Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

290 Гл. УПГ Дифференцирование функций

значит,		тому,	что \ у \п +		локально		принадлежит		простран
ству U(Rn).		Поскольку,		далее,		в этом	интеграле	\ х —	у1^3\х\,
мы	имеем
	Ая<(	j	\g(y)\"dyf[			j	l y t ^	' d y ]	* -
		\ U K 2 U I		/		\ \| 0 \| < 3 \| * \|		/
	=	o{\x\nlp)x{C\xtn+i-n+l)r)lr}				=
	=	0(\Х\).
В	итоге		Ах =	о(\х\),		\х\-+0.			(9)
			Ах =	о(\х\),		\х\-+0.			(9)

1.2.3. Оценка интеграла Ах при 1 < р < п. Для любого h > 0 обозначим через %h{y) характеристическую функцию шара | у \ ^п. Тогда, предполагая, что |х|^/г, имеем

АА	=	Г	g (У)	И	„	^		С 1е(у)\ %2п (у)	И „
АА	=	J .	. \ x - y \ » - i					U - г / Г - 1	а у -
		J .	. \ x - y \ » - i		a y	I	\х	U - г / Г - 1	а у -
		1\у\<2\х\	' "			I	\х

Следовательно, по /Лтеореме о дробном интегрировании из § 1.2 гл. V получаем

	II lhAx	\\q <	А \|\| g%2h Ир,	l/q =	MP -	l/n.
Значит,	согласно свойству (6'),
J"	\Axfdx*ZA<(		J" \g{y)\pdyT		=o{hnq,p)	=	o(hn+q).
UI<A		\ Ы < 2 А		/
Поэтому
	[j*	j	\Axfdx\lq	= o(h),	A - * 0 .		(10)

1.2.4.Оценка интеграла Bx. Так как

\у\<2\х\ m

то мы имеем согласно (6')

/=-1

Таким образом,

В, = о(|>;|) S 2-''

/=-1

и, следовательно,

В * « = о ( | * | ) , | х | - » 0 .

(П)

§ 2. Разбиение

функций

291

Из сопоставления соотношений (8) —(11) видно, что

			f(x)-f{0)-S<x/*/		= o(\|*\|)
при	п < р и
		(h~n	\	/ W - / ( 0 ) - J O , J C ;		dx j = о (/г)
		V	U K *	/=i		dx j = о (/г)
при	1	<р<п.
Тем		самым	теорема доказана.

/.2.5. Теорема справедлива также и в случае р = 1, хотя до казательство для этого случая должно быть видоизменено. Это и другие обобщения сформулированы ниже в § 6.

	§ 2. Разбиение функций
2.1. Производные	в гармоническом смысле. Мы приступаем
теперь к изложению	одного из основных используемых приемов —
разбиения функции	на ее «хорошую»	и «плохую»	части. Мы бу
дем существенным	образом опираться	на теорию	гармонических

функций, поэтому важно будет уметь строить такое разбиение в соответствии с понятием дифференцируемости, вытекающим из этой теории. Определение дифференцируемости, которое мы имеем

в виду, является

в действительности еще более

общим,

чем опре

деления,

данные

в §

1. Оно описывается

следующим

образом.

Пусть

f — локально

суммируемая

функция,

определенная на

открытом

множестве

Q. Для фиксированного Хо ^ Q мы изменим

функцию f вне ограниченного открытого множества,

содержащего

точку х°,

положив ее там равной нулю. Для получившейся функ

ции

/принадлежащей

теперь L ' ( R n ) ) рассмотрим ее интеграл Пуас

сона

и(х,у)=

Py*f.

Мы скажем, что функция /

имеет

гармониче

скую

производную

в точке х°, если у функции и и

<-§~> • •

существуют

нетангенциальные

пределы

в точке х°. В этом случае

мы полагаем

по определению

f(x°) =

lim

и(х,

у),

-зт-(*°)-=

lim

4j-{x, у),

(х, 2/)->(x<>, 0)

"х/

(х, jrt-»(x", 0) " * /

где

переменная

точка (х, у) стремится

(х°, 0)

нетангенциально.

Необходимо сделать следующие пояснения к этому определе

нию.

1) Понятие гармонической

производной определено

корректно

в том смысле, что оно не зависит от того

обстоятельства, что мы

изменили функцию / вне некоторой окрестности точки х°. В част ности, легко проверить, что если f принадлежит L ^ R " ) и

7*10*

292		Гл. VIII,	Дифференцирование		функций
обращается		в нуль в некоторой окрестности точки х°, то-у					функции
и и всех ее частных производных				по Xj	нетангенциальные		пределы
в точке х° равны нулю.
2)	Если	функция f имеет в точке х°			производную в		обычном
смысле или более общо			в смысле	Li (как это		определено	форму
лой	(3)) ,	то функция	f имеет	производную		в гармоническом

смысле, причем значения этих производных в точке х° совпадают. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно предположить, что

функция f имеет

производную

в смысле L 1 . При

соответствующем

выборе

постоянных Л о, ось . . . ,

ап

мы

имеем тогда, что

если

f(x°

+ y) =

A0+

J j a / ^ +

e Q / ) ,

то

\*(y)\dy=:o(r*+i),

r - > 0 .

U K

Заметим, что отсюда сразу же следует, что если мы положим

f(x°) равным Л0 , то х°

будет

точкой Лебега

для

функции /, и, сле

довательно, по теореме

гл. V I I

(см. стр.

237)

отсюда

вытекает,

что нетангенциальный предел функции и в точке х°

равен Л0 .

Далее,

-Ц2-(х,у)=

P[{t)f{x-t)dt,

где

Р'у®°=щРу®,

/ =

1 ,

Таким

образом,

^(x°

+ h,

у)=

Py(t

h)f(x«-t)dt

\py{t

h)Adt

^\p[{t

+ h)aktkdt

ft=i

Р'у (t + h) e (t)

dt.

Первое слагаемое равняется нулю, а второе (сумма) равняется а,-.. В этом легко убедиться, перебрасывая производную -щ с Ру (t)

на Л или на 2 « А соответственно. Остается, таким образом, только последнее слагаемое; для него рассмотрим h, удовлетво ряющие неравенству \h\<. ау для некоторого а (условие нетан-

§ 2. Разбиение функций 293

генциальности), и перепишем				интеграл так:
J	P'g(t	+ h)t(t)dt +	j		Ply{t	+ h)t{t)dt		+
\t\<y		\>\t\>v
						+	j*	P'y(t +	h)e{t)dt.	(iU)
	Так как						\t\>\
	Так как					су
		Py{t)	=			су
		Py{t)	=	( \| M 2 +		J / 2 ) ( n + l ) / 2		•
			дРу		(и - h)
то	ясно,	что производные			^ U		оцениваются		при	\h\<Zay

следующими двумя выражениями: во-первых, су~п~х и, во-вторых, cy/\t\n+z. Мы внесем первую оценку для Pj в первый интеграл и получим, что он ограничен с точностью до постоянного множителя

выражением у~п~х J \e,(t)\dt, которое стремится к нулю при у,

стремящемся к нулю. Аналогично второй интеграл ограничен с точностью до постоянного множителя выражением

где сумма берется по всем неотрицательным целым k, таким, что

2k+1y ^ 2 . В силу условий на е мы получаем, что каждое	слагае
мое этой суммы представляет собой	=
H 2 ^ r - 2 o ( ( 2 f t + V ) n + 1 )	=

и поэтому рассматриваемый интеграл стремится к нулю при у, стремящемся к нулю. Третий интеграл, очевидно, стремится к нулю при у - > 0, поскольку e(t) есть сумма слагаемых, которые ограничены функцией c\t\ и функцией из Ll(Rn). Тем самым наше утверждение доказано.

3) Наше последнее замечание о понятии гармонической произ* водной таково. В нашем определении ничего не требуется от пове


дения производной		-jjju(x,	у).	На самом деле			существование не*
тангенциального	предела		производной		в	заданной		точке х° не
является следствием		обычной		дифференцируемости				в	точке	х°.
Если же имеется	дифференцируемость				(обычная в смысле Li или
гармоническая)	на	множестве		точек	х° положительной				меры,	то
можно вывести,	что почти		для	всех	таких	х°	нетангенциальный

предел существует. Вскоре мы вернемся к этому более глубокому факту.

10 И1. Стейн

294		Г л.	VIII.	Дифференцирование			функций
2.2. Разбиение. Наша				теорема		имеет	следующий		вид.
Т Е О Р Е М А 2.		Пусть	f — заданная			локально		суммируемая		функ
ция,	и пусть в каждой точке х° множества						Е	конечной	меры	функ
ция	f имеет производную			в гармоническом			смысле. Тогда для лю
бого	заданного	е >	О можно		указать такое компактное множество
F, что F cz Е,		m(E — F) < ; е			и функция f		может быть		представле
на в виде суммы f =			g +	b,	где

1)g^LTir);

2)b обращается в нуль на F.

Заметим, что g — это «хорошая» функция. В силу теоремы 1 она имеет обычную производную почти всюду. (По своему опре делению она также имеет существенно ограниченные первые част ные производные на R", понимаемые в слабом смысле.) Хотя b является «плохой» функцией, у нее есть свои достоинства: она об ращается в нуль на множестве F.

Далее мы дадим доказательство теоремы 2. Переходя, если не обходимо, к ограниченному подмножеству множества Е (для прос


тоты обозначим это подмножество снова		через Е), мы		можем		счи
тать, что функция f обращается в нуль		вне некоторой		окрестности
этого множества;	таким образом, f e L ^ R " ) .		Пусть	и(х,у)		есть
интеграл Пуассона функции /; тогда в		соответствии		с	нашими
предположениями	производные	-Jj-	имеют		нетанген

циальные пределы в каждой точке множества Е. В силу теоремы 5 из гл. V I I , стр. 254, отсюда следует, что производная имеет нетангенциальные пределы почти для всех х°, принадлежащих Е..

Функция и, как мы уже	видели, также		имеет нетангенциальные
пределы почти для всех х° из Е (в частности, в точках					Лебега
функции / ) . Зафиксируем	параметры а и h и рассмотрим				усечен
ные конусы Та{х°) = {(х,	у):	\ х — х° \ <	ау,	О < у < К).	Тогда в
силу того, что было сказано, и в силу леммы				об униформизации из
§ 1.3.1 гл. V I I (стр. 242)	мы	можем сделать		вывод, что	сущест
вует компактное множество		F, обладающее		следующими	свойст-

вами:	I -	г-	/ 1 -	f \ ^	J .
вами:	FcE,		m(E	— F)<	г, функции и,

равномерно ограничены на множестве Я=

ди	и	ди	ди
-щ-	и		-j^

( J Га (я0 ). Мы можем


предположить,		что	функция		и имеет нетангенциальный предел,
равный f(x°) в каждой точке х° е F. Далее,							вместо	усеченных	ко
нусов	Га ( / )	рассмотрим		бесконечные		конусы Г а ( * ° ) = { ( х ,			у):
\| х — х° \| < ау).		Так	как и	есть интеграл		Пуассона		от функции из
г.	отсюда	следует также,			.		ди	ди	ди
L \ то					что функции		и, -щ-,		-^г~

равномерно ограничены в полупространстве у "^п, и таким обра-

§ 3. Характеризация дифференцируемости 295

зом, кроме того, что они ограничены на Я, можно утверждать, что

они ограничены

и на Ш =

( J Г„ (л:0).

х»е=

Рассмотрим

более

внимательно множество

М; Ж есть

откры

тое

множество

в R R A +

1 , границей которого является гиперповерх

ность у =

а -

1 б

(х),

где

б (х) =

dist (л:,

/*) — расстояние

от

до

Поскольку 6 (х),

очевидно, удовлетворяет условию [ б (х) — б (л:1) |^

=*С|л: — хх

|, мы видим,

что

Ш есть специальная

липшицева

область

в терминологии

3.2

гл. V I . Следовательно,

можно применить

теорему

продолжения

из § 3.2 к сужению функции и на Ш. Более

явно, пусть U (х, у) обозначает сужение

функции

и на

Ш. Тогда,

конечно,

U — функция

класса

С°°

на

Ш, и

сама

функция

U и ее

первые

частные

производные

ограничены

на Я;

таким

образом,

U е

LT'($).

Пусть

©(£/)

есть

продолжение функции U на все R " + 1 .

Мы

имеем тогда,

L i ° ( R " + 1

) .

Наконец

обозначим

через g

след

функции

на R " .

Так

как

след

функции

из

L r ( R " + 1 )

принадлежит

L I ° ( R " )

( Э Т О есть немедленное

следствие §

6.2, а)

из

гл. V),

то

мы

видим,

что

g<=L?(Rn).

Функция

имеет

нетангенциальный

предел,

равный

f{x°),

каждой точке вида (л:0, 0) из

R ™ + 1 , где

л;0

поэтому

то

же

са

мое

можно сказать

о функции U. Так как отображение

©( £ /)

непрерывно,

то

отсюда

следует, что © (U)

(х°,

0) =

f(x°)

для лю

бого

х° е

Значит, то

же самое

верно

и для

функции

следа,

функции

на

{(х,

0)},

т. е. g{x°)

f(x°)

для

любого

зультат.

Полагая

b(x)=f(x)—g{x),

мы

получим

искомый

ре

§3. Характеризация дифференцируемости

3.1.Ограниченность разностного отношения. В качестве пер вого применения этих методов будет доказана теорема, дающая характеризацию дифференцируемости почти всюду.

Читатель не должен пройти мимо удивительной аналогии меж ду формулируемой ниже теоремой" и локальным вариантом тео

ремы Фату (теорема 3 на стр. 242 гл. V I I ) . Применение этой теоремы о гармонических функциях будет основной идеей приво


димого	далее	доказательства.
Т Е О Р Е М А 3.		Пусть f — функция,					заданная в открытой			окрест
ности множества			Е.	Функция		f дифференцируема			(в	обычном
смысле)	почти для		всех точек из Е				тогда и только тогда,			когда
		f(x?+y)-f(x°)			=	0(\y\),		\|у\|-+0,		(13)
почти для всех		х° е		Е. Конечно,		не	предполагается,		что константа,
содержащаяся		в О, равномерна				по	х°.

296 Гл. VIII. Дифференцирование функций

То, что из дифференцируемое™ в данной точке х° следует (13), тривиально, так что мы перейдем к доказательству обратного ут верждения.

Если мы ограничимся подмножеством Fo множества Е, где функция f ограничена и выполняется (13), то очевидно, что вне открытой окрестности этого подмножества функция / по-прежнему ограничена, и мы можем изменить f так, чтобы она обращалась в нуль вне этой окрестности. Можно считать, что подмножество Ей ограничено так же, как и соответствующая его окрестность. Далее достаточно будет показать, что измененная функция / дифферен цируема почти всюду в EQ. Для упрощения записи заменим Е0 на Е и обозначим измененную функцию / снова через /. Тогда эта

функция / e l ' t R " ) ;	обозначим через и ее интеграл	Пуассона.
Так же, как при доказательстве свойства 2) в § 2.1, мы		видим, что
в любой точке х°, где выполняется (13), производные		нетанген
циально ограничены	в х°. Здесь надо лишь повторить рассуждения,

проведенные на	стр. 293, с заменой о на О. Поэтому согласно тео
ремам 1 и 3 гл. V I I в каждой точке множества Е существуют не-
тангенциальные	.	ди	, . . .
	пределы функции и и ее производных

- g j - ' , таким образом, функция f имеет гармоническую произ водную почти в каждой точке множества Е.


Теперь мы можем			обратиться к теореме разбиения из					§ 2.2.
Согласно ей для любого е >				0 существуют	компактное		множество
F, F а	Е, т(Е	— F) <	е и разбиение f —		g +	b, где g =		f на	F.
Так как	g е ЬГ(Яп),		то теорема I из §		1.1	показывает,		что	g
имеет обычную		производную		почти для каждого х е			R™, и, сле

довательно, достаточно показать, что функция b дифференцируема

почти для	любого	Х Ё Р .	Но функция b равна нулю			во всех точ
ках множества F,		и, таким образом, мы имеем вместо				(13)
		Ь^+у)	=	0(\у\),	Ы - > 0 ,	(13')
почти для любого		х° <= F.
Теперь	мы хотим сделать			условие	(13') равномерным. С этой

целью для каждого целого k введем множество Fh, определяемое равенством

Fk = {x°:	}b(x°	+	y)\^k)y\,	\y\<l/k}.
	оо
Ясно, что объединение	{ J	Fk	содержит	все точки, где выполняется

(13'), и тем самым все сводится к изучению того, что происходит для х° е Fh.

3.1.1. Здесь мы должны отклониться в сторону, так как мы подошли к неприятному месту доказательства; дело в том, что, поскольку множество Fh определяется с помощью континуума

§ 3. Характеризация

дифференцируемости

297

неравенств, оно не обязано быть измеримым по Лебегу. Можно было бы обойти эту трудность, предположив, что / всюду непре рывна, но такое предположение представляется искусственным в круге рассматриваемых здесь задач.

Вместо этого мы обратим внимание на то, что утверждение «почти каждая точка множества Е есть точка плотности множе ства Е» справедливо после соответствующих изменений и для не измеримых множеств. Действительно, для любого, необязательно


измеримого		множества	Е обозначим	через пге(Е)		его		внешнюю
меру; по	определению		me(E) = inf m(F),		EaF,	где	F	пробегает
измеримые множества. Ясно, что для				любого множества Е суще
ствует измеримое множество Е, такое,					что те(Е)		=	т(Е),	и
вообще	для	любого	измеримого	множества		F	me(Ef\F)		=

=m{E[\F).

	Далее, мы скажем, что х° есть точка					(внешней)	плотности мно
жества Е,		если
			те (Е(]В(х°,	г))	.
			т(В(х°,	г))	'	г _ > и >
где	В(х°,г)	— шар	с центром	в точке	х°	радиуса	г. Очевидно,	что
х° есть точка внешней плотности множества Е тогда и только								тог
да,	когда	она есть	точка плотности множества Е. Таким образом,

за исключением подмножества Е лебеговой меры нуль, точки мно жества Е являются точками внешней плотности множества Е.

3.1.2. Таким	образом, для того чтобы завершить доказатель
ство теоремы,	надо только доказать, что для каждой точки х°и

которая является точкой внешней плотности множества Fk, спра ведливо соотношение Ъ (х° + у) = о( |у\) при |г/|->0, поскольку тогда функция b дифференцируема в этой точке. Взяв объединение


по всем k, мы получим, что функция Ь дифференцируема							всюду		на
F, за исключением множества меры нуль.
	Дальнейшие рассуждения являются просто повторением идей,
уже		использовавшихся				в гл. I при доказательстве предложения			2
(в	§	2.2,		стр. 24). Для точки х° внешней плотности			множества
Fk	и для			заданного е >		0 рассмотрим «малый» шар с	центром		в
точке			х +	у радиуса е\у\, а также «большой» шар с центром					в
точке			х	радиуса	\|#\|-f-e\|#\|. Далее, согласно упомянутому рас
суждению о точках плотности существует точка z е Fk,								принад
лежащая				малому	шару,	если \у\ достаточно мало. Это	означает,
что	на		расстоянии, не превышающем е\у\, от точки х° +				у	можно
найти			точку из Fk.		Таким образом, \|b(х - j - у) \| ^ ke\у\		в силу		оп

ределения множества Fk- В силу произвольности е это показывает,

чю Ь(х +у) = о(\у\) п р и г / - > 0 .

3.2. Уточнение разбиения. Прежде чем перейти к дальнейшим приложениям, нам понадобится уточнить заключения теоремы раз биения из § 2.2. Пусть 1 ^ q < со; предположим, что функция /

298 Гл. VIII. Дифференцирование функций

имеет в каждой точке множества Е производную в смысле Li

(определенную

1.1)

и,

следовательно,

имеет в

каждой

точке

множества

Е производную

в гармоническом

смысле. Пусть

е >

Согласно

теореме

из §

2.2

можно

найти

множество

F cz

Е,

т(Е

— Е)<1г,

такое

разбиение

f — g +

что

g e L T ( R " )

b(x°)—0

для

х° е= F. Мы

можем

утверждать

большее.

С Л Е Д С Т В И Е

( Т Е О Р Е М Ы

2).

Для почти всех

i ° e F

dy<

оо.

(14)

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О .

Ввиду

того

что

g<=LT(Rn),

мы

получаем,

что функция g имеет почти в каждой точке

обычную

производную

(а значит,

и производную в

смысле

L i ) . Следовательно, функция

Ь, которая

обращается

в нуль на

имеет

почти всюду

на

F про

изводную

в смысле

L i , в частности,

\b{x» +

y)?dy

0{r<),

r - * 0 ,

(15)

\У\<г

для

почти

всех х° е

Мы можем также предположить, что после небольшого измене

ния

(типа

того, которое было сделано при

доказательстве

теоре

мы

3) / e L « ( R " ) .

Таким образом, после

тривиального

изменения

функции g мы можем считать, что

b<^Li(Rn).

Пусть

теперь

Fk — замкнутые

множества, задаваемые следую

щим

образом:

- р г

\b(xf> +

y)fdy^kr«,

0<r^l/k

\y\<r

(Отметим, что в этом случае множества Fk автоматически изме римы!)

Мы покажем, что если Ь(х) обозначает расстояние от л до замкнутого множества Fk, то справедливо неравенство

Г	\b{x° + y)\dy	Г	b(X»	+	y)dy_
J	\у\п+	Y		\у\п+
\y\<i	M	I	J K	I

и поэтому наше следствие будет вытекать из теоремы о конечности интеграла Марцинкевича, приведенной в § 2.3 гл. I , стр. 25.

Для того чтобы провести дальнейшие рассуждения, мы запи шем дополнение к множеству Fk как объединение непересекаю щихся кубов {Qj}, диаметры которых сравнимы с их расстояниями от F h в соответствии с теоремой 1 гл. V I ,

§ 3. Характеризация дифференцируемости 299

Тогда мы имеем

| Ь (х* +

у) | dy

\Ь(у)\

\uin+l

\x°-u\n+l

16 (У)

rfy

I vO _

in+i

/ <ЗуП{|*°-гН<'} '

* 1

Теперь,

если

x°^Fk,

то

величина

— т г

приблизительно

постоянна

по у на Qh т. е.

|*° —#1 •

sup

. ,

r r r ^ c ,

lnf

- г г .

y*Q,

\Х°-У\п+1

\-Q,

\x°-y\n+1

Кроме того,

каждый из кубов Qt содержится в шаре В/ с центром

в некоторой

точке

множества

Fk,

причем радиус шара Я/ сравним

с диаметром куба Qj. Таким

образом, из определения множеств Fk

следует, что

j\b(y)fdy^c2m(Ql)l+«"l>

О/

и далее

в силу

неравенства

Гёльдера

l\b(y)\dy^c2m

(Q,)l+l'\

Наконец, диаметр куба Qj сравним с

расстоянием

от

любой

точки из Qj

до Fk.

Таким

образом, j

| b (у)\dy

^ c4m (Qj) б (у),

г / e Q / .

Объединяя

эти оценки, получим

l ^ ( y ) | d y

б (у)

QyfHI x'-y\<\)

y '

QjCUbx'-yl^l}

Складывая

по /,

получаем

(16), и тем самым

наше

следствие

доказано.

И З

проведенных

выше

рассуждений

следует

З А М Е Ч А Н И Е .

также, что

^ < °°

Для почти

всех

x°^F,

(17)

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ