книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

280

Гл.

VII.

Возвращение

к теории гармонических

функций

ц>(х)—неотрицательные

функции

в

R " + 1

и

связанные

нетангенциальным"

неравенством

sup

Ф(х\

y)<<f{x).

\х-х'\<у

Тогда

ц {(х,

у):

Ф > а } <

cm {х: q>>a}

для любого

а и, следовательно,

J" J Ф р dp

<

с

j " ф Р (х)

dx.

После

этого

замечания

остается

только

выбрать

Ф(х,

у) =\и(х, у)\,

<р(х) =

— AM(f)(x).

Тогда

нетангенциальное

неравенство

sup

Ф (х',

< / Х ф (ж)

U-л:' |<у

доставляется

теоремой

1, и искомый

результат

следует

из

LP-неравенств для

M{f).

Заметим, что Mh(f){x)"^c%M(f){x)

при f > 0 . Пусть

1 < Я < 2 .

а)

Если

р — 2/Х, то

отображение

f -> Ж% (f) — слабого

типа (р, р) .

б)

Если

р>2/Х,

то

1Ия(Ш1Р <^,Ш11Р .

в) Если

р<2/Х,

то существует

такая функция / e L p (R"), что

(f) (х)

= оо

в с ю д у .

См. Стейн [4] .

4.6. Пусть

Н — гармоническая

функция

^{xLv)nl7

•

« > >

( ™ е

\(*,У)\=(У2+*1+

••• +

Положим

F

~ V H

- [

d

y

>

дхг'

дхп)-

Тогда

| F | =

| (х,

у) Г "

и А | F \" = щ

\щ -

n +

1] I {х,

у)

|-"<7-2 . Таким

образом,

если

а>0,

то

A\F\4^0

только

при <7> —

п

.

4.7. / / - н е р а в е н с т в а

для

дробных

интегралов

(см. §

1.2 гл. V ) имеют

место

при

р = 1

для случая

Н\

Пусть

/ e Z . ' f R " )

и

R/ (/) е

L 1 ( R " ) , /

= 1, . . . , л.

Т о г д а

' / • ( / ) — f r - J .

F ( y

>

. ^ ' ( И " )

Y(a)

J,

\x-y\n

Г

У/

l i m „ С п

v ш+1 f(x~y)

аУ>

1»1>е

| У

которое, как нам уже известно,

справедливо

почти всюду

(см. теорему 4 гл. I ) .

Пусть каждая функция Rj{f)

суммируема на любом компактном

множестве.

Тогда функция |/|1п(2+|/|) также суммируема на

любом

компактном

мно.-

жестве.

Указание.

Применить

следствие 2 из теоремы 6 § 3.2 данной

главы, а

также

§ 5.2, с) из гл. I . Подробное доказательство

см. Стейн [12].

4.9. Теоремы 6—9 имеют обобщения

на случай пространства

Я ?

при

р >

> —

. Эти обобщения можно

получить

при помощи

методов, во многом сов­

падающих с приведенными здесь для случая р =

1.

а)

Если

F e f f P ,

т о предел

li m F (х +

iy) =

F (х)

существует

почти

всюд у

J \ F ( x + t y ) - F ( x )

fdx^Q

при

у - * 0 и

f

sup

\F(x+iy)\*dx<A?\\FС

R "

СМ. Стейн и Вейс [2] .

б) Sp ||F||p<|S(/: ')||p<^p||/: , ||p. См. Кальдерон

[6], Сеговия

[1], а

также

Гаспер [1] .

в)

| | ^ ( Л | | р < Л р , х | | , Р | | р при р > 2 / Я .

г)

Функция

m — мультипликатор

в Нр,

если

| пг (х) | ^ В и

sup

tf2lal-«

f

(ЛЛа

m(x)2

dx^B,

0 < й < о о

J

\Ox)

Я < | х | < 2 Я

где

| a | < f e

и k>n/p

( p < ! 2 ) . Относительно

в)

и г) см. Стейн [9] .

4.10. Пусть

функция

а{х)

определена

на

R', | а (х)

— а (у) |<

М | х — у \

| Х-у

| > 8

Тогда ||7,е(/)||р<Лр||/||р,

1 < р < о о ,

где Ар

не зависит от

е.

Можн о

получить

этот результат как приложение теоремы 8. Детали

доказательства

и другие

утверждения

такого

рода

можно найти у

Кальдерона [6] .

4.11. Пусть

и (х,

у) — гармоническая

функция в

R!}.+ 1 . Тогда

в

отдельно

взятой

точке

ха

следующие три условия:

3) J J" \ Vu\2yl-n

dxdy<°o,

§ 1. Несколько понятий поточечной дифференцируемости

285

f(x° + y) = f(x°)

+ A(y) + o(\y\)

(1)

при \у\—>0, или,-что то же самое,

1/(*° +

у ) - ; ( * ° ) - Л ( у ) |

\у\<г

\У\

сле (в смысле

теории распределений),

как это сделано в главе V ,

§ 2.1, сказав,

что ~дЦ~ =

!к> k—\,

п, если функция f% ло­

кально суммируема и

_ п

к

п

поточечную производную в смысле (1)

для почти всех

х°.

В одномерном случае ответ, конечно, положительный, поскольку

такие функции f локально абсолютно

непрерывны в

R1 (см. § 6.1

гл. V ) . Ситуация, однако, меняется, если размерность

больше

еди-

ницы. Пример из § 6.3 гл. V показывает, что производные

df

- ~ -

могут существовать в слабом смысле

и принадлежать L P ( R n )

k

при

р £=: п,

в то время как эта функция f

не имеет производной в смы­

сле (1)

ни в какой точке х°, поскольку она вообще

неограничена

х° в

смысле

L i ,

где 1 ^

q <. со,

если

( * -

/

! / (*° + У) -

/ (*°) -

Л (у) f

dy)114

= о (h)

(3)

при

h—*0.

Ясно,

что это

есть обобщение первоначального

опреде­

ления (1).

Следующий результат проясняет важность введенного

только

что определения. Предположим, что п>

\.

Т Е О Р Е М А

1.

Пусть f — локально суммируемая

функция,

задан­

ная

на открытом множестве Q

и обладающая

там слабыми част­

ными производными-Jj-,

/ = 1

,

п,

причем

f и -дЦ- ,

/==1, . . .

...,

п,

локально

принадлежат

Lp(Rn).

а)

Если

п <С р,

то функция

f имеет обычную

производную

(в

смысле

(/))

почти для всех х°

при

условии, что она изменена

над­

лежащим образом

на множестве меры

нуль.

б)

Если

1 < р <. п, то функция

f имеет производную

в смысле

L i ,

где

l/q~

1/р — 1/л,

почти для всех

х°.

1.2. Доказательство теоремы 1. После умножения на гладкую

функцию с

компактным

носителем

мы

можем

считать,

что

сама

означает, что / e L f ( R ' " ) .

Мы

можем

предположить

также, что

р < с о , поскольку требуемый результат

при р =

со является след­

ствием результата для п <

р <

с о .

Если / принадлежит пространству 2D, то мы

имеем

тождество

2«'(#)

<4»

ч=1

288

Гл. Vlll

Дифференцирование

функций

Для

упрощения

записи

мы

предположим,

что

х° =

0

и

gix0)

=

0. Этого

можно достичь,

сначала

осуществив подходящий

перенос,

а

затем

заменив

g(x)

на

g(х)

— g(х°)ср(х),

где

ср — глад­

кая функция с компактным носителем,

причем ср(л:0) =

1.

Ясно,

что результат

для

g — g(x0)q>

вместо

g

влечет за

собой

и желае­

мый результат

для

g.

После того как сделаны эти предварительные замечания, мы

видим, что наши предположения

свелись к следующим:

-рг

J

\g(y)\Pdy->V,

г^О;

(б')

\У\<г

существуют пределы

a, =

\\m(n-l)

f

gM-JLLfdy.

(70

| в | > 8

| г

/ >

п

Мы

положим

Л (л:) =

2 а/*/

для

х =

(хи

хп).

Заметим,

что в силу

часто упоминавшейся оценки на бесконечности, а именно

того,

что

g е= L p

' (R"), 1 < р ' < р ,

и в

силу

поведения

около

на­

чала

координат [см. (60]

интеграл

J

. g

f j | i

dy,

представляющий

/(0),

сходится

абсолютно.

R "

L

Y

L

Нашей

целью

будет найти подходящую меру малости разности

f(x)-f{0)=

j

g(y)\x-y\-n+ldy-

j

g(y)\yrn+1dy

+

l s r l < ? | x |

l{/|<2|*|

+

J

g(y){\x-y\-n+l-\yrn+i}dy

=

\y\>2\x\

Cx=

j

g{y){\x-y\-n+l-\y\-n+x)dy;

§ I . Несколько понятий поточечной дифференцируемости

289

этот

интеграл

будет

представлять

собой

основной

член в раз­

ности f (х) — f (0). Мы увидим, что при

\х\-*0

п

С

* =

2

а/*/ +

о(1*1).

Тейлоровское

разложение

\ х — у [~п+1 по степеням

хи

хп по­

казывает, что

п

х -

у Г +

1 - \

у Г

+ 1

= { - п + \ ) ^ х 1

- ^ т +

Я{х,

у),

! # ( * , У ) 1 < ^ т Ц 5 т .

\у\>2\х\.

Следовательно,

га

где

/ = 1

\у\>2\х\

1

У |

1*,1<Л1*1»

J

\У\>2\Х\

Для

любого б > 0 имеем

\У\

f

lg(y)lr f y

—

I у |

f

I g СУ") I

у

| |...

Г

1 g (У) 1 rfy

1 1

J

Ы п + 1

1

J

Ы " + 1

" N

1

J

\y\n+l

'

Первый интеграл оценивается с точностью до постоянного

множи­

теля выражением

б - "

j

\g{y)\dy,

которое

стремится

к нулю

1»1<в

Cx=Iia!x,

+

o(\x\),

1*|->0.

•

(8)

/ = 1

1.2.2. Оценка

интеграла

Ах

при п<р<

с о . Рассмотрим

Ах=

J

g(y)\x-y\-n+1dy.

\У\<2\Х\

Применим неравенство

Гёльдера с показателями р и г, 1 / р + 1 / г = 1 .

Предположение

п < р

эквивалентно

неравенству

(п — 1) 7 < п и,