Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

300 Гл. VIII. Дифференцирование функций

Интеграл		(17) оценивается					интегралом
					г		(6(х° + у))« .
					J		\ у 1	п + ч	аУ>
как это видно из доказательства								следствия.
В	каждой		точке		х°,	где выполняется ( 1 7 ) , мы,					очевидно,
имеем	также			j
			-рг	j	\b(x?	+	y)fdy	=	o№,	Г - J - O .	(18)
			\У\<г
Это	условие означает, что не только сама функция										обращается
в нуль	на	F,	но	и первые производные функции Ь в							смысле V
равны	нулю	почти		в каждой			точке множества			F.

3.3. Инвариантность относительно сингулярных интегральных преобразований. Далее мы рассмотрим локальные аналоги ут верждений, касающихся ограниченности сингулярных интегралов в L<?(Rn ). Мы покажем, что понятие поточечной производной в смысле Li устойчиво почти всюду относительно подходящих син гулярных интегральных преобразований.


Мы будем иметь дело со следующим					классом операторов.
Ядра	К{х)	этих операторов		удовлетворяют	условиям:
1 )	ядро	К есть функция		класса С1 вне начала координат;
2)	\К(х)\^А/\х\п,		\ VK\<A/\x\n+[,		хфО;
3)	если	Тг (/) =	\| К (у) f(x — у) dy, то для некоторого фикси-

рованного q
при f ^ L 9 ( R n ) ,		где Ад не зависит	от е. Мы	предполагаем	также,
что Tef сходится		по норме LP К пределу Tf при е —• 0.
В число	таких преобразований		входят преобразования с		ядром
К (х) —	, где	Q — однородная	функция	степени 0 класса С1

на единичной сфере, причем ее среднее значение на сфере равно нулю. Этот класс преобразований, конечно, включает в себя пре


образования		Рисса	и	высшие		преобразования		Рисса из		гл.	I I I .
Т Е О Р Е М А		4 . Пусть		1 <	q <	оо.	Предположим,		что f е		L ? ( R n )
имеет производную			в	смысле		Li в	каждой	точке	множества Е.
Если	Т — сингулярное			интегральное			преобразование			указанного
выше	типа, то функция Tf имеет производную							в смысле		Li	почти
в каждой точке множества					Е,

§ 3. Характериэация

дифференцируемое™

301

Естественно спросить, а не является ли и свойство иметь обыч ную производную также устойчивым относительно сингулярных интегральных операторов. Однако это не так даже для п = 1; см.

§6.8 ниже.

3.3.1.Доказательство. Отметим прежде всего, что если f обра щается в нуль в некоторой фиксированной окрестности заданной точки х°, то легко видеть, что функция Tf (после надлежащего из менения на множестве меры нуль) имеет обычную производную в каждой точке этой окрестности и в частности в точке л:0. Это заме чание показывает, что вопрос о том, дифференцируема ли функ ция Tf в точке х°, зависит только от поведения функции f вблизи точки х°. Поэтому мы можем предположить, что множество Е ог

раничено. Используя теорему разбиения, запишем f = g -f- b, где

g e L i ° ( R " ) ,	b — 0	на F,	F с E, мера m(E	— F)	мала.	Легко ви
деть, что мы	можем	так	изменить функции	gab,	что	g будет

иметь компактный носитель, а остальные указанные выше свойст ва сохранятся. Таким образом, функция g, кроме всего прочего,

принадлежит Lq(Rn).

Так

как

Т — ограниченный

оператор в L i ,

то

функция T(g) принадлежит

L?(Rr a ).

Действительно,

ответ

на

вопрос о том, принадлежит ли

заданная функция из Li простран

ству Lu

полностью

определяется /,9 -модулем непрерывности этой

функции

(см. стр. 163), он

же,

очевидно,

инвариантен

относитель

но 7", поскольку оператор Т ограничен в L« и инвариантен относи

тельно сдвига.

Теперь, зная, что

Т (g)

e L ^ R " ) ,

мы

получаем

по

теореме

этой главы, что функция T(g)

имеет почти в каждой точке из

R n

производную

в смысле L i . Следовательно,

достаточно рассмотреть

функцию

Т(Ь)

и показать,

что

она имеет

производную

смысле

почти

в каждой

точке

множества

F. Мы покажем,

что это,

во

всяком случае, так в каждой точке, в которой выполнены сле дующие два условия:

г п	\| \b(x° + y)fdy	= o(r%	г - * 0 ,
г п	\У\<г
	\У\<г		(19)
			(19)

Мы знаем из	рассуждений § 3.2,		что (19) справедливо почти
в каждой точке	х° из F.	Заметим, что поскольку		fteL^R"),	то
из конечности интеграла		(19) следует,	что
					(20)

302 Гл. VIII. Дифференцирование функций

Для простоты

положим

х° =

0. Зафиксируем

на время

поло

жительное

число

г. Тогда

(ТЪ)(х)

K{x-y)b{y)dy

K(x-y)b(y)dy

\x-y\^2r

lim

K(x-y)b(y)dy

= Ilr(x)

I2r(x).

p. -»n

•>

Интеграл,

определяющий

l\ (х),

сходится

абсолютно,

предел

существует

смысле

по предположению; кроме того, I2- —

— (Г — T2r)(b).

Посмотрим

более внимательно на предел l\. Если

мы

ограничимся

теми

х,

которые

удовлетворяют

неравенству

| х

то тогда

подынтегральное выражение в fr

включает только

те у, для которых |г/|^3г. Таким образом, можно

изменить

функцию

b (у),

именно

взять

вместо нее функцию

b (у)

хзг

(у),

где Хзг есть характеристическая функция шара |г/|^3г .

Сле

довательно,

< 11 (Т -

1 1 \ (х) \qdx

T2r) (bxsr)

f d

x < A q j

(у) Ъ г

(у)

f dy

U K

\b{y)fdy*=o{r*+<f).

\У\<Зг

Здесь мы воспользовались равномерной ограниченностью опера торов Те в норме пространства L q (R") и первым из свойств (19) при Xй — 0. Итак, нам удалось доказать, что

		J* \l2r{x)\4			dx = o(jn+q),			r-+0.	(21)
		1*\|<г
Для	исследования			интеграла			l\ воспользуемся разложением
Тейлора для ядра			К,	записанным в виде
	К(х-у)	=	К(-у)		+	(х, V * ( - у)) +		е(г)\х	\|/\| у Г 1 .
Здесь	\|лг\|"^г,	\х — у\^г			и	г (г)	стремится к		нулю при г - > 0 .

Подставляя эту формулу в интеграл, определяющий l\, получим

l\(x)=	J*	K(-y)b(y)dy+		j "	(x,4K(-y))b(y)dy	+
	\x-y\>2r			\x-y\>2r
			\Hv)\
		\x-y[>2r	\У\
		\x-y[>2r	"
Первый	интеграл равен
	j	K(-y)b(y)dy	+ o(	j	]J\$-dy

\ U K 3 r

§ 4. Принцип

десимметризации

303

То, что J К (— у) Ъ (у) dy сходится абсолютно, следует из первого

из неравенств (20) с х° = 0. Кроме того, из (19) легко следует, что

J ^ f d y = o(r),

r - * 0 .

Второй интеграл в (22) рассматривается таким же образом. Он равен

1=1 R N 1

при г—>0, причем написанные здесь интегралы сходятся в силу

второго	из неравенств	(20). Собирая всё			вместе,	получаем, что
		п
	Ilr(x) = A0	+ 2 } M /		+ ° ( I * D .		(23)
где
А , = I	K(-y)b(y)dy,	А,=	[	д К { ~ у )	b{y)dy,	у = 1 , . . . , « .
R "			ё	1

Учитывая теперь (21), мы видим, что из (23) вытекает искомый результат.

§ 4. Принцип десимметризации

Мы рассмотрим сначала идею десимметризации в весьма об щей, но трудной для понимания форме. В дальнейшем мы сделаем различные замечания и дадим несколько примеров, которые по

могут уяснить ее смысл.

4.1. Общая теорема. Мы будем иметь дело с функцией

(х,у),

(х, i / ) e R " X R + =

R + + ' ;

функция V

будет

измеримой

( n - f - 1 ) -

мерном верхнем полупространстве, причем для простоты

(посколь

ку нас интересует

поведение

вблизи

мы

будем

считать,

что функция

U обращается в нуль при у ^

h для

некоторого

фик

сированного

h >

0, и что она суммируема в квадрате

на

каж

дом ограниченном

подмножестве

полупространства

R + + 1 ,

отстоя

щем на положительном расстоянии от границы

Rn .

Т Е О Р Е М А

Предположим,

что дано

множество

Е cz R"

и что

для любого

х° е

выполняются

следующие

два

условия:

оо

y\U(x\

y)fdy

<оо

(24)

j "

U [хР - М ,

y) +

U (х° -

у) fdt

оо.

(25)

304	Гл.	V I I I .	Дифференцирование	функций
Тогда	можно утверждать,		что почти для всех		х° е	Е
	\ {	г/1 -"! U (х? + t, у) fdtdy		<	со .	(26)
	\t\<v

На основании обычных рассуждений мы можем предполагать (переходя от Е к его подмножеству), что Е представляет из себя компактное множество F и что интегралы (24) и (25) равномерно ограничены, когда х° пробегает F. Тогда достаточно будет дока зать, что (26) выполняется для почти всех х0 из F. Итак мы пред полагаем, что

оо

			{	y\U(x°,	y)?dy<M,				*°e=-F,		(24')
и			о
и
j j	yl-"\U(x°		+	t,'y) +	U(x°-t,			y)?dtdy*^M,		x°^F.	(25')
\t\<y
Проинтегрируем			неравенство			(25')		no	F и сделаем замену		пере
менных	х° +	t =	и	и х° — t =		v.	Это	дает
	JJ*	dudv		j	I С/(и,		y) +		U(v,	y)fyi-«dy<oo.
(a+c)/2sf				\u-v\<2y

Если мы уменьшим область интегрирования, считая, что v лежит в F, то тем более

{{	dudv	J*	\U(u, y) + U(v, y)?yx-ndy<oo.	(26)
( B + o W e f , U E F		\u-v\<2y

Проинтегрируем, далее, неравенство (24') по переменной х° по F; при этом нам будет удобно изменить обозначения и писать v вместо х°. Это дает

со

	J	J \ U(v,	y)fydydv<°o.		(27)
	» 6 F	0
Положим теперь
/ =	J {	dudv	j	\U(v,	y)fyl-"dy,
	(u+v)/2(=F,	o e f	\u-v\<3y		.
3f =	j j	dudv	j	\U (и, y)f	y[~ndy.

( » + j ) / 2 e f , s e f

\u-v\<2y

§ 4. Принцип десимметризации 305

Мы можем оценить интеграл / сверху,

отбрасывая

предположе

ние о

том, что

(« + » ) / 2 e F .

Тогда

I ^ j

I U(v,

\2y1-ndy

—

t e f

\u-v\<2y

W{v, у)?I

duXdvy^dy.

[ I u-v \<2y

Так как интеграл в скобках равен суп,

то / <

со

в силу

(27). Зна

чит, согласно (26)

и У <

с о .

Ясно, что интеграл 5^ может быть переписан

как

двойной

ин

теграл:

I U (и,

у)

|2 а (и, у) у1-»

du dy,

(29)

где

о (и,

#) =

do.

(u+!i)/2ef,

cs=F

|ы-»|<2</

Для

фиксированных

« G E R"

через

о(и,у)

обозначена

мера

множества

точек

из

лежащих

в шаре

с центром

ра

диуса

2у

и удовлетворяющих

ограничениям ti е F

( « + у ) / 2 е / \

Решающий пункт доказательства будет заключаться в том,

чтобы

показать,

что

если

ы° есть

точка

плотности

множества

то

о (и, у)

т(В(и,2у))=

С\уп,

когда

переменная

точка

(и, у)

не

тангенциально стремится

к (и0 , 0).

•

Для

простоты

записи

предположим,

что

и0

есть

точка

плотности множества F. В этой точке и° нетангенциальное при

ближение означает

приближение

при

ограничении

|«|</у.

Пусть

X есть характеристическая функция множества F, а

% — \ — % — •

характеристическая

функция

дополнительного

множества. Тогда

о {и,

у)=

%{v)%({u+

v)/2)dv=

dv-

%(v)dv-

)u-v\<2y

\u-v)<2y

\u-v\<2y

%((u +

v)/2)dv+

l{v)l({u-\-v)l2)dudv.

\u-v)<2y

Второй интеграл в правой части этого равенства, конечно, равен т(В(и, 2у)) — Ciyn; таким образом, достаточно показать, что по следние три интеграла суть каждый о(уп). Напомним, что \и\^ <С у. Второй интеграл оценивается интегралом

{

%(v)dv = m(cFf]B(0,

Зу)),

306 Гл. Vltl. Дифференцирование функций

который

представляет

собой

о(уп),

так

как

есть

точка

плотности

множества

Третий

интеграл

может

быть

пере

писан

как

X (х) dx;

этот

интеграл оценивается

интегралом

|и-х\<у

х (x)dx

и, таким

образом,

есть о(уп).

Четвертый

интеграл,

)х\<2у

^конечно,

оценивается

вторым

интегралом

поэтому

также

есть

о{уп). Итак,

сг(«, у)

с\уп + о(уп)

при у - > 0,

если \и\<у,

и ут

верждение в(и,у)~

Ciyn

доказано.

Отсюда следует, что существует такое замкнутое

подмно

жество

множества

что

мера

m(F — F0)

произвольно

мала

и а (и,

у) ^ с2уп,

если

\и — и°\<

0 <

у <

для

подходящих

положительных постоянных с2 и с3 . Теперь положим 52 =

(

J Г 1 3 (ы°),

где Г?3 (ы°) есть усеченный конус, определяемый равенством

Tf3

(«з)=

= (и, у):

\ и — и0\ <

у,

0 <

у <

с3}.

Конечность

интеграла (29)

и то,

что мы

доказали

функции а,

показывают, что

интеграл

\[\U{u,y)

fdydu

также

конечен.

Далее, согласно очень простому рассуждению, которое мы уже

использовали

в гл. V I

(см. стр. 208*),

из

конечности

последнего

интеграла

следует конечность почти

для всех

ы° е

интеграла

I U (и,

y ) f y ' - n

d u d y =

\ \

\U(u°

y)fy*-*dtdy.

\и-и°[<у

\t\<y

У<С,

У<сг

Весь

интеграл

J j "

]U(u°-}-t,

у) f

г/1 - " dt dy

сходится

тогда в

I М<»

силу предположения о локальной квадратичной суммируемости функции U. Так как множество F0 отличалось от F на подмноже ство произвольно малой меры, то доказательство теоремы пол ностью завершено.

4.2. Замечания. 4.2.1. Первый ряд замечаний носит характер не больших добавлений. С помощью обычных рассуждений (или при более внимательном рассмотрении приведенного доказательства) можно показать, что предположение (25) может быть заменено более слабым предположением:

J J y*-"\U

(х° + t, y) + U (x° - t, y) fdtdy

< oo,

\t\<ay

§ 4. Принцип

десимметризации

30?

где постоянная а, определяющая раствор конуса, вообще говоря, зависит от точки х°. Можно также доказать следующее утвержде ние (только по виду более сильное);


	J j	yl-"\U(x°-r-t,				y)?dtdy<«>
\t\<&v
для любого В и для х°,			пробегающих		почти всё множество В.
Существуют	также		простые	(и легко		получаемые)		варианты
теоремы, когда	сумма		U (х° + t,	у) +	U (х°— t, у) заменяется дру
гими комбинациями, например разностью U (х° -\-t, у) — U (x°—t,									у);
кроме того, квадрат,		фигурирующий			в формулах		(24), (25) и (26),
может быть заменен на у \ U (х°, у) \", yl~n \| U (x°-{-t,							у) +[/	(x°—t,	у) f
и z/I _ "\| U (х° - f t,	у) f	соответственно,			где	р < о о .	Вариант, соот
ветствующий р = оо, будет ниже				рассмотрен отдельно.

4.2.2.Предположим, что для любого х° из множества Е

sup\U(x°,	у)\<оо,	sup \| £/(*» + /, y) + U(x°-t,	у)\<оо.
у>о	\t\<y
Тогда почти	для любого	х° из Е sup \| U (х° + t, у) \	также коне-
		\t\<y

чен. Доказательство этого утверждения похоже на доказательство теоремы 5, причем с идейной точки зрения оно даже легче. Чита телю не доставит труда провести в подробностях это доказатель ство. В одном месте здесь могут появиться неизмеримые множе ства; оно рассматривается так же, как и в § 3.1.1.

4.2.3. У утверждения § 4.2.2 есть следствие, о котором стоит поговорить отдельно. Пусть функция / определена в окрестности точки х°. Рассмотрим важное условие:

f(x°-x-t)

+ f(x°-t)-2f(xO)

= 0(\t\),

t-*0.

(30)

Это условие, конечно, выполняется, если функция f имеет обычную производную в точке х°, но обратное неверно. Более того, можно показать, что существуют функции /, которые удовлетворяют усло вию (30) равномерно по всем х°, но которые не имеют производ ной ни в одной точке х°.

Оказывается, что хотя из самого по себе условия (30) не сле дует дифференцируемость, оно играет роль «тауберова условия», позволяющего переходить от одного вида дифференцируемости к другому. Мы формулируем один такой результат.

С Л Е Д С Т В И Е . Пусть функция			f имеет	производную		в гармониче
ском смысле в каждой		точке х° данного		множества	Е. (Это будет,
например,	выполняться,	если	f дифференцируема		в	смысле Li в
каждой	точке множества		х°&Е.)	Предположим		также, что

308	Гл. VIII. Дифференцирование		функций
условие	(30) выполнено	для любого х° е Е.	Тогда функция f имеет
обычную	производную	почти для всех х° е	Е.

Доказательство представляет собой простое приложение уже полученных результатов. Согласно теореме разбиения § 2.2, мы мо жем записать / = g + b, где функция g дифференцируема почти всюду в обычном смысле, а функция b обращается в нуль на множестве F, таком, что F cr Е и мера m(E — F) мала. Будет достаточно показать, что функция b имеет обычную производную

почти всюду на F. Так

как

функция

дифференцируема

почти

всюду, то она удовлетворяет почти всюду

условию (30), и

значит,

функция b также удовлетворяет условию

(30)

почти

каждой

точке множества F. Решающим моментом является то, что функ

ция b обращается в нуль на F. Ввиду

этого условие

(30)

прини

мает

вид

b(xu

+ t) +

b{x*-t)

= 0{\t\),

t^0.

Положим

теперь

U (х,

у) =

. Так

как

функция b

обращается

в нуль на

F, то

sup|c7(x°, у) | =

у>о

для

почти

всех z ' e F

sup \ U(x°

y) +

U(x°-t,

у)\<оо

\t\<y

для

почти

всех

^ e f .

силу

утверждения §

4.2.2

мы

делаем

вывод,

что

sup

\U(x*

t,y)\<

со,

или

\t\=y

\b(x°

t)\

sup

оо,

\ , ,

b(x*

t) =

0{\t\),

t->0,

снова

для

почти

всех

Теорема

3 из § 3.3

позволяет

теперь

сделать вывод, что функция b имеет обычную производную почти всюду на F.

§ 5. Другая характеризация					дифференцируемости
5.1. Мы	намереваемся			доказать	следующую		теорему.
Т Е О Р Е М А	6.	Пусть	f e L 2	( R n ) . Тогда		для почти всех « ° e R n
следующие	два	условия	эквивалентны:
1) / имеет производную				в смысле	L 2	в точке	х°;

+ 0 + / ( х ° - 1 ) - 2 / ( * ° ) | 2 d t

5. Другая

характеризация

дифференцируемости

309

Из

этой

теоремы

вытекает

такое

следствие.

С Л Е Д С Т В И Е .

Пусть

функция

задана

в открытой окрестности

множества Е.

Функция

f имеет обычную

производную

почти для

всех х° е

тогда и только

тогда,

когда

следующие

два условия

выполняются

почти для

всех

х° е

Е:

а)

f(x°

t) + f(x°-t)-2f(x°)

0(\t\),

* - » 0 ;

б)

U(X° + t) +

f ( x > - + t ) - 2 f m d t < o Q г д е 6 _ д о с т а т о ц _

но малое

положительное

число

(зависящее

от х°).

5.2. Нам понадобится установить следующий факт, который можно рассматривать как „глобальный" аналог нашей теоремы (понятия глобального и локального обсуждались во введении к настоящей главе).

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е .

Пусть fe=lA{Rn).

Тогда

2 dx.

(31)

R N

R B

' '

R N

/-1

Доказательство

лучше

всего

провести

помощью преобразо

вания

Фурье. Итак, положим

f (у) =

/ (х)

е2л1х-У

dx,

f(x)=

J" f

(у)

е-2*1х-У

dy;

R "

интегралы

понимаются

смысле

ZA По теореме

Планшереля и

согласно свойствам Соболевских

пространств

L i ( R n )

dx = №

l\Xif\Hx)?dx

j I f (x + 1 ) + f (x -

t) -

2f (x) |2 dx =

4 J

I f (*)

| 2 | 1 -

cos2nx • t

fdx.

R N

R "

Следовательно,

j\f(X

t) +

f(X-t)-2f(X)

p r f * _ £ _ = =

j * I f (*) f ^ e (*) dx,

\t l>"

R N

где

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ