Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

260

Гл. VII. Возвращение к теории гармонических

функций

3.1.1.При доказательстве леммы мы воспользуемся обозначе

ниями

F • G =

«о • v0 +

«, • и, +

. . . +

unvn,

где У7 =

(«0 ,

Щ,

ип)

G =

(v0, vx

* vn),

и,

кроме

того,

FXj=-^-%

тогда | VF |2 =

*у I2.

Д а л е е

> -£r(F-G)

FX}-G

+ F-

GXj;

поэтому

1=0

Следовательно,

JL\Ff

q(q-2)\F

Г*

(FX} -F)2 +

q\F Г

8 {| FXj

| 2

. + FXjXj

• F).

Суммируя по

и принимая во

внимание, что Fxaxa

+ Fxlxl + • •

• • • + рхпхп

получаем

b\Ff = q\Fri[{q-2)?i{FxrFf

\FfyZ\Fxi\i\.

Поэтому остается только

сравнить выражения

(q-2)21(FxrFy

\F\*2l\FXj\2

(22)

Согласно

неравенству

Шварца 2

(^, • Л 2 < [ | F |2

I Fx.

I2 , по-

этому выражение

(22) не превышает

|.F|2| V / 7 ] 2

при q ^

2 и не пре

вышает (<7 — 1) |F|2 | V F | 2

при о ^ 2 . Это показывает, что Д | 1 9 <|

^ C g j / 7 ^ - 2 ^ / 7

! 2 .

Подобным же образом оценка

выражения

Л j ,F |«

снизу при q ^

2 является простой и не использует на полную

мощ

ность

условия

Коши — Римана

(18). Предположим

теперь, что

q <

2. В этом случае решающую роль играет следующее

уточнение

неравенства

Шварца:

Ъ(Р*ГП2<(^ТТ)\Г\2%\РХ]\\

(23)

которое мы вскоре докажем. Считая, что оно верно, мы видим, что выражение (22) ограничено снизу выражением

	1
Подставляя эту	оценку в	равенство для А [ F f,	получим, что
MFf^cq\Fr2\W\2,	где C	q = q \ \ + {q-2)(-^p[)]	при q^2.

§ 3. Применение к теории

HP-пространств

261

Лемма будет полностью доказана после того, как будет установ лено неравенство (23); в этом доказательстве обобщенные усло вия Коши — Римана будут использованы во всей полноте.

3.1.2.		Заметим		прежде всего, что		достаточно доказать				(23)	в
частном		случае, когда функции и0, ии				ип	действительнозначны,
т. е. когда рассматриваемые гильбертовы пространства									одномерны.
Переход к общему случаю осуществляется путем введения какого-
либо ортонормированного базиса.
Пусть		теперь Ж = (пг^)—матрица				порядка (n-f- 1 ) Х ( " + 1),
элементы которой mjh действительны. Рассмотрим две нормы для
таких	матриц. Первая — это				обычная	норма	\|\| Ж II	=	sup\|^#(Т7) \|,
супремум берется по всем векторам F единичной длины. Вторая —
норма		Гильберта — Шмидта			\|\|\|л?\|11>		задаваемая			равенством
III Л IIP	— 2		I tnik ?•	В силу	неравенства Шварца			очевидно,			что
IIЛ II ^		/.	к		теперь, что матрица Ж симметрична
	III	Л III. Предположим
и имеет след, равный нулю. Тогда мы можем усилить это нера
венство:
				1 1 ^ 1 Р < ( 7 Г Т т ) \| М 1 И 2 -						( 2 3 ' )

Для доказательства неравенства (23') заметим, что обе нормы инвариантны относительно ортогональных преобразований, и после подходящего выбора базиса в ( п + 1 ) - м е р н о м евклидовом про странстве мы можем считать, что симметричная матрица Ж диагональна; пусть диагональные элементы суть Яо, Яь . . . , Яп . Так как

след матрицы Ж равен нулю, то 2						^ / ^ 0. Поэтому^/, = —					2 ^/5
					/ =	0				/	Ф /о
значит,		по	неравенству	Шварца		Я2,	2	А/	и, следовательно,
							/ Ф и
			'					i
Это	и есть		неравенство	(23') в случае диагональной						матрицы. Со
гласно		сказанному выше,			неравенство		(23') доказано тем				самым
и для любой симметричной матрицы со следом, равным нулю.
Для		F =	(«о. " ь	« n ) положим				ди.		Обобщенные
							tnik—"~fa'		k

условия		Коши — Римана			(18) означают в			точности,		что матрица
=	(trijh)		симметрична	и след ее равен нулю. Теперь нетрудно ви
деть, что из (23') следует					(23); тем самым			лемма	полностью		дока
зана.
3.2. Нр — пространства,					в частности		пространство			НК По анало-

логии с классической теорией определим n-мерный вариант про

странства	Харди	следующим образом. Пусть вектор F =
= (и0, ыь	« n )	удовлетворяет обобщенным условиям Коши-^

262	Гл.	VII. Возвращение		к	теории	гармонических		функций
Римана	(18)	в R + + 1 . При		р>0	скажем, что F < = Я P , если
		sup	/ (\F(x,		y)\pdx)llP		< o b .			(24)
Обозначим написанное			выше		выражение		через	II Flip . При		р~^\
это есть	норма.
На основании леммы из § 3.1 будет доказано, что некоторые
элементы классической			теории		{п =	1) Я^-пространств могут				быть
								. п— 1
распространены на случаи				п	измерении		при р>	;	что	осо
бенно интересно для наших				целей, сюда входит случай р =					1. Для

того чтобы понять проистекающие отсюда следствия, рассмотрим

сначала //^-пространства при

1 < р <

с о .

Итак, предположим,

что

F <= Нр'.

Тогда

силу

следствия

из

1.2.1 существует

такой

набор функций

/ 0 ,

/ ь

/ 2 ,

/„, каждая

из

которых

принадлежит

Lp(R"),

что

функции

Uj(x,

у)

суть

инте

гралы

Пуассона

от

/ =

п.

Согласно

§ 4.4

из гл. I I I ,

fj =

Rl(f0),

где

Ri,

/?а,

^„ — преобразования

Рисса.

Обратно,

пусть

/ 0 e Z / ( R N ) ,

и пусть

Rj{f0)

и функции

и,(х,

у)

суть

инте

гралы Пуассона о т / / , / =

О, 1,

п. Тогда F = («о,

ип) <= Я р ;

более

того,

|| /„ ||„ <

|| F ||р < Ар

|| f0 ||р.

эквивалентность

про

итоге

при

1 <

оо

установлена

странств HP

И пространств

L P ( R " ) .

При р =

1 эквивалентность

не имеет места; можно рассматри

вать

пространство Я 1

как

пространство,

заменяющее

L ! ( R N ) .

На

шей целью будет показать, что в данном контексте различные ре зультаты, которые перестают выполняться для L 1 , имеют варианты, справедливые для Я 1 . Тем самым теоремы о пространстве Я 1 мож но рассматривать как результаты, представляющие собой в неко

тором смысле аналоги и дополнения							результатов		гл. I и I I , касаю
щихся слабого		типа	(1.1). В первой				теореме такого рода речь идет
по существу о максимальных функциях.
Теорема	6.	Пусть		F ^	H	1 . Тогда предел			lim F (х, у) = F (х)
существует	почти всюду			и	по	норме	L 1 ( R " ) .	Кроме		того,
f	sup\F(x,		y)\dx^Asup				\\F{x,	y)\dx =		\\F\\l.
						J ' > 0 R	"

Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, мы сфор мулируем несколько следствий, которые более ясно покажут содер жание теоремы.

Пусть diio есть конечная мера на R " . Мы будем говорить, что преобразованием Рисса Rj(dno) является также мера, скажем, dnj,

§	8. Применение к теории Н?-пространств	263
если выполняется	равенство
		(26)
где Д0 и р/ обозначают соответственно преобразования		Фурье

мер d\x0 и d\ij. Это определение, конечно, согласуется с обычным

определением

в силу

тождества

(8)

из гл. I I I (см. стр. 72).

В качестве частного случая этого определения мы можем рас

смотреть случай, когда diiQ

= f0dx,

где

/ 0

< = L ' ( R n ) .

Скажем

тогда

по аналогии, что R] ( f 0 ) s L l

(R"), если существуют такие // ss L l ( R n ) ,

что fi

(x) =

i - r j r f 0

(*)•

С Л Е Д С Т В И Е

1. Пусть с?ц0 есть конечная

мера

все

ее

преобра

зования Рисса

также суть конечные меры

Rt(dnQ)

йц/,

/ = 1,

п.

Тогда

существуют

такие

функции

f0,

/„

из

L 1 (R"),

что

dni =

f/dx,

} = 0,

п.

Пространство Н1

изоморфно

пространству функций

из L 1

(/?"),

обладающих

тем

свойством,

что

Rj(fQ)

е= L 1

(R),

/== 1

п.

Норма

в Я 1

эквивалентна

норме

! l / o l l i +

2 l l t f / ( / o ) l l i .

Это пространство функций f0 состоит на самом деле из «дей

ствительных

частей»

граничных

значений

функций

F из

Я 1 . Пред

ставляется заманчивым называть это банахово пространство также

Я 1	в тех случаях, когда			нет опасности		спутать	его с первоначально
определенным		породившим			его пространством		функций F,
	С Л Е Д С Т В И Е	2.	Пусть	f0	е= L 1 (R")	и Rj (/0)	е L 1 (R"),	Rj(J0)=fh
/ =	1, . . . . п.	Тогда
		п
	3.2.1. Докажем		теорему		6 и следствия из		нее. Начнем	с того,

что предположим, как это мы уже делали, что каждая из функций щ, входящих В вектор F — (uQ, ии . . . . « „ ) , принимает значения в фиксированном конечномерном гильбертовом пространстве; назо

вем его V\. Нам понадобится также другое конечномерное						гильбер
тово пространство КгРассмотрим их прямую сумму					V =	Vl®V2;
V\ и V2	суть ортогональные дополнения друг к другу				в	V.
Подберем,		далее,	фиксированную	вектор-функцию,		заданную
на R + + 1 ,	Ф(х,	y) =	(v0{x, у), У , ( Х , у),	.... vn{x, у)),	такую, что
функции	v{ принимают значения в У 2			и

264

Гл.

VII. Возвращение

к теории гармонических

функций

1) V] удовлетворяют условиям

Коши — Римана (18);

2) |Ф(*. у)\ = с\(х,

у+1)Гп-1

с(\х\2

(у+1)Г(п+т.

Для этого

будем

считать, что V2 — обычное

(п + 1)-мерное

координатное

пространство

и что Н (х, у) — гармоническая

функ

ция

\(х,у+

1) Г +

1 =

(| х |2 +

(у +

и2 )-( "-1 ) / 2 .1)

Для

любого

положим

Тогда

< Э 2 Я

/ = 0

fc=0 '

дх,

дх.

Нетрудно убедиться, что выполняются

свойство 1) и свойство 2)

с с2 — (п2 — 1) (п2 — п).

Далее, для любого

е > 0

определим

функцую

равенством

(х,

y) =

F(x, у + е) +

еФ (х, у).

(26)

Если

мы запишем

Fs(x, y) =

(ueQ(x,

у),

tfn(x,

г/)),

то

и* (*. У) = "/ (х, У + е) + во, (Л;, г/),

и, таким образом, функции ы/ принимают значения в Vx@V2 = V. Заметим также, что координаты и) вектора Fe удовлетворяют условиям Коши — Римана и что вектор-функции Fe непрерывны на R l + 1 .

В силу

наших предположений

относительно

F и в силу след

ствия

из § 1.2.1 настоящей

главы

мы можем

утверждать, что

каждая из функций

и/(х, у)

есть

интеграл Пуассона

от конечной

меры. Таким образом, легко видеть,

что для любого

фиксирован

ного е каждая из функций ut(x,

у + е) стремится

нулю при

\(х, ^ / ) 1 _ > 0 ° . (х, у) ^

R + + 1 . То же

самое

справедливо

относи

тельно

координат

вектора

Ф (в

силу

свойства

2)), и,

значит,

I Fе (х> У) I

О П Р И

I (х, у) |-> °°

R+ + 1 . Вдобавок

этому

\Fe(x,

У) f = I F (х, у +

е) р + е2 | Ф (х, у) f > О в

силу

ортогональ

ности

Vx и V2 в V. Таким

образом, функция | Fe

р гладкая, и мы

можем

применить

лемму

из § 3.1 с q ——^—.

результате

получим,

что A ( | F e | ?

) > 0

всюду.

Положим

ge(x) = \Fs(x,

0)f

(\F(x,

) | 2 +

8 2 | Ф ( ^ ,

0)р) ? / 2 .

')" Здесь и всюду в дальнейшем в этой	главе мы предполагаем, что п > 1.
В случае п = . 1 рассуждения необходимо	несколько модифицировать.

		§ 3.	Применение		к теории		Н? -пространств			265
Тогда
	J " t e e ( * ) ) 2 d * =			^^(x,0)\dx<\lF\\l				+	e\\O\\l,	(27)
	и"		R "
где	p—\lq;	здесь	важно,	что		тем	самым	р >	1. Пусть ge(x, у)
есть	интеграл	Пуассона от		g E . Мы утверждаем,					что
		I Гг (х,	У) Г <	§г (х,		У),	(х, у) е	R"++ I .		(28)
Чтобы убедиться в справедливости (28), заметим, что как Fe,										так и
ge непрерывны в R + + 1 , причем					Fe	обращается в нуль на бесконеч
ности. Имеем		А(\| Fe	\i — g e ) ^		0,	и,	следовательно, в силу			прин

ципа максимума из приложения В достаточно проверить, что нера

венство (28)	выполняется на границе у = 0. Фактически там	имеет
место даже	равенство; значит, неравенство (28) доказано.
Выберем	теперь подпоследовательность из семейства	{gz(x)},

е—• (), которая		слабо сходится к функции g из L ? ( R n ) . В силу			(27)
II g	Ир ^ 1 1 F [\|].	Если g(x,y)	обозначает	интеграл Пуассона от	g, то
из	(28) следует, что
		\F(x,	y)f<g(x,	у).	(28')

Далее, согласно теореме о связи интеграла Пуассона и макси мальной функции (см. гл. I I I , стр. 77), мы имеем

sup | Р (х, у) \" < sup g (х, у) < {Mg) (х)

У>0

у>0

и, следовательно,

Тем самым доказано основное утверждение теоремы 6. Суще ствование почти всюду предела WmF(x, у) следует из того, что

этим свойством обладает интеграл Пуассона от конечной меры		(см.
§ 4.1 гл. I I I ) .
Сходимость почти всюду к	F(x) может быть доказана,	если
обратиться к неравенству (28'),	которое показывает, что функция

F(x,y) почти всюду нетангенциально ограничена; далее нужно при менить теорему 3 из настоящей главы.

Наконец, сходимость по L'-норме есть следствие сходимости почти всюду и только что доказанного неравенства, содержащего

максимальную функцию,					поскольку оно показывает, что			функция
\| F (х,	у)	\| ограничена сверху фиксированной суммируемой						функцией.
Для		доказательства			следствия	1 заметим	просто,	что	если
U/(x,	у)	суть	интегралы		Пуассона	от мер d\is	и d\ij = Rt(d\i0),		то
функция		F =	(u0,	ип)	удовлетворяет условиям Коши —Римана,


266		Гл.	VII.	Возвращение	к теории		гармонических	функций
Кроме		того,	sup\|\|И;(х, y)\\is=\\d\iJ\\<				оо и поэтому Fе		Я 1 . Пусть
f,(x)	=	йно\\mul{x, у)\ существование				предела (по L'-норме) гаранти
ровано		теоремой.		Если (1/ и f / — преобразования Фурье от d\it
и //	соответственно, то (ц(х,				у)) =		(х) е~2п 1х 1у .	Таким	образом,
fri (x)e~2nlx*y->fj(x)				при г/ - *0 .		Следовательно,		A/W = f / ( J t ) и

dnj — fi dx.

Следствие 2 вытекает из сказанного выше: достаточно заметить,

что если d\it~f/(x)dx,		то II dp./II = II//II].
3.3.	Интеграл площадей		и пространство НК		Для		функции
f <== V	(R") мы изучали	в гл. I V , а также частично				в	настоящей
главе, три вспомогательных			связанных между собой			выражения,
а именно
	g(f)(x),		S(f)(x),	gl(f)(x).
Они были определены следующим				образом. Если	и(х,		^ — инте
грал Пуассона от f, то
			J" y\Vu(x,	у)\Чу
и				У)I2(тттттГу1'пdtdy
si(/)()•=(/Лv "(-*>				У)I2(тттттГу1'пdtdy

Для того чтобы определить интеграл S, необходимо зафиксиро вать конус, фигурирующий в определении. Для дальнейшего будет удобно взять в качестве этого конуса обычный прямой круговой конус. Таким образом, мы задаем интеграл S формулой

			S(f)(x)	= f j j \ 4u(x-t,		y)?yx-"dtdy
				\\t\<y
Мы видели в гл. I V , что g (/)(х) <					cS (/)(x)KcKgl		(/)(х),	и доказали
в теоремах			1 и 2, что
			Bp\\f\\p<\\g(f)\\p<c,\\gl(f)l<ApiJf\\p
при 1 <		р < о о , когда К ^ 2 .
Нашей			целью	будет дать обобщение этих фактов				на случай
/ з = 1	в	терминах		пространства	Я 1	и применить это		обобщение
ниже	в	§	3.4.

§	3. Применение к теории Н*'-пространств	267
Пусть F €= Нр,	1=^р; определим по аналогии интегралы	S(F)(x)~
и gl (F) (х):


gl	(F) (x) = l\\\VF(x-t,			у) f ( т т п г у Г у1~П d t d y				T •
Вновь, конечно, S (F) (x) ^				cKg*% [F)(x).		Мы доказали		следующие
результаты.
ТЕОРЕМА		7. Если	Fe=HP,	1 < р < о о ,		то \\gl(F)\\		<ApX\\F\\
при р>2/Х.		В частности, \|\| S (F) \\р < Ар\\ F\\р.					Р		'	?
ТЕОРЕМА 8. Пусть F<=HP,				1 < р <	со. Тогда		Bp\\F\\p*Q\ S(F) \\р.
Можно		показать, что результаты			этого типа		остаются		справед
ливыми и при р>(п—			1)/п (см. ниже § 4.9), но и в данной						форму
лировке теорема и ее доказательство					вполне типичны.
Интерес		к этим	теоремам	связан	у нас со случаем			р = = 1,		по
скольку та часть теорем, которая соответствует							р > 1, содержится
в результатах гл. IV. В последующих рассуждениях								мы ограни
чимся поэтому случаем р = 1.
3.3.1.	Доказательство теоремы 7.				При доказательстве				этой	и
последующих теорем будет очень удобно ограничиться								рассмотре
нием подкласса в HP, который мы сейчас						определим.

Пусть Но состоит из всех функций F, для которых

1)F<=HP;

2) функция F непрерывна в R+ + 1 и быстро убывает на беско нечности, так что произведение pF ограничено на R + + 1 для любого полинома р от переменных х\, ..., хп и у;

3) свойство 2) выполняется также для частных производных от F по Х\, ..., хп и у любого порядка.

Для наших целей важен следующий факт.
ЛЕММА. Множество Но плотно в пространстве	Нр, 1 ^ р < о о .
При 1 < р < со доказательство леммы может	быть дано с по

мощью непосредственного предельного перехода, поскольку преоб

разования Рисса	непрерывны в L P . Отсутствие непрерывности при
р = 1 усложняет	дело для этого	важного	частного	случая, но
именно этот случай и интересует		нас здесь.	Отложим,	однако, до

казательство леммы до § 3.3.3 и перейдем непосредственно к дока зательству теорем 7 и 8.

Предположим, что лемма верна; тогда нам нужно доказать, что

* > 2 > F ^ H l - (29)

Будет полезно в этом месте еще упростить нашу задачу, заменив F на F + еФ по аналогии с доказательством, проведен-

268

Гл.

VII.

Возвращение

теории

гармонических

функций

ным в § 3.2.1. Следует напомнить, что

координаты

вектор-функ

ции Ф ортогональны координатам вектор-функции F, что они

удовлетворяют

условиям

Коши — Римана

что

|Ф(л:,

у)\ =

с\(х,

у -+- 1) Г " - 1 .

(Для

дальнейшего

надо

также

отметить,

что

|V<D| =

c'|(*. у+

1)\~я'2.)

возмущения

еФ, — конечно,

избавиться

от

Основная

цель введения

нулей функции

действительно, | F +

еФ |2 = | F р +

е21 Ф |2 > 0.

Итак, нашей целью является доказательство неравенства

(19), где

заменено

на F +

еФ.

Наши рассуждения будут модификацией рассуждений, приве

денных для случая р >

1 в § 2 гл. IV и в особенности

в § 2.5.2

той

же главы. Проведем подробную параллель.

Лемма

1 (стр. 104) будет заменена

неравенством

C . f / ^ r ' l

VF | 2

> A ( f

F [ - £ |

|2,

•

(30)

которое является частным случаем леммы из § 3.1

настоящей

главы.

Лемма 2 (стр. 104) будет переформулирована с

небольшим

изменением.

Пусть

функция

непрерывна

R + + 1

класса С 2

в R + + I ,

у AG ^

L l (Rn++\

dydx)

\G(x,

г/) К I

(х,

у) Г~\

i V G

(х,

у)

| <

А | (х,

у)

Г " " 1 _ Е ,

где е >

Тогда

yAGdxdy=

j" G(x,

0)dx.

(31)

R »+i

R «

Наконец, вместо леммы 3 о максимальной функции и ее вари

анта неравенства

(24)

(см. стр. ПО)

мы

будем

иметь

следующее

утверждение.

Для

любого фиксированного

ц, достаточно близкого

1, ц, <

| F (х -

у)

| <

(1 + 1t \ly)n>»FI (х),

J Р1 (х)

dx КА»\\Р||,.

(32)

R *

Действительно,

согласно

неравенству

(24)

из

гл. I V , мы

имеем

\g(x-t,

y)\<A(l

M.JM{g)(x),

где g(x,

у)

есть

интеграл

Пуассона

произвольной

функции

g(x).

Привлечем

оценку

(28'),

именно

| F (х, у) \" ^.g

(х,

у),

где

g(x)=\F(x,

0)f.

Выберем

q =

n<l.

Тогда

I F (х -

у)

| = Аш

(1 +

| /

\ J y ) m

Mh'»

(g),

Применение

теории

И к-пространств

269

неравенство

(32) доказано

r(x)=AmMll*(g)(x);

если

учесть,

что при p=l/q

|| g fP <|| F ||,.

С какого бы фиксированного X,

X > 2,

мы ни начинали, мы

можем

найти такие

Л ' > 1 и u. < 1, где ц достаточно

близко к Ь

что Х' = Х— 1/р,. Положим

/ • ( * ) =

{ ^ - " ( у ^ т т т Г n

№ ( x - t ,

y)dtdy,

R n + 1

где G(x,

у) =

\ F(x,

у) +

еФ(х,

у) |. Заметим (как и в § 2.5.2 гл. I V ) ,

что

I*(x)dx

ck,

J" j y A G { t ,

y)dtdy

cx,

G(t,

0)dt =

R "

R ^ 1

R "

cK,

\ F (x, 0) +

еФ (x,

0) I dx,

R "

если

только

мы

убедимся в том,

что G удовлетворяет требова

ниям,

наложенным

при выводе

равенства (31).

Поскольку

функция

F е Но,

она

быстро

убывает

вместе

со

всеми

своими

частными

производными;

при этом

\Ф(х,

у)\ =

с|(х,

у + \)Гя~1

|УФ(х,

у)\ =

с'\(х,

у + 1)Г"~ 2 -

Следова

тельно,

в силу (30), где вместо

F взята функция

F + еФ, получаем

Д | ^ + в Ф | < Л | ( * , г / + 1 ) Г ~ 3 .

Отсюда

следует,

что у AG е

Z,1 ( R + + I , dy dx).

Аналогично

|G(x, г / ) | < Л | ( х ,

у + О Г " - 1

|VG(x, г / ) | < Л | ( х ,

г/ +

1 ) р - 2 .

Далее, снова в силу (30)

(F +

еФ)2

(х) <

l -

j , ' -

( - ^ ^ г т т Г G A G

rf/ ^ *

R ^ 1

Последний

интеграл мажорируется с~'Г (х) F* е (х) ввиду (32); здесь

sup(тйгутт)^

G{ х

U у )

П 8 W

. I .. I I * I

U У

II ^ . elk < Л И ' 7 + «Ф lli-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ