновенных				д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений
приходится	предполагать,		что внешнее магнитное		поле	з а д а н о
в ы р а ж е н и е м	[22]
Я у ( о о ) = - ^ .						(5.41)
yvx
Тогда д л я W вместо (5.40)			имеем	р а з л о ж е н и е

а з а д а ч а (5.10) — (5.13), (5.41) с дополнительным интегральным условием

ОО
f[u(u-U)-	±НХ*	\dy = J Q
f[u(u-U)-	Р.	3
	Р.	3

— со

п р и в о д и т ся к системе уравнении

Ф/ "о + г1ф"о + Ф,о = У 2 А 1 Г о ;

(5.42)

Ч>'"1+гю"1 + 2<р'1 = У2А\ f о - ~ Ф ' о + У 2 A l f"> ;

(5.43)

ГІ + Р ( Т І / , . + / . ) = Г | | - Ф , І ;

сусловиями

Ф о ( 0 ) = ф " о ( 0 ) = / / о ( 0 ) = 0 ,

ф / о ( ± о о ) = / ' 0 ( ± о о ) = 0 ;

(5.44)

Ф і (0) = Ф ' , (0) = Ф " , (0) = /, (0) = / ' , (0) = 0 ;

(5.45)

ф ! ( ± о о ) = ф ' 1 ( ± о о ) = / 1 ( ± с о ) = / ' 1 ( ± о о ) = 0

оо оо

f(f>'ody] = J0U-\	j ( ф / 2 о - 2			A l / , 2 0 ) d T ) =		- /	ф'ігіт).;
—со	—CO					—CO		(5.46)
со				оо
/ ( Ф ' О Ф ' І - 2 A l	f'of'i)di\	=	0,	/	(ф'оф'і —2	A l / ' 2 j ) d T ) =		0 ,
З д е с ь А 1 = ^ ^ °	, р = ^ - ,		а при получении			(5.42) и (5.43) исполь
з о в а л о с ь проинтегрированное				по	у уравнение		(5.11), т. е. у р а в
нение
vHx - иНу = v m — —		UHy ( ± оо).
Систему уравнений		первого		п р и б л и ж е н и я			(5.42)	м о ж н о при
вести к одному	уравнению:

ф " ' о + "(1 + Р) Лф"о+И + Р ( т і 2 - А 1 ) ] ф ' о = 0 ,

12 — 2274

которое

после

подстановки ф ' о = е х р |

— ~j

переходит в

T " + ( 6 - l ) T 1 T , - N t

= 0

( N = A1 В).

(5.47)

П р и

р < 1 переход к переменной

- т ] 2

д а е т в о з м о ж н о с т ь

свести

(5.47)

у ж е р а с с м а т р и в а в ш е м у с я

выше

уравнению

(5.35):

zx"+

(4->

2 ( 1 - 6 ) - т = 0 ,

(5.48)

2 " " / -

общим

решением

которого является

2 ( 1 - 6 )

2 ) 4 4

И з условия

ф"о(0) = 0

следует,

что Б = 0. П о с т о я н н а я А

опре

деляется из первого интегрального

условия (5.46), т а к что

окон

чательно решение имеет в и д

Ф о=-

—

г , 2 ( 1 - 6 )

2 ( 1 - 6 )

В свою

очередь,

/о

•62< 1-Р) \ е - ^ р \ ( —

n 2 ( l - B )

2UynU'

LL4

\ 22((11--66)

і ' • 2

П р и p = l решение легко получается из (5.47):

ф'о	J0e-M	e-472c h yAlTj;
ф'о	Ui2nU	e-472c h yAlTj;
	Ui2nU
								(5.49)
Го=-	UynUAl		е - ^ з Ь У А Ї т ] .
Го=-	UynUAl
Вид	функции		ф о — — j — =иь и	, 2ЩтіУ			= Нуъ,	играющих
Вид	функции		ф о — — j — =иь и	ri/'o	Jo		= Нуъ,	играющих
					Jo
соответственно			роль возмущений	скорости		и	магнитного поля,
п о к а з а н на рис. 5.3 и 5.4.
И з рис. 5.3			видно, что э п ю р а	скоростей		с	ростом	отношения
магнитной и кинетической энергий у п л о щ а е т с я вплоть								до А1 = 1.

П р и	А 1 > 1 э п ю р а приобретает М - образный вид, а						расстояние
м е ж д у		пиками скорости увеличивается				с ростом А1 в	соответст-
					—	Л
вии	с	корнями		уравнения	th УА1 iq =	~уЩ (асимптотически при
больших			А1 оно	пропорционально УА1). Таким о б р а з о м , при
А1 = 1 мы			имеем	дело с у п о м и н а в ш и м с я в ы ш е явлением образо
вания двух струй				(следов)	в магнитном	поле.

подстановка x = e~zT,

(в— 1) л 2

П р и 6 > 1

z =

V K

приводит

(5.47)

к уравнению

(5.48)

с той л и ш ь разницей,

что вместо

п а р а м е т р а

^г—j

г- будет

фигурировать

п а р а м е т р

—

-г- +

, т а к что

2(1 — В)

2(6—1)

решением д л я ф'о станет в ы р а ж е н и е

СР°~

иуШ*

^ 2 ( р -

1 )

+ 2

' 2

Р е ш е н и е системы уравнений

второго

п р и б л и ж е н и я

(5.43)

найдем на частном

примере

6 = 1.

П о с л е

подстановки

(5.43)

решений (5.49) уравнения (5.43) примут ви д

<р"'і +

ТІФ"І + 2 Ф ' , - У2А1 Гг=Ае-^

;

(5.50)

f " 4. F 4-F

. A

Н е т р у д но получить три первых интеграла (5.50):

			Г] t
Ф'і+тіфі —V2 Al f ,=i 4		/	/	e-vdBdt,
		о	о
после	чего система	сводится		к одному уравнению д л я опреде
ления	fx-.

Г і + 2 т | П + ( 1 - А І + л2)Л=4 /л /t e~e2dQdt-

0 0

Последнее уравнение м о ж н о привести к уравнению с постоян ными коэффициентами подстановкой }і = ец'І2Ф(ц), а решение, удовлетворяющее условиям (5.45), записать в следующем виде:

Лт і

2У2А1	«•		/		o V
		•П		т	t
•е	J	е	J	J	e-*dMtd%\	=
	0		0	0
	Л	^ [ F , ( T i ) - F a ( T , ) ] .
	2У2 АГ

Соответственно

Описанный выше метод последовательных приближений яв ляется очень громоздким . П о э т о м у представляют интерес по

пытки расчета струйных МГД - течений		на базе		нелинейных у р а в
нений. Так, в работе [23] найдено	автомодельное решение полной
нелинейной з а д а ч и в безындукционном			приближении,		однако
его у д а л о с ь построить лишь	д л я	случая		скорости	спутного
потока, заданной в виде U=cx~'ls.	В	том	ж е	безындукционном

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ