
книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций
.pdf270 |
Гл. VII. |
Возвращение |
к теории |
гармонических |
функций |
|
Таким образом, |
используя |
неравенство Шварца, |
получаем |
|||
|
j |
g{ (F + |
еФ) (х) dx < |
с Г V . 4 1 | F + |
еФ ||,. |
|
Искомое |
неравенство (29) и, следовательно, теорема 7 получаются |
|||||
при е - > 0 . |
|
|
|
|
|
|
3.3.2. |
Доказательство |
теоремы 8. |
Рассмотрим |
наряду с опера |
тором 5 целое семейство его вариантов, определенных для любого qr q > ——- . Положим
|
|
|
|
®, |
(F)(x)=(jjyl-nA(\F |
|
|
|
f) |
(у, |
t) dy |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
\V (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Г (х) — наш |
базисный |
конус: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Г(*) = |
{(*, у): |
|
\ |
|
x-t\<y}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Семейство ® ? ( F ) определено корректно, |
поскольку |
в |
силу леммы |
|||||||||||||||||||
из |
§ 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(| F Г) > 0 |
при |
q > 1 |
~ ~ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Сделаем |
следующие |
замечания относительно |
<5? . Прежде |
всего |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e2(F) |
= |
V2S(F), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|||
ибо |
A|/r |2 = |
2|V/7 |2 в |
силу |
леммы |
из |
§ |
3.1. Вдобавок |
к |
этому |
|||||||||||||
© ? удовлетворяет некоторым свойствам выпуклости |
относи |
|||||||||||||||||||||
тельно |
q, |
а |
именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
eq(F)^c((Bqo(F))l-e(^qi(F)f, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р) |
|||||
когда |
qt > (п — 1)/п |
и |
l/q = |
(1 — Q)/q0 + |
0/?, |
при |
О < 0 < 1 . |
Кон |
||||||||||||||
станта |
с |
зависит от q0, |
qt |
и 0, но не зависит |
от |
F. |
Неравенство |
(Р) |
||||||||||||||
является |
следствием |
неравенства |
Гёльдера |
и |
леммы |
из |
§ 3.1. |
|||||||||||||||
В действительности |
из |
этой |
леммы |
следует, что |
функция |
А\ F f |
||||||||||||||||
сравнима |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
| F f~21 |
VF f, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и, таким |
образом, &q(F) |
ведет себя |
как норма |
\ F\ |
в |
V. |
|
|
||||||||||||||
|
После этих предварительных рассуждений перейдем к основной |
|||||||||||||||||||||
части доказательства. Доказывая |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
B||F||,<||S(f)lli, |
|
Fs=H\ |
|
|
|
|
|
|
|
(33) |
|||||||
мы |
проделаем |
тот же путь, что |
и |
при доказательстве |
теоремы |
7. |
||||||||||||||||
А именно, мы предположим, что |
вместо |
F |
имеется |
F + |
еФ, |
где |
||||||||||||||||
F^Ho, |
|
а функция Ф, такая, как |
описано |
выше. Для |
упрощения |
|||||||||||||||||
обозначений |
примем, что функция |
F уже приведена к |
требуемому |
§ 3. Применение к теории НР-пространств 271
виду. Запишем теперь G(x, y) = \F(x, у)\ и снова |
применим |
тож |
|||||||||||||||
дество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J J у AG dxdy |
= |
J G (x, 0)dx, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R ^ + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что, как мы уже показывали, вполне законно. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j<Si(F)dx |
= |
UjJMF(t, |
|
y)\yl-ndydi]dx |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
" |
|
|
R " \ Г (x) |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= c J J yk\F{x, |
|
y)\dxdy |
= |
c j\F(x, |
|
Q)\dx. |
|||||
Таким |
образом, |
[| F ||, — c~J || 6 , (F) ||, и, следовательно, |
в силу (р) |
||||||||||||||
мы |
получаем, |
применяя |
неравенство Гёльдера, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I I F ||, < |
с' 1 ( 6 2 |
(F)f (®ч (^))1_е' II. < |
II ©2 (/=•) llf |
II © „ (Т7) 111"6', (3 |
||||||||||||
где |
т] — произвольный, |
но фиксированный |
показатель, |
причем |
|||||||||||||
п |
1 < т ) < 1 ; |
0' выбрано |
надлежащим |
образом. |
|
|
|
|
|||||||||
п |
Если мы докажем |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
II %(П |
Hi |
|
Hi, |
|
|
|
|
(35) |
|||
то |
затем, |
подставляя |
его в (34), мы получим |
||F|li <Sc'll®2(^)lli. |
|||||||||||||
что |
даст (33). Обратимся, следовательно, к неравенству (35). |
|
|||||||||||||||
|
Вопрос |
о |
том, принадлежит |
ли &п(Е) |
пространству |
L 1 |
(Rn ), |
||||||||||
эквивалентен |
вопросу, |
верно ли, что © ч (F)^ ен L 1 / T 1 ( R n ) ; |
и так как |
||||||||||||||
т ) < 1 , |
то |
показатель |
1/г) больше |
единицы. |
Пусть г — индекс, |
||||||||||||
сопряженный |
1/т], а именно 1/r + r ) = 1. Следовательно, нам нужно |
||||||||||||||||
оценить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sup *( < S „ ( / 0 V ) < P |
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
ф |
пробегает |
подходящее |
плотное |
подмножество |
элементов |
|||||||||||
в U(R") с ||ф||г<1. |
|
|
неотрицательных |
бесконечно |
диф |
||||||||||||
|
Выберем ф из множества |
||||||||||||||||
ференцируемых |
функций |
на Rn |
с компактным |
носителем, |
таких, |
||||||||||||
что |
|| ф И, |
1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
% (Пц |
(*) = |
j * J А (| F Г (/, у)) г/1 "" Л ^ |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Г И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J / -ф(л:, f, y)A(\FC(t, |
y))y^ndtdy, |
272 |
|
|
Гл. |
VII. |
Возвращение |
к |
теории гармонических |
функций |
|
|
|||||||||
где |
г|) (х, |
t, |
у) |
есть |
характеристическая |
функция |
конуса |
Г (х) = |
|||||||||||
= {| х — /1 < |
у}. |
Если |
Ру |
(х) —• ядро |
Пуассона, |
то |
^(х, |
t, |
у)у~п^ |
||||||||||
сРу |
(х), |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
J ®^(F?(x)(?(x)dx^c |
|
|
Ц Ф О , |
y)MF(x, |
|
y)\nydxdy, |
(36) |
||||||||||
где |
ф(х, у) — интеграл |
Пуассона |
от ф, |
т. е. Ф(ЛГ, |
у) = |
(Ру |
* ф) (х). |
||||||||||||
Заметим, |
что |
имеет |
место |
следующее |
дифференциальное |
тожде |
|||||||||||||
ство: если |
Д(Л) = |
0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ЛД (В) = |
А ( А В ) - 2 % |
|
дА |
|
дВ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-$*--§§-. |
|
|
|
||||||||
Пусть |
А = |
у(х, |
у), |
B = |
]F(x, |
г/) р |
(у = |
х0); тогда |
правая |
часть (36) |
|||||||||
мажорируется |
постоянной, |
умноженной |
на |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
\lb(<f\F\v!)ydydx |
|
+ |
|
|
|
2J\\4\FP\-\V(f\ydydx. |
|
||||||||||
|
|
R n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
R ^ + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левый |
интеграл |
в |
этом |
выражении |
может |
быть |
оценен |
с по |
мощью тождества (31), применение которого законно в силу
предположений, |
сделанных относительно F. Значение его равно |
j\F(x, 0)\ц<р(х, |
0)dx, и он оценивается выражением |
R" |
imPiMKiifii?. |
|
Интеграл справа равен константе, умноженной на
|
J f |
J J | V | F | 4 ( / , 0)|-|Vq>(*, |
y)[yl-"dtdy\dx. |
(37) |
|||||
|
R " |
I r w |
|
|
|
|
|
J |
|
Далее, |
| V| F р | ^ |
const | F р - 1 ] VF |. Применяя |
также |
неравенство |
|||||
для максимальной |
функции |
(формула (32) |
на |
стр. 268), полу |
|||||
чаем |
sup |
| F(t, |
у) |
|<cF*(х), где |
f F*(х)dx^A\\F||,. |
Наконец, |
|||
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
Д | F I4 |
^ const I F p~ |
I V.F12 . |
Окончательно, |
используя |
неравенство |
Шварца, получаем, что (37) мажорируется константой, умножен ной на
[ (F* (х))4'2 (^n (F))n/2 S (ф) dx.
|
|
|
|
|
§ |
3. |
Применение |
к теории |
-пространств |
273 |
||||||||
Применим |
к этому |
интегралу |
неравенство |
Гёльдера, записанное |
||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Л 1 Л 2 Л 3 ^ < М 1 1 1 р 1 1 М 2 11й1Мз11й, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
и" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
l/pi + |
|
1/р2 |
+ |
1/Рз = |
1» |
P i = P 2 = |
2/r] |
и |
р 3 |
= г |
|
(вспомним, что |
|||||
1/г + |
л = |
О- |
Мажоранта |
тогда |
равна |
|| F* ||?/2 |
Ц®„ |
(F) |f2|| 5 ( Ф ) |L, |
||||||||||
что в свою |
очередь |
не превосходит |
константы, |
умноженной на |
||||||||||||||
ll Р ll]1'2II ®ц |
(F) |
С2- |
Это |
верно |
по |
следующим |
двум |
соображениям: |
||||||||||
во-первых, |
|
||S (ф)||r |
^ |
Л || ф ||r ^ |
Л |
(г > |
1) |
в силу |
результатов гл. I I I , |
|||||||||
во-вторых, |
|
как |
уже |
указывалось, |
Ц F* \\ ^ |
Л || F |
|
|
||||||||||
В |
конечном |
|
счете |
мы |
получаем следующее: |
|
|
|||||||||||
|
|| (5, (F) 1С = |
sup |
Г © ч |
(F) n Ф ^ |
<|| F |f + |
Л || F ||Г || 6 , (/0 | f . |
ФR
Отсюда следует неравенство (35) и тем самым неравенство (33), дающее требуемый результат для нашей функции F специального вида F + еФ, где F е Но. Предельный переход к случаю функции
Fиз Я 1 общего вида осуществляется стандартным образом.
3.3.3.Доказательство леммы о плотности. Рассмотрим лемму, которая была сформулирована без доказательства в § 3.3.1. Дока жем, что Но плотно в Я 1 .
Пусть / е 1 ' ( Я п ) |
обладает |
тем свойством, что |
все |
Rj(f) = |
f} |
|
принадлежат L ' ( R n ) . |
Это предположение означает, |
конечно, |
что |
|||
X, |
Л |
являются |
преобразованиями Фурье |
функций |
||
выражения i - r - ^r f |
w |
из L 1 ; заметим, что этот факт является следствием равенству (0) =
=f,(0) = 0, j = l , . . . . п.
Доказательство леммы будет проведено в два этапа. Вначале
мы докажем, что для каждой функции / описанного выше вида
можно найти последовательность {f{h)}h ^ О, где f{k) имеет ком пактный носитель, находящийся на положительном расстоянии от
начала |
координат, такую, что |
/СО —*/ |
и Rj.(f^)-*Rj(f) |
в L 1 при |
k —• со. |
|
|
|
|
Выберем фиксированную функцию Ф класса С°° на R™ с ком |
||||
пактным |
носителем, обладающую |
дополнительно свойством |
||
Ф(х) = |
1 при \х\^. 1. Определим для каждого б > |
0 преобразова |
||
ние Т& на D ( R n ) соотношением |
( T J ) ' " |
(х) = Ф (х/б) f |
(х). |
|
Ясно, что |
|
|
|
T6(f)(x) |
= 6n |
\f(x-y)y(by)dy, |
274 |
Г л. VII. Возвращение |
к |
теории |
гармонических |
функций |
|
||||||
где ф = |
Ф. Можно |
также заметить, что ||re (/)||i = ^ Л | | / г д е |
А не |
|||||||||
зависит от б и f. Рассмотрим |
|
TN(I |
— T&)f. |
При N—• со |
и е~>0 это |
|||||||
выражение стремится к f по |
норме |
L ^ R " ) , |
если |
f |
принадлежит |
|||||||
замкнутому подпространству |
L \ функций из L ' ( R " ) , |
преобразова |
||||||||||
ния Фурье которых обращаются в нуль в начале координат. |
|
|||||||||||
Для |
доказательства |
этого |
утверждения |
достаточно, принимая |
||||||||
во внимание равномерную ограниченность |
операторов |
TN(I — ТЕ), |
||||||||||
убедиться в его справедливости на всюду |
плотном |
подмножестве |
||||||||||
этого подпространства. Таким |
подходящим |
подмножеством |
будет |
|||||||||
множество функций |
из |
L L ( |
R |
N ) , |
преобразования |
Фурье которых |
имеют компактный носитель, находящийся на положительном рас
стоянии от |
начала координат. |
Для таких |
функций /, |
очевидно, |
|
T N { I —Tt)f |
= f при достаточно |
больших N |
и достаточно |
малых е. |
|
То, что такие функции / |
плотны в замкнутом |
подпространстве L\, |
|||
может быть |
проверено |
непосредственно с помощью элементарных |
подсчетов. Или можно обратиться к теореме Винера, дающей ха-
рактеризацию |
максимальных идеалов |
пространства |
L ^ R " ) . |
В лю |
|||
бом случае мы рассмотрим функции |
|
Ти (I — T\/h) f = |
f(k), при |
этом |
|||
/ ( * ) - » / по норме D. |
Кроме того, |
£/(/<*>) = |
TK (I — |
TLLK) R,(f), |
так |
||
что R,{f{k))-^-Rj(f), |
и мы завершили, |
первый |
шаг доказательства. |
||||
Теперь мы |
можем |
предположить, что / G E L ^ R " ) |
и что носитель |
функции f компактен и не содержит начала координат. |
Рассмотрим |
|||
стандартную регуляризацию функции /: f |
* knty (kx), |
где |
\j) е= С0 0 |
|
имеет компактный носитель, |
jtydx=l. |
Заметим, |
что |
функции |
|
R " |
|
|
|
f * &"а|) (kx) принадлежат С°° |
и что если k |
достаточно велико, то |
||
все они имеют общий носитель, содержащийся в компактном мно |
жестве К', находящемся на |
положительном расстоянии от начала |
|||||||||
координат. |
|
Если |
W |
(x) = |
ty(x), |
то Х Р ( 0 ) = 1 , |
и |
выражения |
||
f*knty(kx) |
|
являются |
преобразованиями |
Фурье |
функций |
|||||
f(x)x¥(x/k) |
= |
fk, |
которые, очевидно, |
сходятся |
к / |
по норме про |
||||
странства |
L 1 |
( R " ) . Мы |
утверждаем, |
что, кроме |
того, Rj(fk)-+ |
Rj(f)• |
Действительно, для любого компактного множества К' указанного
вида существует функция nij(x) |
класса С0 0 , |
такая, |
что irij(x) = |
|
= i-pr |
для ЛГЕЕ/С'. Пусть Mj |
есть функция |
из L 1 |
, определенная |
равенством Mf (х) — ttij(x). Тогда
|
|
M,*fk |
= |
Ri(fk). |
|
Сходимость Rj(fh) |
к Rj(f) |
по норме пространства L ' ( R N ) |
очевидна. |
||
Ясно также, что элемент из Я 1 , |
граничные значения которого суть |
||||
(/ft, Ri(fh), |
Rn(fh)), |
в действительности принадлежит Но- Тем |
|||
самым лемма доказана. |
|
|
|
|
|
Будет полезно |
описать |
существо леммы еще следующим обра |
|||
зом, Рассмотрим |
банахово |
пространство {/ e I ' ( R " ) : Rj(f)^ |
^(R"), |
|
|
|
§ |
3. Применение |
к теории |
Я?-пространств |
|
|
|
275 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
/ ' = |
1 |
"} |
с нормой 11/11 = |
11/11! + |
2 |
II Rj(f) Ik- |
Выше мы |
дока- |
|||||||
зали такое |
утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
С Л Е Д С Т В И Е . |
Семейство |
функций |
/, преобразования |
Фурье |
кото |
|||||||||
рых |
суть функции |
класса |
С°°, имеющие |
компактный |
носитель, |
не |
|||||||||
содержащий |
|
начала |
координат, |
плотно |
в |
этом |
банаховом |
|
про |
||||||
странстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через Яоо соответствующее |
подмножество функций / |
|||||||||||||
в Я 1 . Тогда, конечно, |
Я о о с г Я о С г Я 1 , |
причем |
мы доказали, что |
#сю |
|||||||||||
плотно в Я 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3.4. Мультипликаторные преобразования |
в Я 1 . После всех |
|
уси |
|||||||||||
лий, потраченных |
на |
изучение |
функций |
S(F) |
и g*k(F), |
мы подхо |
дим, наконец, к результатам, которые показывают, что наши уси лия были не напрасны. Мы намереваемся показать, что многие
сингулярные интегральные операторы (более |
широко: мультипли |
|||||||||||||
каторные преобразования), |
изучавшиеся |
в |
гл. I I — I V , |
расши |
||||||||||
ряются до ограниченных операторов на |
Я 1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Нам потребуется одно определение. Пусть пг(х) — функция, за |
|||||||||||||
данная на R n . Предположим, что для любой |
функции F е |
Я 1 |
мы |
|||||||||||
можем найти другую функцию F, |
также из Я 1 , обладающую |
тем |
||||||||||||
свойством, что |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
F (х, |
y) = |
F (х, |
0) = |
(/о (х), |
/, (х), |
...,/„ |
(*)) |
|
|
|||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
F(x, |
0) = |
(/„(*), . . . . |
f„(*)), |
|
|
|
|
||||
( f / Г |
|
|
|
|
j = |
0, |
1, |
. . . . я. |
|
|
(38) |
|||
|
(х) = |
m (х) f, (х), |
|
|
|
|||||||||
|
Тогда функция m будет задавать отображение |
Тт |
пространства |
|||||||||||
Я 1 |
в себя, определяемое |
равенством |
F = |
Tm(F). |
Если |
отображение |
||||||||
Тт |
ограничено |
на Я 1 1 ) , то мы будем |
говорить, что |
т есть |
мульти |
пликатор для Я 1 . Вопрос может быть поставлен по-другому. Мы
можем сказать, что т есть мультипликатор для |
Я 1 , если |
суще |
||||
ствует постоянная |
А, такая, что, |
каковы |
бы ни |
были |
функции |
|
/о, /ь • • •, fn из D |
( R » ) , fj=Rj(f0), |
существуют функции f0, |
/ь |
..., /„ |
||
из L ' ( R n ) , определяемые равенством (38), |
причем |
|
|
|
2 I f/II, < л i l l //Hi-
/=о /=о
Наша теорема звучит следующим образом.
') Предположение о том, что отображение Тт ограничено на Я 1 , строго говоря, лишнее, поскольку оно вытекает из теоремы о замкнутом графике и предположения о том, что Тт определено на всем пространстве Я 1 .
276 Гл. VII. Возвращение к теории гармонических функций
|
Т Е О Р Е М А 9. |
Пусть |
функция |
ш(х) |
класса Cin+i) |
на |
дополнении |
||||||||
к |
началу |
координат |
в |
R". |
Предположим, |
|
что |
|
|
|
|||||
|
|
|
sup |
R 2 | a l - n |
Г |
|
_д \ a |
2 |
dx^B |
|
(39) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
° < R < ° ° |
|
|
|
*<\x\<2R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для |
любого |
дифференциального |
одночлена |
l - j j ] |
, где |
a = |
|||||||||
= |
( a b a2 , |
.. •, a„) |
и | a I == aj + |
a2 + . . . |
+ |
a„ ^ n -+- 1. |
Тогда |
m есть |
|||||||
мультипликатор для |
Я 1 , т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
\\Tm(F)\\l^A\\F\\l. |
|
|
|
|
(40) |
|||
|
Среди операторов, которые охватываются этой теоремой, отме |
||||||||||||||
тим |
следующие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) Операторы |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/ - • l i m |
f |
jM- |
f (x |
- |
у)dy, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e- »0 , |
|
I У I |
|
|
|
|
|
|
где Q — достаточно |
|
Iff l>e |
|
|
функция степени 0 с нуле |
||||||||||
гладкая |
однородная |
||||||||||||||
вым средним значением на единичной |
сфере. |
Операторы |
этого |
||||||||||||
типа |
появились |
в § 4 гл. I I I ; к их числу |
относятся операторы, опи |
||||||||||||
санные в теореме |
6 |
гл. I I I (стр. 92). Этот |
последний |
класс |
опера |
торов включает в себя, конечно, преобразования Рисса и порож даемую ими алгебру операторов.
2) Существенный подкласс мультипликаторов, указанных в тео
реме об LP-мультипликаторах (теорема 3 и |
следствия |
из |
нее) |
ъ гл. IV (см. стр. 114—115). |
|
|
|
Одновременно доказательство показывает, |
что А |
СВ, |
где |
С — некоторая абсолютная постоянная; тем самым из теоремы мо жет быть непосредственно выведено некоторое обобщение, заклю
чающееся в том, что условие принадлежности |
классу |
можно |
ослабить и заменить некоторым условием, в |
котором |
фигурирует |
дифференцируемость в терминах ZA Впрочем, |
мы не |
будем более |
подробно останавливаться на этом уточнении |
теоремы. |
3.4.1. Теорема будет прямым следствием следующей леммы.
Л Е М М А . Пусть |
функция |
F принадлежит |
всюду плотному |
под |
пространству Яоо- |
Тогда Tm |
(F) е= Я 1 и |
|
|
S(Tm(F))(x)^A'gl(F)(x), |
.К = 2*3±. |
(41) |
Эта лемма доказывается в общем так же, как и соответствую щая лемма из § 3.2 гл. I V .
Прежде всего так как F е= Яоо, то каждая из функций f;- при надлежит С0 0 и имеет компактный носитель, не содержащий на чала координат. Ввиду того что т е № + ' ) вне начала координат,
§ 3. Применение к теории Н?-пространств 277
функция m{x)fj(х) — также класса №+*> и имеет компактный но ситель; следовательно, она является преобразованием Фурье функ
ции из |
L 1 . Таким образом, |
в силу |
определения |
(38) |
Tm(F)^ |
Нх. |
||||||
Определим гармоническую функцию М(х,у), |
у |
> |
0, |
равенством |
||||||||
|
М (X, у) |
= |
J |
e-2ntx-te-2n |
\t\ym |
до |
Л |
< |
|
|
|
|
Следуя |
рассуждениям |
§ |
3.3 |
гл. I V , мы имеем |
|
|
|
|
|
|||
F (х, |
у) = ( f m F ) (*, |
у) = |
| М (t, ух) |
F(x~t, |
у2) |
dt, |
у = |
У 1 + |
у2, |
|||
значит, |
I V ( * + l ) F (х, |
у) | < J I V * M (*, г//2) 11 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x - |
t, |
у12) \ dt, |
(42) |
||||||||
|
|
|
|
R " |
|
|
|
|
|
|
|
|
где V s |
обозначает k-я градиент. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Условие (39) может быть переформулировано в терминах функ |
||||||||||||
ции М. Следуя аналогичным |
рассуждениям |
из |
гл. I V , мы получим |
|||||||||
|
|
| VkM(t, |
у) \^B'y-n-k, |
|
|
|
|
|
(43) |
|||
|
j\t\2k\V'M(t,y)fdt^B'y-", |
|
£ = « |
+ |
1. |
|
(43') |
|||||
|
R " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства неравенства (41) достаточно, учитывая инвариантность относительно сдвигов, рассмотреть только начало координат. Подставляя (43) и (43') в (42) и используя неравен ство Шварца при k = п + 1, получим
Vk+i)F |
|
(х, |
у) |2 < |
Ay~n-2k |
I |
\VF(x |
— t, у/2) f |
dt + |
||
|
|
|
|
|
Ul<2y |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Ay~» |
j |
\W(x~t, |
|
y/2) f |
I * |"2fe |
dt = |
/, (x, y) + 1 2 (x, y). |
|
|
|
\t\>2y |
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
J |
\V«+l)F(x, |
y)\2y2k-n+1dxdy^ |
|
|
jj |
/,(*, |
y)y2k-^dxdy. |
||
\x\<y |
|
|
|
|
|
/ = 1 \x\<,y |
|
|||
Для |
оценки интеграла |
|
|
|
|
|
\\hix,y)y*k-"+xdxdy
\x\<y
278 Гл. VII. Возвращение к теории гармонических функций
заметим, |
что |
при |/|^2г/ и |*|г^«/ выполняется |
неравенство |
||||||||||
\х— |
/|<^3г/. |
Простой подсчет показывает, что этот интеграл |
|||||||||||
оценивается |
с |
точностью |
до |
постоянного множителя |
выражением |
||||||||
|
|
|
|
|
j } |
\VF(x', |
y)\2yl-"dx'dy. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
\х'\<6у |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
J J " |
/ 2 ( * . у) y2k~n+l |
dx |
dy |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
\х\<у |
|
|
|
|
|
|
|
|
оценивается |
с |
точностью |
до |
постоянного |
множителя |
интегралом |
|||||||
|
|
|
|
J { |
\WF(x', |
у)?у^{-т^)Ш |
|
|
dx'dy. |
|
|
||
|
|
|
|
\х'\>2у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оба полученных выражения мажорируются величиной (g^ (F) (0))2 S |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
умноженной |
на постоянную; |
здесь |
Л = |
— . |
Так |
как |
£ = |
1, то |
|||||
, |
2п + |
2 |
п |
Л |
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
л = |
— - — . |
Собирая вместе полученные оценки, убеждаемся в том, |
|||||||||||
что |
|
\ \ |
| V № |
+ V > , у) |2 y2k~n+i |
dxdy^ |
A' [gl (F)(0)] 2 . |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
\х\<у |
привлечем |
лемму |
2 из |
§ |
2.5.2 |
настоящей |
главы |
||||
Теперь мы |
|||||||||||||
(см. |
стр. |
258). |
В результате |
получим |
|
|
|
|
|
S(P)(0)=*S(TmF)(0)^Agl(F)(0);
после сдвига на произвольное х это дает неравенство (41). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 9 завершается следующим образом. Из теорем 7 и 8 немедленно следует, что || 7^(^)111 ^ Л U ^ l l i , где
Яоо и А не зависит от F.
Ограниченный оператор Тт, определенный на Яоо, может быть расширен до ограниченного оператора на всем пространстве Я 1 . Легко показать с помощью предельного перехода, что это расши рение, удовлетворяет определяющему свойству (38). Таким обра зом, теорема 9 доказана полностью.
§ 4. Дальнейшие результаты
4 . 1 . Имеются результаты, аналогичные |
результатам |
§ |
I , |
когда |
верхняя |
|||||
полуплоскость R^.+ 1 |
заменяется |
единичным |
шаром |
B n |
+ l |
в |
R " + I , |
границей |
||
которого является |
единичная сфера |
5" . |
Пусть 0> (х, |
у) |
— сферическое ядро |
|||||
Пуассона, |
|
|
|
1 — I х I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у) |
= с* |
> |
|
, J H |
|
|
|
|
|
|
|
|
\x |
— |
y [ n + L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
4. |
|
Дальнейшие |
результаты |
|
|
|
|
|
|
279 |
||||||
( | # | < 1 . |
\y\-l) |
|
|
и |
(У) |
~ |
индуцированная |
лебегова |
мера |
на |
|
Для |
л ю б о й |
||||||||||||
функции |
/ e L p |
(Sn, |
da) |
|
интеграл |
Пуассона |
равен |
и (х) |
= |
j |
& {х, |
у) |
f (у) |
da |
(у). |
||||||||||
Тогда |
справедливо |
следующее. Пусть |
и — гармоническая |
функция в |
B n |
+ l . |
|
||||||||||||||||||
|
а) |
Функция |
и |
есть |
интеграл |
Пуассона |
функции |
из |
L |
p , 1 < р <Г оо, |
тогда |
и |
|||||||||||||
только |
тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ i / P |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
О- |
" |
|
|
|
" |
|
|
" " ' |
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) Функция и есть интеграл Пуассона конечной меры на 5 " тогда и только |
||||||||||||||||||||||||
тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
Г | и (гу) |
| da(у)< |
|
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
Функция |
и |
есть интеграл Пуассона конечной положительной меры на |
|||||||||||||||||||||
Sn |
тогда |
и только |
тогда, |
когда |
и ^ О в В ^ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
При любом из вышеуказанных условий нетангенциальный предел функции и |
||||||||||||||||||||||||
(соответствующим |
образом определенный) существует почти всюду на |
S n . |
|
||||||||||||||||||||||
|
4.2. Пусть |
|
функция |
|
и(х,у) |
|
гармоническая в R " + |
1 ; |
и(х,у) |
^ 0 |
тогда |
и |
|||||||||||||
только тогда, когда она |
имеет |
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
и ( * > # ) = • |
J |
Ру |
(х — 0 dp |
(t) + |
ау, |
|
а > |
|
0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
djx — неотрицательная |
борелевская |
мера, |
для |
которой |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
d\i |
(t) |
|
< o o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ (i + m2)(n+1>/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Указание: |
использовать |
§ |
4.1, с ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Тот факт, |
что из нетангенциальной ограниченности следует существова |
|||||||||||||||||||||||
ние почти в каждой точке нетангенциальных пределов |
(теорема |
3), |
был |
обоб |
|||||||||||||||||||||
щен в нескольких направлениях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) Достаточно предполагать, что в рассматриваемых точках данная гармо |
||||||||||||||||||||||||
ническая |
функция |
нетангенциально ограничена снизу (Карлесон [1]). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
б) |
Эти результаты |
могут |
быть распространены на случай областей с липши- |
|||||||||||||||||||||
цевой |
границей |
(Хант и Виден [1]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4.Пусть d\i — любая неотрицательная мера на R " + 1 , обладающая тем
свойством, |
что |
p. ( Q ) < ! с ( d i a m Q)n для |
любого |
куба |
Q в R + + 1 , касающегося |
границы R". |
|
|
|
|
|
Пусть |
и (х, |
у) — интеграл Пуассона |
функции |
из if |
( R n ) . Тогда |
См. Карлесон [2], а также |
Хёрмандер [4]. |
|
|
|
|
Можно доказать, что |
этот результат |
является следствием |
обычной |
теоремы |
|
о максимальных функциях (теорема 1 |
гл. 1). Действительно, |
пусть |
Ф(х,у) |
и |