Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

310 Гл. VIII. Дифференцирование функций

Теперь ясно, что если е—>-0, то 2fs{x),

монотонно возрастая,

стре

мится к интегралу

^(x) = 4

j '

1 — cos

2ях-112

dt,

|7] n

y - ^

c o

который зависит только от радиуса х

и представляет

собой

одно

родную функцию степени 2. Итак,

Sf(x)

= bn\x\*,

Ьп

''"^Д"'1 '2 dt.

Следовательно,

левая часть

равенства (31) равна bn J J х f\ f (х) J2 dx,

в то время как правая равна

а„4л2

J" | х |21 f (х)

|2dx.

Предложение,

таким образом, доказано, если положить ап~

Ьп/4п2.

Читателю следует сравнить это предложение с предложением 5

из § 3.5 гл. V .

5.3. Ясно, что достаточно доказать

теорему

при

дополнитель

ном предположении, что / обращается в нуль вне некоторого ог раниченного множества. Поэтому мы сделаем это предположение относительно /. Допустим далее, что f имеет производную в смыс ле L 2 в каждой точке множества Е. Тогда ввиду того, что это вле чет за собой существование гармонической производной в каждой

точке,	мы	можем, согласно теореме 2 §					2.2.,	разбить		функцию	/
на сумму / =			g	+ b, где g е	LT(Rn),	a	b =	0 на	F, где F <~ Е		и
мера	т(Е	— F)		мала. Ничего	не	изменится,		если	мы	предполо
жим,	что g	(а	значит, и Ь) также обращается					в нуль		вне некото

рого ограниченного множества. Поскольку функция g имеет огра

ниченный носитель, то g<^LT(Rn),

и поэтому

в силу

доказанного

выше предложения

| g ( x ° +

0 + g ^ - 0 - 2 g

( , ° ) P

t < o

( 3 2 )

R "

для

почти всех х° е

R™.

Далее,

функция

имеет

обычную производную в почти каж

дой

точке

из

(см. теорему

1); следовательно, функция b имеет

производную

в смысле

L 2 для

почти каждой точки из Е, а значит,

и для почти каждой точки из

F. Так как b обращается в нуль на

мы получаем,

согласно

неравенству

(17)

из

§ 3.2, что

f, (Х0

f \ 12

— — d t < оо для почти всех х° из F. Поскольку во вся-

§	5. Другая		характеризация	дифференцируемости	311
ком случае b е	L 2 ( R n ) ,		мы видим, что для этих х°
			Г 1 И * ° + 0 г * •dt < с о .		(33)
Если мы учтем		еще тот факт, что Ь(х°) = 0, и неравенство (32),
то получим утверждение 2) теоремы 6.
5.4. Перейдем теперь к доказательству обратной части					теоре
мы 6. Пусть и(х,у)=		Ру * f есть интеграл Пуассона для функции
f; оценим производную			-\|~г- Для этого нам понадобится		подхо
дящая оценка для		д я- .L	Так как
		ду2

дду2Р * = -S-£r<M*».

то достаточно заметить, что

д2	РУ(Х) <у-"-2Ъ(х/у),	Ч>()<Л( 1 +\|1) -П-3
дх)

Отметим еще, что

д2Ри

а также, и это играет решающую роль, что функция д^2 (х) за висит только от радиуса и, следовательно, четна относительно х. Принимая во нимание эти факты, получаем, что

	д2и	=4		l-^Py(.t)[f(x	+	t) +	f(x-t)-2f(x)]dt	(34)
	ду2	=4		l-^Py(.t)[f(x	+	t) +	f(x-t)-2f(x)]dt	(34)
и, следовательно,
д2и	^А'у—2			j\At\dt+A'y		{	- i ^ L =h(y)+h(y).	(35)
ду	^А'у—2			j\At\dt+A'y		{	- i ^ L =h(y)+h(y).	(35)
ду
	Здесь мы положили At =				f(x +	t) +	f{x — t) — 2f (x). Мы оценим
интеграл \| г/			д2и	dy с помощью аналогичных интегралов				от / j
интеграл \| г/			ду2	dy с помощью аналогичных интегралов				от / j
	о		ду2
	о		неравенству		Шварца,
и / 2 . Согласно			неравенству		Шварца,

, n + I ,

3 1 2 Гл. VIII. Дифференцирование функций

Поэтому

ОО оо

\t\<y

Аналогичные рассуждения проходят и для / 2 ; учитывая все эти оценки, находим

д2и

dy^B'

\f(x

f(x-t)-2f(x)

dt.

(36)

п+2

Ввиду

четности

функции

д2Р

мы

можем

равенство

(34) запи

сать

так:

д2и

т,

. д2м ,

—

т,

г/)

(* +

г/) +

- ^ r (*

I /

(* +

+ /

(х

2/ (*)] Л ,

(34')

где

произвольно.

Теперь,

если

| т | ^ г / ,

мы

можем

провести

д2

аналогичные оценки для -щ^- Ру

(t +

т)

получить,

что

(

т, у) + -^г(х-т,

у)\^А{11(у)

12(у)},

| т | < у .

(350

Поэтому с помощью тех же

рассуждений

мы

получаем вместо

(36)

следующее

неравенство:

д и

(х +

1 , у) +

(х — г,

у)2

yl~ndxdy

ду

^ ^ + / )

+ / / : + - ° - 2

/ ( - ) | 2 ^

(зб

Теперь

мы

можем

воспользоваться

теоремой

десимметризации

из

4.1

тех

точках,

для

которых

справедливо

условие 2)

из

теоремы

Здесь мы

полагаем

д2и

считаем,

U (х,

у) = -щг(х>

у)

что

U =

при

у >

Отсюда

следует,

что

для

почти

всех

то

чек х°

J J

\^(х°

* ) \ 2

yl-ndrdy<<*>,

(37)

\Х\<У,У<2

поэтому,

согласно

теории,

развитой

предыдущей

главе

(см.

2.5, в особенности

стр. 254), у производной

ди

существуют

не

ду

тангенциальные пределы для почти всех таких х°. Наконец, в силу

			§	6. Дальнейшие			результаты				313
§ 2.5 гл. V I I , функция				и имеет гармоническую производную							почти
во всех точках, где выполняется условие 2).
Далее, мы можем представить функцию / в виде суммы											g + b,
где geLr(R").		Согласно доказанному выше мы знаем, что инте
гральное	условие	выполняется				почти	всюду, и когда f заменено на
g. Таким	образом, оно выполняется в почти всех указанных										точках
и для функции Ъ\ кроме					того, Ь обращается				в нуль в этих		точках.
В результате мы получаем, что
f	1&(Х° + ?++ У°~0 \| г					* < "	,	* И	« О ,	x P S F ,	(38)
где F с	Е и мера m(E — F) мала.
Теперь мы вновь обращаемся к теореме десимметризации, по
ложив на этот раз			U (х, у) =			у~2Ь(х)	при у <\.			Тогда мы	имеем
		оо
		{	y\U(x°,		y)\2dy=*0,			x°&F,
и		о
и
	J j у*-"\		U (х° +		t,y)	+ U (*° -		/, у)	fdtdy	< о о ,
	\t\<y

что легко следует из (38). В результате мы получаем, что

I \п+2

/ | < 1

для почти всех точек л:0 из F, причем в этих точках, очевидно,

| Ь (х° + /) |2 dt = о (rn+2),

f-+Q;

\t\<r

это означает, в частности, что функция b имеет производную в смысле ZA Обратная часть теоремы тем самым доказана. Следст вие немедленно вытекает из теоремы и следствия, приведенного в § 4.2.3, стр. 307.

§ 6. Дальнейшие результаты

6.1. Большинство результатов этой главы имеет аналоги, для производных высших порядков. Соответствующие определения выглядят следующим образом.


Пусть k — целое	число,		k	1. Мы говорим, что	функция / имеет	обычную	про
изводную порядка	k в	точке		х°, если существует	такой многочлен	Рха от у	сте
пени, не превышающей		/г, что
	f(x°		+ y)-Px,iv)-o(\y\k),		у^О.

ПИ. Стейв

314

Гл.

V I I I .

Дифференцирование

функций

Аналогично скажем, что функция / имеет производную

порядка

в смысле

L q

если

Л"»

\f(x0+y)-PxC(y)\'ldy

o(hkq)

\y\<h

при А - > 0 . Наконец, если

мы

предположим,

что

функция

/ суммируема

в неко

торой

окрестности точки

х°,

положим

ее

равной

нулю

вне этой

окрестности,

то

мы

будем

говорить, что она

имеет

гармоническую

производную

порядка

точке

х°, если

все функции

— (х,

у)

имеют нетангенциальные

пре-

делы

точке

х°.

Д Х

J|a|<ft

Обобщением

теоремы

1 является

следующее

утверждение. Если

К р ^ о о

и f e L [

(R r a ), то функция f имеет обычную производную

порядка

для почти

всех точек из Яп

при p>n/k.

Если же

p<n/k,

то

функция f

имеет

производ

ную порядка k почти во всех точках

смысле

L 9

, где

\/q =

l/p — k/n.

Обобщением

теоремы

является

существование

разбиения

f =

g-\-b,

где

g ' e i "

( R r t ) , а функция b обращается

в нуль на множестве F, F cz

Е,

т(Е

— F) < е,

если известно,

что функция

имеет

производную

порядка k

гармоническом

смысле

во всех точках множества

Е.

Что

касается

обобщения

теоремы

3, то достаточно

предполагать,

что

для

любого

хй е Е существует такой полином

Рха(у)

от

степени,

не превышаю

щей k — 1, что

f(x°

+ y)-Px4y)

= 0(\y\k),

у^О.

Тогда функция f имеет обычную

производную порядка k

почти

для

любой точки

х° е= Е.

Условие 2) для ядра k(x),

которое

фигурирует

теореме 4,

следует

усилить,

требуя,

чтобы

\ЧГК(х)\<А/\х\п+г,

0 < г < / г ;

при таком изменении рассматриваемые сингулярные интегралы сохраняют также дифференцируемость порядка k в смысле L«.

Наконец, если f e L 2 ( R " ) ,	то	условие, характеризующее существование	про-
изводных порядка k в смысле	L 2 ,	— это конечность для почти всех точек,	о ко
торых идет речь, интеграла

M « + 2 *

Здесь f(x°+t)-Pxt(t)

Rx,{t)

A*, ( 0

= = « , . ( < ) + ( - ! ) * " ' « * . ( - О -

По по

воду изложенного выше см. работы:

Кальдерон и Зигмунд [7], Стейн

Зиг

мунд [1] и

Стейн

[8].

6.2. Результат

теоремы

остается

верным

для

р = 1,

но требуется

дру

гое

доказательство.

(Сравните

неравенством

из

§ 2.5

гл. V

и тождеством

(18)

в §

2.3 той

же главы.)

Дальнейшим

результатом является такая теорема. Если

{ —

функция

ограниченной

вариации

на R " в смысле Тонелли, то почти в ка

ждой точке

функция

имеет производную в смысле L«,

где

См. Кальдерон и Зигмунд [6].

Дальнейшие

результаты

315

6.3. Теореме

разбиения

(из

2.2)

можно придать

несколько

более

сильную

форму, если предположить

дифференцируемость

смысле L q .

Мы сформули

руем результат

для производных

порядка

1. Пусть

f e i « ( R " ) ,

1 ^

q, и для

каждой точки х"

е F,

где F — компактное множество,

h ~ n

I f (х° + у) -

f (х°) f

dy <

A h \

0 < / г < о о ,

\y\<h

где А не зависит от х°. Тогда f = g + b, где функция g непрерывно дифферен цируема, причем она и ее первые частные производные ограничены, и b = 0 на F. Более общую формулировку для случая старших производных и дальнейшие подробности см. в работе Кальдерона и Зигмунда [ 8 ] .

6.4. В связи с трудностями, относящимися к измеримости и					обсуждавшими
ся в § 3.1.1, по-видимому, будет интересно		сформулировать		следующую		теорему.
Пусть функция f измерима по Лебегу на		Тогда множество точек, где функ
ция / ч имеет обычную производную,	также	измеримо	по	Лебегу	(см.	Хаслам-
Джонс [1]).
Тот факт, что множество
lim sup	f(x +	h)-f(x)	< o o

измеримо по Лебегу, может быть доказан следующим образом. Для каждого целого k положим

{х:

\f(x

h) — f(x)\<Lk\h\

для. всех | h | < 1/6}.

Тогда

Е =

(JEft",

далее, поскольку

взяты

открытые

шары

\h\<

\jk, отсюда

сле

дует,

что

функция f

непрерывна, а, значит,

множество

з а м к н у т о 1 ) . '

6.5. Пусть k — нечетное

число. Мы

скажем,

что

функция

имеет

симметрич

ную

производную

порядка

смысле

точке

х°, если

существует

такой

по

лином

Рхо

(у) от у степени, не превышающей

что

h'n

{

\f(x°

y ) - f ( x (

) - y ) - P x

( y ) \ ' , d y

o(hk4)

[У\<Н

при у - > - 0 . При четном

мы

даем

такое

же

определение,

только

разность

f(x°

у) — /(х°

— у)

должна

быть

заменена

на

сумму

f(x°

+ y) + f ( * ° —

у).

ТЕОРЕМА. Пусть в

каждой

точке х" е

функция

имеет

симметричную

про

изводную

порядка

в смысле

Li. Тогда

для

почти

всех

х0.

из Е

функция

имеет производную

порядка

k в смысле

Li.

Для случая

п —

1, k =

1 и обычного

понятия

дифференцируемости

эта

тео

рема

восходит к Хинчину

[1]. Одномерный

вариант

этой

теоремы

см. у

М. Вейс[1].

Общий случай может быть получен с помощью методов настоящей главы. До

пустим, например, что k =		1. Обозначим		через	и	ийтеграл Пуассона		от	функ-
			ди	дРу				дР
ции / и рассмотрим производную			=	~g~	*	f'	Поскольку ядро	-д	не
четно, можно	написать
d U (х + х,у)	+ 4т-(*-1.У)-		\ -^rPy(t		+		^lf(x +	i)~f(x-t)]dtt
*) Этим рассуждением		я обязан	Федереру,

11*

316

Гл.

V I I I .

Дифференцирование

функций

из

наших

предположений

следует,

что

суммы

(х°

+ т

. У) +

(х° — х,

у)

существует

предел

при

| т | < # и #->0

для х° е

Е.

Тогда

л пп

ди

по теореме десимметризации из § 4.2.2

мы получаем,

что

производная

тангенциально ограничена в точке х" для почти всех

х° е

Е. Поэтому

функция f

имеет

гармоническую производную порядка 1 почти

всюду

в Е, и, согласно тео

реме

разбиения,

все

сводится

частному

случаю, когда /

обращается

нуль

на Е.

общем случае для четных k мы рассматриваем

дки

выражение — — ( х + х ,

у)

(х

— х, у),

в то время

как для нечетных

k берем

выражения

ду

дк

"(Х +

Т, у) +

U ( Х - Г ,

у ) ,

/ « = 1

П.

f c - l a

fe_, .

ду*

дх,

дуа

дх,

Затем

мы

применяем

результаты

гл. V I I для того,

чтобы

показать,

что

функ

ция

почти всюду в Е имеет гармоническую производную порядка fe, и сводим

все

частному случаю, когда / обращается в нуль

на

Е. Для этого частного

случая,

который

намного

легче,

годятся рассуждения

типа, использованных

см., например,

Стейн и Зигмунд [1],

лемма 4.

6.6. Пусть / имеет производную в смысле L ' почти

для любого х° е

Е. То

гда у функции / существуют первые частные

в смысле

почти для всех

х° е

Е.

Более

подробно,

если

Трг J |/(*°+»)-f(*°)-2ei*/f*У-оМ,

А ^ О ,

\y\<h

для

х° s

Е, то

1 j |f(*°+«^)-f(x°)-ai*/|*^-o(A')

			l	* /	l	< f t
для почти		всех	х° е		£ ,	где ej есть единичный вектор (0,			1, 0,	0).	Этот
й связанные с ним результаты см. в работах М. Вейс [2] и [3].
6.7.	Пусть		2 ^	q <		оо и f e L « ( R n ) .	Функция	f имеет	производную		первого
порядка	в смысле			1Я для почти всех х° s Е тогда				и только	тогда,	когда	выпол
няются	следующие два условия для почти всех х° е							Е:
п	Г	\f(x°	+	t)	+	f(x°-t)-2f(x°)\<i
'	J					m r t + '
2» J		f(xo	+	t)	+	f(x°-t)-2f(x<>)	P
2» J						l r P + 2	*

См. Стейн и Зигмунд [1], а также Виден [1], Нойгебауэр [1].

6.8. Следующий пример показывает, что теорема 4 из § 3.3 не может быть распространена на случай обычных производных (т. е. на случай q — со). Рас смотрим случай пространства R 1 ; пусть Т обозначает преобразование Гильберта.

				Замечания .							3 1 7
Рассмотрим сначала			функцию	Fv(x),	определенную			на R1	и	обладающую
следующими свойствами:			F0 (х) =	(\п \/\ х\)1~£		для		\|JC\| ^	*/2	( 0 < е < 1 ) ;
Fo(x)	обращается	в нуль	вне компактного		множества		и является			гладкой	вне
начала	координат;	кроме	того, F0	(х) ^ 0,	x e R ' .	Обозначим			через	F0(x)	пре

образование Гильберта функции F0. Нетрудно видеть, что функция Fo (после

надлежащего

изменения

на

множестве

меры

нуль)

абсолютно

непрерывна

на

R1 ,

причем

^ e i 1 ( R 1 ) ,

Запишем F

(х) =

2 _ * ^ о (х

+ rfe)>

где

г,, г2, ...

...,

гк, . . . — перенумерованные

рациональные

числа.

Тогда

функция F

Ц 2 ~ ^ о

+ г * ) '

являющаяся

преобразованием

Гильберта

функции

абсолютно

непрерывна,

причем

Таким

образом,

функция

- ^ - s Z J ( R ' ) .

имеет обычную производную

почти для

каждого

х,

в - то

время

как

функция

нигде не имеет обычной производной, будучи неограниченной в окрестности ка

ждой	точки.
В	качестве периодического аналога				функции		Fo	мы	можем	взять функцию
fo, для	которой
	. . .	V I	cos	пх	t	, ,	V 4	sin пх
	М * ) ~	2л	...	, е .	io(x)~		2л	~т,—^г-
Эти ряды рассмотрены		в книге Зигмунда			[8],	гл. V .
				Замечания
§	1. Понятие функции,		дифференцируемой в				данной		точке	в смысле £ р ,

впервые было изучено систематически Кальдероном и Зигмундом [7]. Утвержде ние б) теоремы 1 принадлежит им, утверждение же а ) , касающееся обычных производных, получено значительно раньше, см., например, Чезари [1]. Мы от

сылаем	читателя также к работе Федерера [1],	в которой рассмотрены многие
вопросы,	связанные с материалом этой главы.
§ 2.	Идея разбиения функций, связанного с	обычной дифференцируемостью,

в случае одной переменной появляется впервые у Марцинкевича [1]. Этот фунда ментальный технический аппарат был распространен на случай п. измерений

Кальдероном и Зигмундом [7];	изложение	вопроса,	данное здесь,	которое осно
вано на теории гармонических	функций,	имеет ряд	существенных	преимуществ

по сравнению с предшествующими методами. Оно принадлежит Зигмунду и ав

тору, о	нем вкратце говорится в обзоре автора [8].
§ 3.	Теорема	3 — знаменитая теорема Данжуа,	Радемахера	и	Степанова,
см. книгу Сакса		[2], гл. I X .
Доказательство, приведенное здесь, не является, конечно, стандартным, по
скольку	оно опирается на понятие гармонической производной. По			поводу		§ 3.2,
а также	вариантов теоремы 4 см. Кальдерон и Зигмунд [7].
§ 5.	Первоначальное доказательство теоремы 6		и следствия	из	нее	содер

жится в статье Стейн и Зигмунд [1], см. также Виден [1]. Рассуждения, прове

денные	здесь, также принадлежат Зигмунду и автору, они намечены в обзора
автора	[8].

ПР И Л О Ж Е Н И Я

А. Некоторые неравенства

Мы соберем здесь некоторые хорошо известные неравенства, которые систематически использовались в книге. Дальнейшие под робности можно найти в книге Зигмунда [8], гл. I , и в книге Харди, Литтлвуда и Полна [1].

АЛ. В неравенстве Минковского для интегралов утверждает ся в действительности, что норма от интеграла не превышает ин теграла от соответствующей нормы. В явном виде для случая про

странств	L P ,	оно принимает		следующий		вид. Пусть 1 ^		р <	со,
тогда
Здесь	F(x,y)	— измеримая		функция на сг-конечном произведе
нии пространств с мерой W X				°У> dx и dy — соответственно				меры
на а? и на <у.
А . 2 . Неравенство Юнга для сверток						таково: пусть	h =		f*g,
тогда			\\h\\q<\\f\\p\\g\\n.
			\\h\\q<\\f\\p\\g\\n.
где 1 < р ,	q, г < с о		и l/q= l/p+		Mr — 1.
Следует отметить два частных случая; первый, когда								г =	1,
тогда р — q; второй, когда г				есть	индекс,	сопряженный	к	р	(а
именно, 1/р +		Mr —	1), тогда	q =	о о . В последнем случае			можно

показать также, что функция h непрерывна.

А.З. Предлагаемое далее неравенство представляет собой об щее интегральное неравенство, имеющее широкое поле приложе ний.

Пусть (Tf)(x)=		оо		Здесь ядро К		предполагается
Пусть (Tf)(x)=		\|	К(х, y)f(y)dy.	Здесь ядро К		предполагается
		о
однородным	степени		— 1 , т. е. K(kx,	Ху) =	К~1К (х,	у) для	К >	0.
				оо
Кроме того,	предполагаем, что			J [ К(\,	у)\y~llpdy	=	<	оо.
			о

Тогда

НГ/1|р<Л*И/1|р.

		Б.	Интерполяционная теорема		Марцинкевича	319
Здесь		нормы	\| •	суть нормы в	пространстве	L p (О, о о ; dx),
1	р ^	о о .	)
					оо
	Для доказательства			мы записываем	(77) (х) = j К ( 1 . y)f (ух) dy
					о

иприменяем неравенство Минковского для интегралов. Интересный частный случай, интеграл Гильберта, возникает,

когда К(х, y) =

YTy'

А.4. Другим полезным случаем неравенства из § А.З является пара неравенств, принадлежащих Харди

/ оо	/	X	у	\ 1/р	' оо		\ 1/р
(J	[\f{y)dyj			x-r-4xJ	^[l(yf(y))py-r-4yj		,
/ оо		/ оо	\Р	\ 1/р	/	оо	у/р
[I		[jf(y)dy]		x'-4xj	<^[j	(yf(y))py'-ldyj	.

Здесь f > 0 , р > 1 и r > 0 .

Б.Интерполяционная теорема Марцинкевича

Б.1. Мы обобщим, здесь теорему, приведенную в § 4 гл. I .

Предположим,

что

р0 ,

p i , <7о,

<7i — данные

показатели,

причем

1 < : pi s^. <7i ^

о о , ро <

¥= q\. Обозначим

через

Т субад

дитивный

оператор,

заданный

на

пространстве

LPo(/?")

Lp'{Rn).

Напомним,

что

понимается

под

словами «оператор Т есть опера

тор слабого

типа (pi,

qi)».

Это

означает,

что

существует постоян

ная А{, такая, что для любой функции

/ e L p ' ( R " )

m [х: | 77 (х)

| >

а} <

^—^—)

для

всех

а >

Если

qi =

о о ,

то

это

означает,

что

| Г/1|

At || / || .

Т Е О Р Е М А . Пусть

оператор

Т одновременно

слабых

типов (р0,

q0)

и (р„ qt). Если 0 < 6 <

1 и 1/р =

( 1 -

e )

/ p

0 /

„

l/q =

(1 -

в)/</0 + в

то Т есть оператор

типа (р,

q),

именно

Tf \\q

А | | /

||р,

/ e , L p

( R " ) .

Здесб

Л =

Л (Л(

р/, <?ь 6), но никаким

другим

образом не

зависит

от Т

и /.

Из приводимого ниже доказательства легко видеть,

что

эта

теорема может быть обобщена в следующих направлениях: во-nept.

вых,

пространство

R™,

на

котором

определены

пространства

L P » ( R " ) , может

быть

заменено

общим

пространством

мерой

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3532 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ