книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

270

Гл. VII.

Возвращение

к теории

гармонических

функций

Таким образом,

используя

неравенство Шварца,

получаем

j

g{ (F +

еФ) (х) dx <

с Г V . 4 1 | F +

еФ ||,.

Искомое

неравенство (29) и, следовательно, теорема 7 получаются

при е - > 0 .

3.3.2.

Доказательство

теоремы 8.

Рассмотрим

наряду с опера­

®,

(F)(x)=(jjyl-nA(\F

f)

(у,

t) dy

dt

\V (x)

где

Г (х) — наш

базисный

конус:

Г(*) =

{(*, у):

\

x-t\<y}.

Семейство ® ? ( F ) определено корректно,

поскольку

в

силу леммы

из

§ 3.1

А(| F Г) > 0

при

q > 1

~ ~ .

Сделаем

следующие

замечания относительно

<5? . Прежде

всего

e2(F)

=

V2S(F),

(а)

ибо

A|/r |2 =

2|V/7 |2 в

силу

леммы

из

§

3.1. Вдобавок

к

этому

© ? удовлетворяет некоторым свойствам выпуклости

относи­

тельно

q,

а

именно

eq(F)^c((Bqo(F))l-e(^qi(F)f,

(Р)

когда

qt > (п — 1)/п

и

l/q =

(1 — Q)/q0 +

0/?,

при

О < 0 < 1 .

Кон­

станта

с

зависит от q0,

qt

и 0, но не зависит

от

F.

Неравенство

(Р)

является

следствием

неравенства

Гёльдера

и

леммы

из

§ 3.1.

В действительности

из

этой

леммы

следует, что

функция

А\ F f

сравнима

с

| F f~21

VF f,

и, таким

образом, &q(F)

ведет себя

как норма

\ F\

в

V.

После этих предварительных рассуждений перейдем к основной

части доказательства. Доказывая

неравенство

B||F||,<||S(f)lli,

Fs=H\

(33)

мы

проделаем

тот же путь, что

и

при доказательстве

теоремы

7.

А именно, мы предположим, что

вместо

F

имеется

F +

еФ,

где

F^Ho,

а функция Ф, такая, как

описано

выше. Для

упрощения

обозначений

примем, что функция

F уже приведена к

требуемому

272

Гл.

VII.

Возвращение

к

теории гармонических

функций

где

г|) (х,

t,

у)

есть

характеристическая

функция

конуса

Г (х) =

= {| х — /1 <

у}.

Если

Ру

(х) —• ядро

Пуассона,

то

^(х,

t,

у)у~п^

сРу

(х),

следовательно,

J ®^(F?(x)(?(x)dx^c

Ц Ф О ,

y)MF(x,

y)\nydxdy,

(36)

где

ф(х, у) — интеграл

Пуассона

от ф,

т. е. Ф(ЛГ,

у) =

(Ру

* ф) (х).

Заметим,

что

имеет

место

следующее

дифференциальное

тожде­

ство: если

Д(Л) =

0, то

ЛД (В) =

А ( А В ) - 2 %

дА

дВ

-$*--§§-.

Пусть

А =

у(х,

у),

B =

]F(x,

г/) р

(у =

х0); тогда

правая

часть (36)

мажорируется

постоянной,

умноженной

на

\lb(<f\F\v!)ydydx

+

2J\\4\FP\-\V(f\ydydx.

R n + 1

R ^ + l

Левый

интеграл

в

этом

выражении

может

быть

оценен

с по­

предположений,

сделанных относительно F. Значение его равно

j\F(x, 0)\ц<р(х,

0)dx, и он оценивается выражением

R"

imPiMKiifii?.

J f

J J | V | F | 4 ( / , 0)|-|Vq>(*,

y)[yl-"dtdy\dx.

(37)

R "

I r w

J

Далее,

| V| F р | ^

const | F р - 1 ] VF |. Применяя

также

неравенство

для максимальной

функции

(формула (32)

на

стр. 268), полу­

чаем

sup

| F(t,

у)

|<cF*(х), где

f F*(х)dx^A\\F||,.

Наконец,

Rn

Д | F I4

^ const I F p~

I V.F12 .

Окончательно,

используя

неравенство

274

Г л. VII. Возвращение

к

теории

гармонических

функций

где ф =

Ф. Можно

также заметить, что ||re (/)||i = ^ Л | | / г д е

А не

зависит от б и f. Рассмотрим

TN(I

— T&)f.

При N—• со

и е~>0 это

выражение стремится к f по

норме

L ^ R " ) ,

если

f

принадлежит

замкнутому подпространству

L \ функций из L ' ( R " ) ,

преобразова­

ния Фурье которых обращаются в нуль в начале координат.

Для

доказательства

этого

утверждения

достаточно, принимая

во внимание равномерную ограниченность

операторов

TN(I — ТЕ),

убедиться в его справедливости на всюду

плотном

подмножестве

этого подпространства. Таким

подходящим

подмножеством

будет

множество функций

из

L L (

R

N ) ,

преобразования

Фурье которых

стоянии от

начала координат.

Для таких

функций /,

очевидно,

T N { I —Tt)f

= f при достаточно

больших N

и достаточно

малых е.

То, что такие функции /

плотны в замкнутом

подпространстве L\,

может быть

проверено

непосредственно с помощью элементарных

рактеризацию

максимальных идеалов

пространства

L ^ R " ) .

В лю­

бом случае мы рассмотрим функции

Ти (I — T\/h) f =

f(k), при

этом

/ ( * ) - » / по норме D.

Кроме того,

£/(/<*>) =

TK (I —

TLLK) R,(f),

так

что R,{f{k))-^-Rj(f),

и мы завершили,

первый

шаг доказательства.

Теперь мы

можем

предположить, что / G E L ^ R " )

и что носитель

функции f компактен и не содержит начала координат.

Рассмотрим

стандартную регуляризацию функции /: f

* knty (kx),

где

\j) е= С0 0

имеет компактный носитель,

jtydx=l.

Заметим,

что

функции

R "

f * &"а|) (kx) принадлежат С°°

и что если k

достаточно велико, то

все они имеют общий носитель, содержащийся в компактном мно­

жестве К', находящемся на

положительном расстоянии от начала

координат.

Если

W

(x) =

ty(x),

то Х Р ( 0 ) = 1 ,

и

выражения

f*knty(kx)

являются

преобразованиями

Фурье

функций

f(x)x¥(x/k)

=

fk,

которые, очевидно,

сходятся

к /

по норме про­

странства

L 1

( R " ) . Мы

утверждаем,

что, кроме

того, Rj(fk)-+

Rj(f)•

вида существует функция nij(x)

класса С0 0 ,

такая,

что irij(x) =

= i-pr

для ЛГЕЕ/С'. Пусть Mj

есть функция

из L 1

, определенная

M,*fk

=

Ri(fk).

Сходимость Rj(fh)

к Rj(f)

по норме пространства L ' ( R N )

очевидна.

Ясно также, что элемент из Я 1 ,

граничные значения которого суть

(/ft, Ri(fh),

Rn(fh)),

в действительности принадлежит Но- Тем

самым лемма доказана.

Будет полезно

описать

существо леммы еще следующим обра­

зом, Рассмотрим

банахово

пространство {/ e I ' ( R " ) : Rj(f)^

^(R"),

Т Е О Р Е М А 9.

Пусть

функция

ш(х)

класса Cin+i)

на

дополнении

к

началу

координат

в

R".

Предположим,

что

sup

R 2 | a l - n

Г

_д \ a

2

dx^B

(39)

5

° < R < ° °

*<\x\<2R

для

любого

дифференциального

одночлена

l - j j ]

, где

a =

=

( a b a2 ,

.. •, a„)

и | a I == aj +

a2 + . . .

+

a„ ^ n -+- 1.

Тогда

m есть

мультипликатор для

Я 1 , т. е.

\\Tm(F)\\l^A\\F\\l.

(40)

Среди операторов, которые охватываются этой теоремой, отме­

тим

следующие.

1) Операторы

вида

/ - • l i m

f

jM-

f (x

-

у)dy,

e- »0 ,

I У I

где Q — достаточно

Iff l>e

функция степени 0 с нуле­

гладкая

однородная

вым средним значением на единичной

сфере.

Операторы

этого

типа

появились

в § 4 гл. I I I ; к их числу

относятся операторы, опи­

санные в теореме

6

гл. I I I (стр. 92). Этот

последний

класс

опера­

реме об LP-мультипликаторах (теорема 3 и

следствия

из

нее)

ъ гл. IV (см. стр. 114—115).

Одновременно доказательство показывает,

что А

СВ,

где

чающееся в том, что условие принадлежности

классу

можно

ослабить и заменить некоторым условием, в

котором

фигурирует

дифференцируемость в терминах ZA Впрочем,

мы не

будем более

подробно останавливаться на этом уточнении

теоремы.

Л Е М М А . Пусть

функция

F принадлежит

всюду плотному

под­

пространству Яоо-

Тогда Tm

(F) е= Я 1 и

S(Tm(F))(x)^A'gl(F)(x),

.К = 2*3±.

(41)

заметим,

что

при |/|^2г/ и |*|г^«/ выполняется

неравенство

\х—

/|<^3г/.

Простой подсчет показывает, что этот интеграл

оценивается

с

точностью

до

постоянного множителя

выражением

j }

\VF(x',

y)\2yl-"dx'dy.

\х'\<6у

Аналогично

интеграл

J J "

/ 2 ( * . у) y2k~n+l

dx

dy

\х\<у

оценивается

с

точностью

до

постоянного

множителя

интегралом

J {

\WF(x',

у)?у^{-т^)Ш

dx'dy.

\х'\>2у

Оба полученных выражения мажорируются величиной (g^ (F) (0))2 S

2k

умноженной

на постоянную;

здесь

Л =

— .

Так

как

£ =

1, то

,

2п +

2

п

Л

£

л =

— - — .

Собирая вместе полученные оценки, убеждаемся в том,

что

\ \

| V №

+ V > , у) |2 y2k~n+i

dxdy^

A' [gl (F)(0)] 2 .

\х\<у

привлечем

лемму

2 из

§

2.5.2

настоящей

главы

Теперь мы

(см.

стр.

258).

В результате

получим

4 . 1 . Имеются результаты, аналогичные

результатам

§

I ,

когда

верхняя

полуплоскость R^.+ 1

заменяется

единичным

шаром

B n

+ l

в

R " + I ,

границей

которого является

единичная сфера

5" .

Пусть 0> (х,

у)

— сферическое ядро

Пуассона,

1 — I х I2

у)

= с*

>

, J H

\x

—

y [ n + L

§

4.

Дальнейшие

результаты

279

( | # | < 1 .

\y\-l)

и

(У)

~

индуцированная

лебегова

мера

на

Для

л ю б о й

функции

/ e L p

(Sn,

da)

интеграл

Пуассона

равен

и (х)

=

j

& {х,

у)

f (у)

da

(у).

Тогда

справедливо

следующее. Пусть

и — гармоническая

функция в

B n

+ l .

а)

Функция

и

есть

интеграл

Пуассона

функции

из

L

p , 1 < р <Г оо,

тогда

и

только

тогда,

когда

\ i / P

^

<

О-

"

"

" " '

оо.

б) Функция и есть интеграл Пуассона конечной меры на 5 " тогда и только

тогда,

когда

sup

Г | и (гу)

| da(у)<

оо.

в)

Функция

и

есть интеграл Пуассона конечной положительной меры на

Sn

тогда

и только

тогда,

когда

и ^ О в В ^ 1 .

При любом из вышеуказанных условий нетангенциальный предел функции и

(соответствующим

образом определенный) существует почти всюду на

S n .

4.2. Пусть

функция

и(х,у)

гармоническая в R " +

1 ;

и(х,у)

^ 0

тогда

и

только тогда, когда она

имеет

вид

и ( * > # ) = •

J

Ру

(х — 0 dp

(t) +

ау,

а >

0,

R™

где

djx — неотрицательная

борелевская

мера,

для

которой

f

d\i

(t)

< o o .

{ (i + m2)(n+1>/2

Указание:

использовать

§

4.1, с ) .

R

4.3. Тот факт,

что из нетангенциальной ограниченности следует существова­

ние почти в каждой точке нетангенциальных пределов

(теорема

3),

был

обоб ­

щен в нескольких направлениях.

а) Достаточно предполагать, что в рассматриваемых точках данная гармо­

ническая

функция

нетангенциально ограничена снизу (Карлесон [1]).

б)

Эти результаты

могут

быть распространены на случай областей с липши-

цевой

границей

(Хант и Виден [1]).

свойством,

что

p. ( Q ) < ! с ( d i a m Q)n для

любого

куба

Q в R + + 1 , касающегося

границы R".

Пусть

и (х,

у) — интеграл Пуассона

функции

из if

( R n ) . Тогда

См. Карлесон [2], а также

Хёрмандер [4].

Можно доказать, что

этот результат

является следствием

обычной

теоремы

о максимальных функциях (теорема 1

гл. 1). Действительно,

пусть

Ф(х,у)

и