книги из ГПНТБ / Мурзин В.С. Множественные процессы при высоких энергиях

§ 4.5. УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ

Даже в тех редких случаях, когда в реакциях множественного рождения удается идентифицировать и измерить все продукты реакции, анализ затруднен очень большим числом переменных.

Рассмотрим реакцию

а + Ъ су+ ... + сп.

Очевидно, что для описания движения каждой частицы необходимо задать три переменные е*, р \, р*±, т. е. всего 3п переменных. За­ коны сохранения уменьшают число независимых величин:

Поэтому матричный элемент, описывающий данную реакцию, за­ висит от 3« — 4 независимых величин. Даже вычисление интеграла по фазовому пространству при постоянном матричном элементе

в области высоких энергий р± ограниченно и много меньше р \ . Основываясь на этом опытном факте, Ван Хов [23] предложил проводить анализ эксклюзивных реакций на базе продольного фазового объема. При достаточно высокой (но фиксированной) энергии каждая частица будет описываться лишь одной переменной Pu;. Законы сохранения накладывают еще одно ограничение на чис­ ло независимых переменных и, следовательно, число измерений сво­ дится к п — 1. Поэтому в простейшем случае, когда имеется три частицы, реакцию можно изобразить на двумерной диаграмме, откладывая значения р\ * вдоль трех осей, направленных под уг­ лом 120° (рис. 4.4, а).

Точка на диаграмме рис. 4.4, а изображает трехчастичную реакцию, причем проекции точки на каждую из осей отсекают на на ней импульсы соответствующих частиц. В каждой точке на плос­ кости автоматически выполняются законы сохранения. Рассмот­ рим некоторую точку Р на плоскости. Она может быть однозначно описана полярными координатами г и со. Очевидно, что

2 p ? i-

107

Энергия каждой частицы равна

= т1+ P*L + рГ

з

нию с р |, имеем 2 \Р*\і | = s1/2. Это дает кинематическую границу

І—1

для трехчастичной реакции на графике. Если перейти к введенной

1

Рис. 4.4. Диаграмма Ван Хова. Представления продольного фазового пространства для трех- и четырехчастичных реакций:

а — шестиугольник для трехчастичной реакции; б — экспериментальные точки для

3—р^ —m —0.

108

ранее переменной х, то положение границы на графике не будет зависеть от s. Действительно,

і І * Н 2 -

І = 1

Если учесть /пг и р_£г-, то граница области будет располагаться ближе к центру диаграммы и определяться условием

І iPlf + m j + / ? l ] i / 2 = s i/2.

i= 1

Малость p± означает, что реальные события будут концентрировать­ ся вблизи границы области (рис. 4.4, б). Таким образом, периферичность взаимодействий (связанная с малым значением р±) приоб­ ретает на графике Ван Хова буквальный смысл — точки, изобра­ жающие события, тяготеют к периферии графика. Поэтому распре­ деление принимает одномерный характер, так как лишь немногие события имеют широкое распределение по г. Представление Ван Хо­ ва можно сделать одномерным, проектируя точки, расположенные на плоскости, на кинематическую границу, т. е. представляя рас­ пределение плотности точек в функции угла (угла Ван Хова).

Практически метод продольного фазового пространства приме­ нялся для трех, четырех и пяти частиц в конечном состоянии.

Для представления четырехчастичной реакции мы должны изобразить одновременно три независимых продольных импульса и, следовательно, использовать трехмерное пространство, в котором четыре плоскости пересекаются в одной точке, а кинемати­ ческие границы образуют 14-стороннюю пространственную фигуру, развертка которой показана на рис. 4.4, в. Из-за малого рх реаль­ ные события сосредоточены вблизи поверхности этого тела и сечение может быть записано в зависимости от двух полярных углов Ван Хова. Такие пространственные диаграммы имеют меньшую наглядность, чем двумерные.

Рассмотренный метод Ван Хова применим лишь к эксклюзивным опытам и поэтому мы в дальнейшем его использовать не будем. Однако введенный Ван Ховом анализ продольных импульсов явля­ ется основой инклюзивного рассмотрения.

§ 4.6. РА ЗЛ И Ч Н О Е ПРЕД СТАВЛЕН И Е Д А Н Н Ы Х

Из-за большой сложности явлений множественной генерации проблема представления данных имеет первостепенное значение. Хорошее представление данных — такое, когда сохраняются или подчеркиваются динамические эффекты, а влияние кинематических устраняется или уменьшается. По выражению Бьоркена [24], задача сводится к проектированию многомерного пространства параметров на пространство приемлемого числа измерений. При­ мерами такого проектирования являются метод Ван Хова и инклю-

109

В зависимости от соотношения величин различных переменных можно выделить ряд характерных областей.

Расмотрим вначале область, где s, t, и велики. Из определений t и и вытекает, что это соответствует малым значениям Зьс и, сле­ довательно, малым продольным импульсам в С-системе. Таким образом, мы имеем дело с центральной областью, далекой как от частицы-мишени, так и от налетающей частицы. Как мы видели в §4.5, эту область удобнее изучать в С-системе в переменных у* =

=ln Ни.

При больших и, t и s, как нетрудно показать прямым вычисле­ нием,

Диаграмма Фейнмана для этого процесса изображена на рис. 4. 1,6. Этот случай называют двойным реджевским пределом. Предпо­ лагая реджевское поведение амплитуды и учитывая (4.53), запишем для амплитуды трехчастичного процесса при больших и и t:

іа

Поскольку, как показано на диаграмме рис. 4.1, обмен осущест­ вляется вакуумными полюсами, можно принять, что главную роль

Считая ap (0) « 1, найдем, что в области малых х (т. е. в цент­ ральной области) структурная функция не зависит от s и от у. Следовательно, она является универсальной функцией р± , завися­ щей лишь от природы рассматриваемых вторичных частиц. От­ сутствие зависимости от у означает наличие центрального плато.

Рассмотрим теперь другой случай, когда импульс частицы с мал в L-системе при s-> оо. Это означает, что t тоже мало, пос­ кольку

Поэтому, фиксируя ес, мы получаем t = const и M2/s = const. Ясно,что М 2 — масса системы (be) — велика и растет с увели­ чением s, a t — мало. Это означает, что фейнмановская диаграмма

имеет вид, показанный на рис. 4.1, б.

111

Проведя рассуждения так же, как и в случае центральной об­ ласти, найдем:

турной функции называется скейлинговым или масштабно-инва­ риантным.

Таким образом, как в центральной области, так и в области X ~ —1 структурная функция не зависит от энергии первичной частицы. Аналогичное рассмотрение и с тем же результатом можно провести и для значений х, прилегающих к х ~ +1*. Конечно, полученный вывод существенно зависит от предположений об обмене полюсом Померанчука с а? (0) = 1.

Некоторые авторы [26] считают,что ар (0) может быть меньше 1. В результате в формуле (4.57) и в асимптотике сохранится слабая зависимость от s. Распространена, однако, и точка зрения, что ра­ венство ар (0) = 1 является фундаментальным.

4.7.2. Автомодельность

В. А. Матвеев, Р. М. Мурадян и А. И. Тавхелидзе, исходя из подобия свойств адрон-адронного взаимодействия и плоского взры­ ва в газовой динамике, исследовали асимптотическое поведение ад­ ронных инклюзивных сечений на основе анализа размерностей.

Обратив внимание на существенно различное поведение попе­ речного и продольного импульсов при изменении s, авторы ввели продольную и поперечную размерности (Ац и Lj_) для аргументов

* Рассматривают также так называемый тройной реджевский предел,

112

структурной функции (h = с = 1). Тогда основная гипотеза форму­ лируется следующим образом: «При высоких энергиях не существует ни одного фиксированного параметра, имеющего продольную раз­ мерность. Все существенные параметры, в том числе массы, эффек­ тивные радиусы и другие, имеют чисто поперечную размерность»

[27]. Поэтому любые физические величины должны быть однород­ ными функциями аргументов, имеющих продольную размерность

(.принцип автомодельности).

Отсюда следует, что безразмерные величины, такие, как мно­ жественность и коэффициент неупругости, не должны зависеть от s, поскольку s имеет продольную размерность (s » 4/?||). Аналогично полное сечение и средний поперечный импульс, имеющие попереч­ ную размерность, не должны зависеть от s.

Рассмотрим теперь инклюзивное сечение для реакции

а + b с + ...

e*cjpi^f(p±c, Р\с, s).

В качестве переменных удобно ввести инвариантные величины — скалярные произведения 4-импульсов [27]:

е* do/dp*c=f (sp s2/s)= /(p c, р'Урца) = f (pj_c, x),

что совпадает с формулой (4.62), полученной в однократном реджевском пределе при ар (0) = 1.

В области пионизации р*|с ~ р*±с, и определенную размерность имеет лишь произведение s ^ . Использовав опять принцип автомо­ дельности, получим

Это выражение совпадает с (4.55) при ар (0) = 1.

Таким образом, принцип автомодельности оказывается эквива­ лентным мюллер-реджевскому рассмотрению при ар (0) = 1 .

4.7.3. Мультипериферические модели

Предсказания, подобные тем, которые следуют из мюллер-ред- жевского рассмотрения, были еще раньше сделаны Амати и др. [28] и Вильсоном [29] на базе мультипериферической модели. Основная идея мультипериферической модели состоит в сведении процессов большой энергии к совокупности процессов низкой энергии. Эта

113

модель и ее многочисленные разновидности неоднократно рассмат­ ривались многими авторами. В результате были получены различ­ ные конкретные качественные, а иногда и количественные выводы [26—36 и др. ]. Мы рассмотрим лишь некоторые общие результаты мультипериферических моделей [34].

Рождение частиц в мультипериферической модели часто описы­ вают так называемой лестничной диаграммой, которая изображена на рис. 4.1,5. В этой диаграмме происходит взаимодействие и об­ разование новых частиц в результате обмена пионами или другими частицами. Если представить себе взаимодействие точечных частиц, то сечение их взаимодействия будет пропорционально квадрату их длины волны и, следовательно, уменьшаться с энергией в:

Это означает, что появление больших значений эффективных масс двух взаимодействующих частиц в мультипериферической цепочке маловероятно. Таким образом, можно считать, что инвариантная масса двух соседних частиц s; І + 1 (расположенных в середине диаграммы рис. 4.1,5) мала:

где s квадрат энергии сталкивающихся частиц в С-системе (частицы расположены в порядке убывания их импульсов). Величина siii + 1 равна

/+ 1

соседними частицами, поскольку частицы, далеко отстоящие в мультипериферической цепочке, имеют резко различные импульсы. Поэтому р±і = —Р±і+і- Следовательно,

Предположив, что можно ограничиться этими двумя членами, под­ ставим (4.66) в формулу (4.65). Тогда (при рх < р й)

114

Поскольку si} по условию конечно, то и отношение рщ/рщ+і тоже конечно. Пусть это отношение равно

Частицы в диаграмме ничем не выделены и значение Дг одного по­ рядка вдоль цепочки*.

Таким образом, мультипериферическая модель предсказывает более или менее равномерное распределение отношений рщ и/?ц,-+ і.

Следовательно, из мультипериферической модели вытекает равно­ мерное распределение частиц по переменной у. Этот вывод не спра­ ведлив при малых у, так как в этой области нельзя считать, что P_l « р л. Однако при высоких первичных энергиях доля таких частиц (с малыми у) невелика.

Из формулы (4.15) следует, что максимальное значение г/макс — = уа (в L-системе):

уа = ln (s/mamb).

Следовательно, средняя множественность равна

т. е. логарифмически зависит от энергии.

Серьезной трудностью модели является обеспечение постоянства сечения, его независимости от энергии. Если постулировать постоян­ ство сечения для всей мультипериферической цепочки, то логич­ но считать, что оно будет постоянным и для достаточно крупных ее участков. Можно показать, что в этом случае корреляции должны быть малы, если расстояние между элементами цепочки велико. Если корреляции исчезают уже на малых расстояниях (по у), то час­ тицы рождаются независимо, и для них распределение множествен­ ности будет пуассоновским (корреляции отсутствуют, Сг = 0).

Втеоретическом плане это означает факторизацию полной амплиту­

*В других вариантах мультипериферической модели, где вводятся в рас­ смотрение неприводимые блоки, т. е. в узлах і, j и т. д., генерируется сразу

много частиц, это может не выполняться. Распад блоков обычно описывается

по статистической модели [37, 38].

115

ды, которая может быть представлена как произведение сомножите­ лей, описывающих отдельные узлы мультипериферической цепочки.

Для получения детальных свойств взаимодействий не удается ограничиться обменом одиночными пионами и приходится вводить более сложные обмены.

В работе Амати и др. [28] и в ряде других исследований рассмат­ ривалось парное рождение частиц в узлах мультипериферической цепочки. В этом случае в рассмотрении участвуют субэнергии si;- этих пар.

Одним из вариантов моделей такого рода является мультипери­ ферическая модель, рассмотренная И. М. Дреминым, И. И. Ройзеном и Д. С. Чернавским [31, 33]. Указанные авторы выделили в мультипериферической цепочке однопионные обмены, а все ос­ тальные типы обменов, не конкретизируя, объединили в «неприво­ димые блоки». В такой модели сохраняется логарифмический рост числа блоков с энергией, однако отсутствует равномерное распре­ деление частиц по у. Существующая в этой модели группировка частиц в шкале у отождествляется авторами с гипотетическими образованиями — файерболами. Масса неприводимых блоков и квадраты передаваемых между ними 4-импульсов остаются ограни­ ченными при s —>• оо. Рассматриваемый в данной модели файербол не является каким-либо тяжелым резонансом. Более того, он обла­ дает свойствами классической системы. Сечение взаимодействия в этой модели получается растущим. Основным математическим аппаратом модели является уравнение Бете—Солпитера (см. ра­ боту [33]).

К мультипериферическим моделям примыкают мультиреджионные, в которых рождение частиц происходит в результате обмена реджионами. В качестве примера можно рассмотреть часто цити­ руемую в экспериментальной литературе модель Чу и Пиньотти І39] в одномерном варианте (при пренебрежении р±) [40].

Рассмотрим реакцию

а + b С\ + ... + с,

При условии реджевского поведения амплитуд мы можем на­ писать для сечения взаимодействия і-й и і + 1-й частицы в мульти­ периферической цепочке

116