Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
12.91 Mб
Скачать

270

Гл. VII.

Возвращение

к теории

гармонических

функций

Таким образом,

используя

неравенство Шварца,

получаем

 

j

g{ (F +

еФ) (х) dx <

с Г V . 4 1 | F +

еФ ||,.

Искомое

неравенство (29) и, следовательно, теорема 7 получаются

при е - > 0 .

 

 

 

 

 

3.3.2.

Доказательство

теоремы 8.

Рассмотрим

наряду с опера­

тором 5 целое семейство его вариантов, определенных для любого qr q > ——- . Положим

 

 

 

 

®,

(F)(x)=(jjyl-nA(\F

 

 

 

f)

(у,

t) dy

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\V (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Г (х) — наш

базисный

конус:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г(*) =

{(*, у):

 

\

 

x-t\<y}.

 

 

 

 

 

 

 

Семейство ® ? ( F ) определено корректно,

поскольку

в

силу леммы

из

§ 3.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А(| F Г) > 0

при

q > 1

~ ~ .

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем

следующие

замечания относительно

<5? . Прежде

всего

 

 

 

 

 

 

 

e2(F)

=

V2S(F),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а)

ибо

A|/r |2 =

2|V/7 |2 в

силу

леммы

из

§

3.1. Вдобавок

к

этому

© ? удовлетворяет некоторым свойствам выпуклости

относи­

тельно

q,

а

именно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eq(F)^c((Bqo(F))l-e(^qi(F)f,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Р)

когда

qt > (п — 1)/п

и

l/q =

(1 — Q)/q0 +

0/?,

при

О < 0 < 1 .

Кон­

станта

с

зависит от q0,

qt

и 0, но не зависит

от

F.

Неравенство

(Р)

является

следствием

неравенства

Гёльдера

и

леммы

из

§ 3.1.

В действительности

из

этой

леммы

следует, что

функция

А\ F f

сравнима

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| F f~21

VF f,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, таким

образом, &q(F)

ведет себя

как норма

\ F\

в

V.

 

 

 

После этих предварительных рассуждений перейдем к основной

части доказательства. Доказывая

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B||F||,<||S(f)lli,

 

Fs=H\

 

 

 

 

 

 

 

(33)

мы

проделаем

тот же путь, что

и

при доказательстве

теоремы

7.

А именно, мы предположим, что

вместо

F

имеется

F +

еФ,

где

F^Ho,

 

а функция Ф, такая, как

описано

выше. Для

упрощения

обозначений

примем, что функция

F уже приведена к

требуемому

§ 3. Применение к теории НР-пространств 271

виду. Запишем теперь G(x, y) = \F(x, у)\ и снова

применим

тож­

дество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J у AG dxdy

=

J G (x, 0)dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ^ + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что, как мы уже показывали, вполне законно.

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j<Si(F)dx

=

UjJMF(t,

 

y)\yl-ndydi]dx

 

=

 

 

 

 

 

"

 

 

R " \ Г (x)

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= c J J yk\F{x,

 

y)\dxdy

=

c j\F(x,

 

Q)\dx.

Таким

образом,

[| F ||, — c~J || 6 , (F) ||, и, следовательно,

в силу (р)

мы

получаем,

применяя

неравенство Гёльдера,

 

 

 

 

 

 

I I F ||, <

с' 1 ( 6 2

(F)f ч (^))1_е' II. <

II ©2 (/=•) llf

II © „ (Т7) 111"6', (3

где

т] — произвольный,

но фиксированный

показатель,

причем

п

1 < т ) < 1 ;

0' выбрано

надлежащим

образом.

 

 

 

 

п

Если мы докажем

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II %(П

Hi

 

Hi,

 

 

 

 

(35)

то

затем,

подставляя

его в (34), мы получим

||F|li <Sc'll®2(^)lli.

что

даст (33). Обратимся, следовательно, к неравенству (35).

 

 

Вопрос

о

том, принадлежит

ли &п(Е)

пространству

L 1

(Rn ),

эквивалентен

вопросу,

верно ли, что © ч (F)^ ен L 1 / T 1 ( R n ) ;

и так как

т ) < 1 ,

то

показатель

1/г) больше

единицы.

Пусть г — индекс,

сопряженный

1/т], а именно 1/r + r ) = 1. Следовательно, нам нужно

оценить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup *( < S „ ( / 0 V ) < P

 

 

 

 

 

 

где

ф

пробегает

подходящее

плотное

подмножество

элементов

в U(R") с ||ф||г<1.

 

 

неотрицательных

бесконечно

диф­

 

Выберем ф из множества

ференцируемых

функций

на Rn

с компактным

носителем,

таких,

что

|| ф И,

1. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% (Пц

(*) =

j * J А (| F Г (/, у)) г/1 "" Л ^

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J / -ф(л:, f, y)A(\FC(t,

y))y^ndtdy,

272

 

 

Гл.

VII.

Возвращение

к

теории гармонических

функций

 

 

где

г|) (х,

t,

у)

есть

характеристическая

функция

конуса

Г (х) =

= {| х /1 <

у}.

Если

Ру

(х) —• ядро

Пуассона,

то

^(х,

t,

у)у~п^

сРу

(х),

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ®^(F?(x)(?(x)dx^c

 

 

Ц Ф О ,

y)MF(x,

 

y)\nydxdy,

(36)

где

ф(х, у) — интеграл

Пуассона

от ф,

т. е. Ф(ЛГ,

у) =

у

* ф) (х).

Заметим,

что

имеет

место

следующее

дифференциальное

тожде­

ство: если

Д(Л) =

0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛД (В) =

А ( А В ) - 2 %

 

дА

 

дВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-$*--§§-.

 

 

 

Пусть

А =

у(х,

у),

B =

]F(x,

г/) р

(у =

х0); тогда

правая

часть (36)

мажорируется

постоянной,

умноженной

на

 

 

 

 

 

 

 

 

\lb(<f\F\v!)ydydx

 

+

 

 

 

2J\\4\FP\-\V(f\ydydx.

 

 

 

R n + 1

 

 

 

 

 

 

 

R ^ + l

 

 

 

 

 

 

 

 

Левый

интеграл

в

этом

выражении

может

быть

оценен

с по­

мощью тождества (31), применение которого законно в силу

предположений,

сделанных относительно F. Значение его равно

j\F(x, 0)\ц<р(х,

0)dx, и он оценивается выражением

R"

imPiMKiifii?.

 

Интеграл справа равен константе, умноженной на

 

J f

J J | V | F | 4 ( / , 0)|-|Vq>(*,

y)[yl-"dtdy\dx.

(37)

 

R "

I r w

 

 

 

 

 

J

 

Далее,

| V| F р | ^

const | F р - 1 ] VF |. Применяя

также

неравенство

для максимальной

функции

(формула (32)

на

стр. 268), полу­

чаем

sup

| F(t,

у)

|<cF*(х), где

f F*(х)dx^A\\F||,.

Наконец,

 

 

 

 

 

Rn

 

 

 

 

Д | F I4

^ const I F p~

I V.F12 .

Окончательно,

используя

неравенство

Шварца, получаем, что (37) мажорируется константой, умножен­ ной на

[ (F* (х))4'2 (^n (F))n/2 S (ф) dx.

 

 

 

 

 

§

3.

Применение

к теории

-пространств

273

Применим

к этому

интегралу

неравенство

Гёльдера, записанное

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

Л 1 Л 2 Л 3 ^ < М 1 1 1 р 1 1 М 2 11й1Мз11й,

 

 

 

 

 

 

и"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

l/pi +

 

1/р2

+

1/Рз =

P i = P 2 =

2/r]

и

р 3

= г

 

(вспомним, что

1/г +

л =

О-

Мажоранта

тогда

равна

|| F* ||?/2

Ц®„

(F) |f2|| 5 ( Ф ) |L,

что в свою

очередь

не превосходит

константы,

умноженной на

ll Р ll]1'2II ®ц

(F)

С2-

Это

верно

по

следующим

двум

соображениям:

во-первых,

 

||S (ф)||r

^

Л || ф ||r ^

Л

(г >

1)

в силу

результатов гл. I I I ,

во-вторых,

 

как

уже

указывалось,

Ц F* \\ ^

Л || F

 

 

В

конечном

 

счете

мы

получаем следующее:

 

 

 

|| (5, (F) 1С =

sup

Г © ч

(F) n Ф ^

<|| F |f +

Л || F ||Г || 6 , (/0 | f .

ФR

Отсюда следует неравенство (35) и тем самым неравенство (33), дающее требуемый результат для нашей функции F специального вида F + еФ, где F е Но. Предельный переход к случаю функции

Fиз Я 1 общего вида осуществляется стандартным образом.

3.3.3.Доказательство леммы о плотности. Рассмотрим лемму, которая была сформулирована без доказательства в § 3.3.1. Дока­ жем, что Но плотно в Я 1 .

Пусть / е 1 ' ( Я п )

обладает

тем свойством, что

все

Rj(f) =

f}

принадлежат L ' ( R n ) .

Это предположение означает,

конечно,

что

X,

Л

являются

преобразованиями Фурье

функций

выражения i - r - ^r f

w

из L 1 ; заметим, что этот факт является следствием равенству (0) =

=f,(0) = 0, j = l , . . . . п.

Доказательство леммы будет проведено в два этапа. Вначале

мы докажем, что для каждой функции / описанного выше вида

можно найти последовательность {f{h)}h ^ О, где f{k) имеет ком­ пактный носитель, находящийся на положительном расстоянии от

начала

координат, такую, что

/СО —*/

и Rj.(f^)-*Rj(f)

в L 1 при

k —• со.

 

 

 

 

Выберем фиксированную функцию Ф класса С°° на R™ с ком­

пактным

носителем, обладающую

дополнительно свойством

Ф(х) =

1 при \х\^. 1. Определим для каждого б >

0 преобразова­

ние Т& на D ( R n ) соотношением

( T J ) ' "

(х) = Ф (х/б) f

(х).

Ясно, что

 

 

 

T6(f)(x)

= 6n

\f(x-y)y(by)dy,

274

Г л. VII. Возвращение

к

теории

гармонических

функций

 

где ф =

Ф. Можно

также заметить, что ||re (/)||i = ^ Л | | / г д е

А не

зависит от б и f. Рассмотрим

 

TN(I

— T&)f.

При N—• со

и е~>0 это

выражение стремится к f по

норме

L ^ R " ) ,

если

f

принадлежит

замкнутому подпространству

L \ функций из L ' ( R " ) ,

преобразова­

ния Фурье которых обращаются в нуль в начале координат.

 

Для

доказательства

этого

утверждения

достаточно, принимая

во внимание равномерную ограниченность

операторов

TN(I — ТЕ),

убедиться в его справедливости на всюду

плотном

подмножестве

этого подпространства. Таким

подходящим

подмножеством

будет

множество функций

из

L L (

R

N ) ,

преобразования

Фурье которых

имеют компактный носитель, находящийся на положительном рас­

стоянии от

начала координат.

Для таких

функций /,

очевидно,

T N { I —Tt)f

= f при достаточно

больших N

и достаточно

малых е.

То, что такие функции /

плотны в замкнутом

подпространстве L\,

может быть

проверено

непосредственно с помощью элементарных

подсчетов. Или можно обратиться к теореме Винера, дающей ха-

рактеризацию

максимальных идеалов

пространства

L ^ R " ) .

В лю­

бом случае мы рассмотрим функции

 

Ти (I — T\/h) f =

f(k), при

этом

/ ( * ) - » / по норме D.

Кроме того,

£/(/<*>) =

TK (I —

TLLK) R,(f),

так

что R,{f{k))-^-Rj(f),

и мы завершили,

первый

шаг доказательства.

Теперь мы

можем

предположить, что / G E L ^ R " )

и что носитель

функции f компактен и не содержит начала координат.

Рассмотрим

стандартную регуляризацию функции /: f

* knty (kx),

где

\j) е= С0 0

имеет компактный носитель,

jtydx=l.

Заметим,

что

функции

 

R "

 

 

 

f * &"а|) (kx) принадлежат С°°

и что если k

достаточно велико, то

все они имеют общий носитель, содержащийся в компактном мно­

жестве К', находящемся на

положительном расстоянии от начала

координат.

 

Если

W

(x) =

ty(x),

то Х Р ( 0 ) = 1 ,

и

выражения

f*knty(kx)

 

являются

преобразованиями

Фурье

функций

f(x)x¥(x/k)

=

fk,

которые, очевидно,

сходятся

к /

по норме про­

странства

L 1

( R " ) . Мы

утверждаем,

что, кроме

того, Rj(fk)-+

Rj(f)•

Действительно, для любого компактного множества К' указанного

вида существует функция nij(x)

класса С0 0 ,

такая,

что irij(x) =

= i-pr

для ЛГЕЕ/С'. Пусть Mj

есть функция

из L 1

, определенная

равенством Mf (х) — ttij(x). Тогда

 

 

M,*fk

=

Ri(fk).

 

Сходимость Rj(fh)

к Rj(f)

по норме пространства L ' ( R N )

очевидна.

Ясно также, что элемент из Я 1 ,

граничные значения которого суть

(/ft, Ri(fh),

Rn(fh)),

в действительности принадлежит Но- Тем

самым лемма доказана.

 

 

 

 

Будет полезно

описать

существо леммы еще следующим обра­

зом, Рассмотрим

банахово

пространство {/ e I ' ( R " ) : Rj(f)^

^(R"),

 

 

 

§

3. Применение

к теории

Я?-пространств

 

 

 

275

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

/ ' =

1

"}

с нормой 11/11 =

11/11! +

2

II Rj(f) Ik-

Выше мы

дока-

зали такое

утверждение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С Л Е Д С Т В И Е .

Семейство

функций

/, преобразования

Фурье

кото­

рых

суть функции

класса

С°°, имеющие

компактный

носитель,

не

содержащий

 

начала

координат,

плотно

в

этом

банаховом

 

про­

странстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через Яоо соответствующее

подмножество функций /

в Я 1 . Тогда, конечно,

Я о о с г Я о С г Я 1 ,

причем

мы доказали, что

#сю

плотно в Я 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Мультипликаторные преобразования

в Я 1 . После всех

 

уси­

лий, потраченных

на

изучение

функций

S(F)

и g*k(F),

мы подхо­

дим, наконец, к результатам, которые показывают, что наши уси­ лия были не напрасны. Мы намереваемся показать, что многие

сингулярные интегральные операторы (более

широко: мультипли­

каторные преобразования),

изучавшиеся

в

гл. I I — I V ,

расши­

ряются до ограниченных операторов на

Я 1 .

 

 

 

 

 

 

 

Нам потребуется одно определение. Пусть пг(х) — функция, за­

данная на R n . Предположим, что для любой

функции F е

Я 1

мы

можем найти другую функцию F,

также из Я 1 , обладающую

тем

свойством, что

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

F (х,

y) =

F (х,

0) =

(/о (х),

/, (х),

...,/„

(*))

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

F(x,

0) =

(/„(*), . . . .

f„(*)),

 

 

 

 

( f / Г

 

 

 

 

j =

0,

1,

. . . . я.

 

 

(38)

 

(х) =

m (х) f, (х),

 

 

 

 

Тогда функция m будет задавать отображение

Тт

пространства

Я 1

в себя, определяемое

равенством

F =

Tm(F).

Если

отображение

Тт

ограничено

на Я 1 1 ) , то мы будем

говорить, что

т есть

мульти­

пликатор для Я 1 . Вопрос может быть поставлен по-другому. Мы

можем сказать, что т есть мультипликатор для

Я 1 , если

суще­

ствует постоянная

А, такая, что,

каковы

бы ни

были

функции

/о, /ь • • •, fn из D

( R » ) , fj=Rj(f0),

существуют функции f0,

/ь

..., /„

из L ' ( R n ) , определяемые равенством (38),

причем

 

 

 

2 I f/II, < л i l l //Hi-

/=о /=о

Наша теорема звучит следующим образом.

') Предположение о том, что отображение Тт ограничено на Я 1 , строго говоря, лишнее, поскольку оно вытекает из теоремы о замкнутом графике и предположения о том, что Тт определено на всем пространстве Я 1 .

276 Гл. VII. Возвращение к теории гармонических функций

 

Т Е О Р Е М А 9.

Пусть

функция

ш(х)

класса Cin+i)

на

дополнении

к

началу

координат

в

R".

Предположим,

 

что

 

 

 

 

 

 

sup

R 2 | a l - n

Г

 

_д \ a

2

dx^B

 

(39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

° < R < ° °

 

 

 

*<\x\<2R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

любого

дифференциального

одночлена

l - j j ]

, где

a =

=

( a b a2 ,

.. •, a„)

и | a I == aj +

a2 + . . .

+

a„ ^ n -+- 1.

Тогда

m есть

мультипликатор для

Я 1 , т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\Tm(F)\\l^A\\F\\l.

 

 

 

 

(40)

 

Среди операторов, которые охватываются этой теоремой, отме­

тим

следующие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Операторы

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ - • l i m

f

jM-

f (x

-

у)dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e- »0 ,

 

I У I

 

 

 

 

 

где Q — достаточно

 

Iff l>e

 

 

функция степени 0 с нуле­

гладкая

однородная

вым средним значением на единичной

сфере.

Операторы

этого

типа

появились

в § 4 гл. I I I ; к их числу

относятся операторы, опи­

санные в теореме

6

гл. I I I (стр. 92). Этот

последний

класс

опера­

торов включает в себя, конечно, преобразования Рисса и порож­ даемую ими алгебру операторов.

2) Существенный подкласс мультипликаторов, указанных в тео­

реме об LP-мультипликаторах (теорема 3 и

следствия

из

нее)

ъ гл. IV (см. стр. 114—115).

 

 

 

Одновременно доказательство показывает,

что А

СВ,

где

С — некоторая абсолютная постоянная; тем самым из теоремы мо­ жет быть непосредственно выведено некоторое обобщение, заклю­

чающееся в том, что условие принадлежности

классу

можно

ослабить и заменить некоторым условием, в

котором

фигурирует

дифференцируемость в терминах ZA Впрочем,

мы не

будем более

подробно останавливаться на этом уточнении

теоремы.

3.4.1. Теорема будет прямым следствием следующей леммы.

Л Е М М А . Пусть

функция

F принадлежит

всюду плотному

под­

пространству Яоо-

Тогда Tm

(F) е= Я 1 и

 

 

S(Tm(F))(x)^A'gl(F)(x),

.К = 2*3±.

(41)

Эта лемма доказывается в общем так же, как и соответствую­ щая лемма из § 3.2 гл. I V .

Прежде всего так как F е= Яоо, то каждая из функций f;- при­ надлежит С0 0 и имеет компактный носитель, не содержащий на­ чала координат. Ввиду того что т е № + ' ) вне начала координат,

§ 3. Применение к теории Н?-пространств 277

функция m{x)fj(х) — также класса №+*> и имеет компактный но­ ситель; следовательно, она является преобразованием Фурье функ­

ции из

L 1 . Таким образом,

в силу

определения

(38)

Tm(F)^

Нх.

Определим гармоническую функцию М(х,у),

у

>

0,

равенством

 

М (X, у)

=

J

e-2ntx-te-2n

\t\ym

до

Л

<

 

 

 

Следуя

рассуждениям

§

3.3

гл. I V , мы имеем

 

 

 

 

 

F (х,

у) = ( f m F ) (*,

у) =

| М (t, ух)

F(x~t,

у2)

dt,

у =

У 1 +

у2,

значит,

I V ( * + l ) F (х,

у) | < J I V * M (*, г//2) 11

 

 

 

 

 

 

 

(x -

t,

у12) \ dt,

(42)

 

 

 

 

R "

 

 

 

 

 

 

 

 

где V s

обозначает k-я градиент.

 

 

 

 

 

 

 

Условие (39) может быть переформулировано в терминах функ­

ции М. Следуя аналогичным

рассуждениям

из

гл. I V , мы получим

 

 

| VkM(t,

у) \^B'y-n-k,

 

 

 

 

 

(43)

 

j\t\2k\V'M(t,y)fdt^B'y-",

 

£ = «

+

1.

 

(43')

 

R "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства неравенства (41) достаточно, учитывая инвариантность относительно сдвигов, рассмотреть только начало координат. Подставляя (43) и (43') в (42) и используя неравен­ ство Шварца при k = п + 1, получим

Vk+i)F

 

(х,

у) |2 <

Ay~n-2k

I

\VF(x

— t, у/2) f

dt +

 

 

 

 

 

Ul<2y

 

 

 

 

 

 

+

Ay~»

j

\W(x~t,

 

y/2) f

I * |"2fe

dt =

/, (x, y) + 1 2 (x, y).

 

 

 

\t\>2y

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

J

J

\V«+l)F(x,

y)\2y2k-n+1dxdy^

 

 

jj

/,(*,

y)y2k-^dxdy.

\x\<y

 

 

 

 

 

/ = 1 \x\<,y

 

Для

оценки интеграла

 

 

 

 

 

\\hix,y)y*k-"+xdxdy

\x\<y

278 Гл. VII. Возвращение к теории гармонических функций

заметим,

что

при |/|^2г/ и |*|г^«/ выполняется

неравенство

/|<^3г/.

Простой подсчет показывает, что этот интеграл

оценивается

с

точностью

до

постоянного множителя

выражением

 

 

 

 

 

j }

\VF(x',

y)\2yl-"dx'dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

\х'\<6у

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J "

/ 2 ( * . у) y2k~n+l

dx

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

\х\<у

 

 

 

 

 

 

 

 

оценивается

с

точностью

до

постоянного

множителя

интегралом

 

 

 

 

J {

\WF(x',

у)?у^{-т^)Ш

 

 

dx'dy.

 

 

 

 

 

 

\х'\>2у

 

 

 

 

 

 

 

 

Оба полученных выражения мажорируются величиной (g^ (F) (0))2 S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

умноженной

на постоянную;

здесь

Л =

— .

Так

как

£ =

1, то

,

2п +

2

п

Л

 

 

 

 

 

 

£

 

 

л =

— - — .

Собирая вместе полученные оценки, убеждаемся в том,

что

 

\ \

| V

+ V > , у) |2 y2k~n+i

dxdy^

A' [gl (F)(0)] 2 .

 

 

 

 

 

 

\х\<у

привлечем

лемму

2 из

§

2.5.2

настоящей

главы

Теперь мы

(см.

стр.

258).

В результате

получим

 

 

 

 

 

S(P)(0)=*S(TmF)(0)^Agl(F)(0);

после сдвига на произвольное х это дает неравенство (41). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 9 завершается следующим образом. Из теорем 7 и 8 немедленно следует, что || 7^(^)111 ^ Л U ^ l l i , где

Яоо и А не зависит от F.

Ограниченный оператор Тт, определенный на Яоо, может быть расширен до ограниченного оператора на всем пространстве Я 1 . Легко показать с помощью предельного перехода, что это расши­ рение, удовлетворяет определяющему свойству (38). Таким обра­ зом, теорема 9 доказана полностью.

§ 4. Дальнейшие результаты

4 . 1 . Имеются результаты, аналогичные

результатам

§

I ,

когда

верхняя

полуплоскость R^.+ 1

заменяется

единичным

шаром

B n

+ l

в

R " + I ,

границей

которого является

единичная сфера

5" .

Пусть 0> (х,

у)

сферическое ядро

Пуассона,

 

 

 

1 — I х I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у)

= с*

>

 

, J H

 

 

 

 

 

 

 

 

\x

y [ n + L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

4.

 

Дальнейшие

результаты

 

 

 

 

 

 

279

( | # | < 1 .

\y\-l)

 

 

и

(У)

~

индуцированная

лебегова

мера

на

 

Для

л ю б о й

функции

/ e L p

(Sn,

da)

 

интеграл

Пуассона

равен

и (х)

=

j

& {х,

у)

f (у)

da

(у).

Тогда

справедливо

следующее. Пусть

и — гармоническая

функция в

B n

+ l .

 

 

а)

Функция

и

есть

интеграл

Пуассона

функции

из

L

p , 1 < р <Г оо,

тогда

и

только

тогда,

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

\ i / P

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О-

"

 

 

 

"

 

 

" " '

оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Функция и есть интеграл Пуассона конечной меры на 5 " тогда и только

тогда,

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup

 

Г | и (гу)

| da(у)<

 

оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

Функция

и

есть интеграл Пуассона конечной положительной меры на

Sn

тогда

и только

тогда,

когда

и ^ О в В ^ 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При любом из вышеуказанных условий нетангенциальный предел функции и

(соответствующим

образом определенный) существует почти всюду на

S n .

 

 

4.2. Пусть

 

функция

 

и(х,у)

 

гармоническая в R " +

1 ;

и(х,у)

^ 0

тогда

и

только тогда, когда она

имеет

 

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и ( * > # ) = •

J

Ру

(х — 0 dp

(t) +

ау,

 

а >

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

djx — неотрицательная

борелевская

мера,

для

которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

d\i

(t)

 

< o o .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ (i + m2)(n+1>/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание:

использовать

§

4.1, с ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Тот факт,

что из нетангенциальной ограниченности следует существова­

ние почти в каждой точке нетангенциальных пределов

(теорема

3),

был

обоб ­

щен в нескольких направлениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Достаточно предполагать, что в рассматриваемых точках данная гармо­

ническая

функция

нетангенциально ограничена снизу (Карлесон [1]).

 

 

 

 

 

б)

Эти результаты

могут

быть распространены на случай областей с липши-

цевой

границей

(Хант и Виден [1]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.Пусть d\i — любая неотрицательная мера на R " + 1 , обладающая тем

свойством,

что

p. ( Q ) < ! с ( d i a m Q)n для

любого

куба

Q в R + + 1 , касающегося

границы R".

 

 

 

 

Пусть

и (х,

у) — интеграл Пуассона

функции

из if

( R n ) . Тогда

См. Карлесон [2], а также

Хёрмандер [4].

 

 

 

 

Можно доказать, что

этот результат

является следствием

обычной

теоремы

о максимальных функциях (теорема 1

гл. 1). Действительно,

пусть

Ф(х,у)

и

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ