книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Однако несмотря на трудности в осуществлении метода на ЭВМ среднего класса, а может быть, и благодаря им, в тео­ рию метода были внесены усовершенствования, которые су­ щественно повысили эффективность метода в решении боль­ шого круга задач науки и техники. Наиболее значительные усовершенствования связаны с привлечением для расчетов условных вероятностей процессов и статистических весов, оп­ ределяемых на основе информации о решениях сопряженных уравнений по отношению к существенным функционалам за­ дач. Такие методы на порядок, а в некоторых случаях и на два порядка, уменьшили дисперсию ошибки и, следовательно, на порядок и два порядка сократили время счета по сравне­ нию с методами прямого статистического моделирования.

В настоящее время ЭВМ третьего поколения создали необ­ ходимую базу для активного применения этого метода к раз­ личным сложным задачам математической физики. Метод Монте-Карло уже имеет солидные позиции в теории переноса излучения, задачах массового обслуживания, кубатурных и интерполяционных процессах, решениях интегральных урав­ нений и систем алгебраических уравнений. В последнее время он начинает использоваться для решения нелинейных уравне­ ний Больцмаиа, в задачах линейного программирования и т. д.

Большой вклад в теорию и алгоритмы решения задач ма­

гих. Простой и универсальный, метод Монте-Карло несомнен­ но станет активным средством вычислительной математики.

Условно корректные задачи. При решении задач матема­ тической физики численными методами важную роль играет корректность постановки исследуемой задачи. Понятие кор­ ректности было введено в начале века Адамаром. Известно большое число классических задач математической физики, поставленных корректно по Адамару. В связи с более глубо­ ким изучением различных задач естествознания и техники возникла проблема решения так называемых условно коррект­ ных задач. А. Н. Тихонов 1 1 6 1 сформулировал требования, ко­ торые оказываются естественными в постановке задач, некор­ ректных по Адамару. Сущность этих требований состоит в том, что в условия постановки задачи добавляется априорное пред­ положение о существовании решения и принадлежности его заданному компакту. Для установления условной корректно­ сти необходимо доказать теорему единственности.

Широкий цикл исследований по условно корректным зада­ чам проведен М. М. ЛаврентьевымП 6 1 . Различные аспекты теории условно корректных задач математической физики рас-

вычислительных методов линейной алгебры оказали ЭВМ, ко­

мым методом линейной алгебры обычно понимают метод, ко­ торым можно решить задачу за конечное число арифметиче­ ских действии. В вычислительной линейной алгебре прямые методы играют важную роль при решении систем линейных уравнений, вычислении обратных матриц и детерминантов. Прямые методы позволяют с помощью ряда элементарных преобразовании получить разложение исходной матрицы в произведение двух, каждая из которых легко обращается.

Классическими примерами прямых методов служат метод исключения Гаусса, методы вращения и отражения. Вторую группу составляют так называемые методы сопряженных на­

этих авторов положили также начало развитию методов, ос­ нованных на ортогонализацни.

В последние годы прямые методы получили значительное развитие в первую очередь благодаря исследованиям Д. К. Фаддеева, В. Н. Фаддеевой, В. Н. Кублановской'8 1 , Бауэра1 8 1 , Хаусхолдера1 3 1 , Уилкинсона1 8 1 , Хеиричи1 4 1 , Форсай­ та, Молера1 8 1 , Голуба1 9 1 , В. В. Воеводина1 8 1 и других.

Большой проблемой по-прежнему остается решение систем уравнении с плохо обусловленными матрицами, которая тес­ но связана с решением условно корректных задач математи­ ческой физики. Сложность проблемы обусловлена сильной чувствительностью решения к точности задания элементов матрицы и компонентов вектора правой части системы. Хотя уже получен ряд важных результатов, тем не менее это толь­ ко начало большого научного поиска, который должен завер­ шиться созданием общей теории.

И т е р а ц и о н н ы е м е т о д ы . Важнейшим средством ре­ шения задач линейной алгебры являются итерационные ме­ тоды, активное развитие которых привело к созданию ряда хороших алгоритмов, эффективно реализуемых на ЭВМ. Этот прогресс в первую очередь был вызван необходимостью ре­ шать задачи математической физики, экономики и управле­ ния, приводящие к системам большого порядка с матрицами специального вида. Прямые методы в большинстве случаев оказываются бессильными при решении таких задач, хотя каждый новый этап в развитии вычислительной техники и расширяет их возможности.

К настоящему времени определились некоторые направ­ ления в построении итерационных методов; мы ограничимся рассмотрением только двух из них. Первое основано на ис-

на каждом шаге. Скорость сходимости этих методов не ниже методов, использующих полиномы Чебышева. Существенным является также то, что такие методы сходятся как для сим­ метричных, так и несимметричных матриц при условии их положительной определенности. В последнее время удалось построить ряд эффективных методов типа минимальных не­ вязок для положительно полуопределенных матриц.

Важным обстоятельством, сдерживающим до настоящего времени развитие нестационарных вариационных методов, является необходимость хранить большее, по сравнению с чебышевскимн методами оптимизации, количество промежу­ точной информации.

В последнее время развиваются итерационные методы, в которых сочетается подход спектральных и вариационных оптимизаций. В. И. Лебедев сформулировал условия на опе­ раторы задач, для которых итерационный процесс имеет неулучшаемую оценку числа арифметических операций. Раз­ вивается еще один метод выбора оптимальных параметров итерации, основанный на вероятностном подходе. Ряд инте­ ресных результатов в этой области получен Ю. В. Воробь­ евым1 9 1 . До сих пор не утратил своего большого значения ставший уже классическим метод верхней релаксации Янга — Френкеля1 1 0 1 . Исследования этого метода обобщены в моно­

Остановимся на итерационных методах решения полной проблемы собственных значений для общих матриц. Рас­ смотрим только степенные методы, поскольку именно здесь в последнее время получены существенные результаты, чем мы обязаны исследованиям Уилкинсона1 8 1 , Бауэра1 8 1 , Коллатца1 3 1 , В. В. Воеводина1 8 1 , Френсиса1 8 1 , В. Н. Кублановской1 8 1 , Эберлейна1 8 1 и многих других.

Степенные методы основаны на последовательном приве­ дении исходной матрицы с помощью унитарных преобразо­ ваний подобия (метод Якоби, Q/3-алгорифм) или преобразо­ ваний подобия с треугольными матрицами (Lfl-алгорифм) к матрице, собственные значения которой легко вычисляются. Такими матрицами являются диагональная, треугольная или блочно-треугольная, порядки диагональных блоков которой не выше двух.

рифма (В. Н. Кублановская1 8 1 , Френсис1 8 1 ) и обобщенного ме­ тода вращений (В. В. Воеводин1 8 5 ) позволяет говорить о ре­ шении проблемы для произвольных матриц. Наиболее интен­ сивно в настоящее время разрабатываются различные моди­ фикации Q^-алгорифма.

Прогресс в развитии проблемы собственных чисел имеется также в связи с работами в области расчета ядерных реак­ торов, стимулировавшими изучение итерационных методов, решения частной проблемы собственных чисел для неотри­ цательных матриц. Основы теории заложены в трудах Пер­ рона, Фробениуса и значительно развиты в исследованиях Варги'3 1 , Трауба1 8 1 и других.

по количеству арифметических действий и объему памяти, которые требовались для их реализации, то теперь к этим характеристикам еще добавилась точность. Это означает, что анализ ошибок округления при реализации метода на ЭВМ стал одной из составных частей алгоритма.

Начало исследованиям в этой области положено работами Неймана. Систематическое изучение ошибок впервые было проведено Уилкинсоном[ 8 ] . Основу математического аппарата Уилкинсона составил метод эквивалентных возмущений, с по­ мощью которых получены оценки норм возмущений для всех преобразований линейной алгебры и построены оценки норм эквивалентных возмущений для большого числа методов.

Параллельно с методом эквивалентных возмущений ин­ тенсивно развивалась статистическая теория анализа ошибок. Результаты, полученные Н. С. Бахваловым1 8 1 , В. В. Воеводи­ ным1 8 1 , Г. КимС 8 1 и другими, положили начало исследованию действительного распределения ошибок округления. Несом­ ненно, что статистические методы сыграют большую роль в анализе ошибок округления вычислительных методов.

К о м п л е к с ы с т а н д а р т н ы х п р о г р а м м . Следстви­ ем успехов, достигнутых в вычислительной линейной алгебре, явилась разработка высококачественных стандартных про­ грамм для решения систем линейных уравнений и нахожде­ ния собственных значений. Так, например, в журнале Numerische Mathematik уже опубликовано большое число различ­ ных процедур, которые широко используются как для решения

Указанная проблема несомненно привлечет внимание ис­ следователей и результатом их усилий должно явиться соз­ дание универсальной вычислительной системы решения задач линейной алгебры. Можно указать, по крайней мере, на две

тенденции, которые уже наметились в развитии этого на­ правления: одна связана с тщательной отработкой комплексов алгоритмов и программ решения общих задач, другая состо­ ит в создании универсальных методов, адаптирующихся к конкретным особенностям классов задач. Обе тенденции край­ не интересны, поскольку прокладывают пути к системе универсального проблемно-ориентированного математического обеспечения для ЭВМ четвертого и последующих поколений.

Вопросы оптимизации численных методов. Важной целью вычислительной математики является отыскание наиболее быстрых и экономически выгодных методов решения задач, т. е. оптимизация вычислительных алгоритмов. Проблему оптимизации решения при заданных ограничениях необходи­ мо изучать с помощью общих математических теорем и оце­ нивать минимально возможные затраты на решение конкрет­ ной задачи из заданного класса пли суммы задач. Рассмо­ трение одной изолированной математической задачи оптимизации большей частью не решает практического воп­ роса. Однако умея находить условный экстремум, т. е. наи­ лучший способ решения при заданных возможностях и средствах вычислений каждой локальной задачи, мы тем самым подходим к решению общей проблемы. Эта концепция теории оптимизации вычислительных методов, сформулиро­ ванная И. Бабушкой и С. Л. Соболевым'2 0 1 , достаточно хо­ рошо отражает существо поставленной проблемы.

Во многих случаях, однако, построить оптимальный алго­ ритм не удается, хотя и оказывается возможным построить алгоритм, близкий к оптимальному. Такая ситуация типична, например, при построении асимптотически оптимальных ал­ горитмов. Можно отметить, что в настоящее время именно теория асимптотических оценок является эффективным сред­ ством решения проблем оптимизации алгоритмов для раз­ личных классов задач.

Наиболее развитой, с точки зрения теории оптимизации, к настоящему времени, пожалуй, является теория кубатурных формул, разработанная С. Л. Соболевым'1 -2 0 1 , И. Бабуш­ кой [ 2 0 ] . В их работах задача оценки кубатурных формул при­ водится к решению задачи отыскания минимума линейного функционала ошибок. Получены оценки ошибки кубатурных формул с правильной решеткой на классах периодических фи­ нитных и бесконечно дифференцируемых функций. Методы ис­ следования существенно используют асимптотические оценки приближений. Теории кубатурных формул посвящены исследо­ вания Н. С. Бахвалова 1 2 0 1 и И. М. Соболя, связанные с опти­ мальными оценками сходимости кубатурных процессов, с ме­ тодами интегрирования типа Монте-Карло, а также с отыска­ нием наилучших способов численного интегрирования.

Несколько иной подход к построению кубатурных формул на основе теоретико-числового анализа, заложенный трудами И. М. Виноградова1 2 0 1 , развивается в работах Н. М. Коробо­ ва' 2 0 1 , где строятся формулы, точные для конечных тригоно­ метрических полиномов, и даются оценки погрешностей на классе периодических функций.

А. Н. Колмогоров1 2 0 ' ввел в рассмотрение ряд понятий теории множеств общего характера, позволяющих найти оцен­ ку границы для необходимого числа действий при решении вычислительных задач. Особое значение такие оценки имеют для направленного поиска алгоритмов в тех случаях, когда асимптотики сверху и снизу расходятся. Для линейных диф­ ференциальных операторов, имеющих вполне непрерывный обратный, им дана оценка числа необходимых для решения действий. Эта оценка позволяет находить алгоритмы, асимп­ тотически близкие к оптимальным по числу арифметических действий.

- Н. С. Бахваловым1 2 0 1 исследован комплекс алгоритмов ре­ шения задач математической физики конечно-разностными методами. В частности, им даны оценки снизу количества дей­ ствий при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа. С помощью специально построенной сетки получена оценка сверху, а также оценки числа действий в методах Писсмана — Рэчфорда"5 1 и Дугласа — Рэчфорда П 5 1 . Исследован метод Янга — Франкеля1 1 0 1 и других.

Интересное направление в оптимизации решения задач математической физики развивается в работах В. И. Лебе­ дева1 9 .1 5 1 на основе исследования разностных методов решения классов задач. В качестве основного минимизируемого функ­ ционала рассматривается цена алгоритма и энтропия. С по­ мощью этого метода рассмотрены некоторые задачи теории переноса.

При решении проблемы оптимизации зачастую приходится абстрагировать от многих факторов, таких как методы округ­ ления чисел в процессе реализации алгоритма, особенности осуществления арифметических операций в регистрах конк­ ретных ЭВМ и т. д. Между тем, именно эти факторы в ряде случаев определяют эффективность алгоритма. Следователь­ но, здесь необходимо говорить уже об оптимизации вычисли­ тельного процесса.

Изучению теории вычислительных процессов и их оптими­

тельных процессов, которое отражает тот факт, что при уве­ личении длины последовательности вычислений точность вы­ числений должна увеличиваться по степенному закону. На

k

основе теории afc-последователы-юстей было введено понятие локальной и глобальной устойчивости численных процессов, которое позволило провести анализ большого круга реальных алгоритмов вычислительной математики.

В последние годы возникло направление в теории оценки точности реального алгоритма на ЭВМ, получившее название интервальной арифметики, разработанное в трудах Мура 1 2 0 1 , Никела1 2 0 1 и других. Основная цель интервальной арифметики состоит в получении апостериорных оценок ошибок округле­ ния, анализируемых двукратным счетом на одной и той же ЭВМ.

Некоторые тенденции в развитии вычислительной мате­

матики. Прогресс в области вычислительной техники послед­ них лет оказал существенное влияние на многие направления вычислительных наук, проявляющих тенденцию к интеграции. Взаимосвязь средств вычислительной техники, методов вы­ числительной и прикладной математики, теории автоматиче­ ского программирования и языков становится настолько тес­ ной, что выбор стратегии в решении конкретных задач в настоящее время является проблемой первостепенной важно­ сти. Хотя оптимизация отдельных компонентов вычислитель­ ного процесса по-прежнему оказывается фундаментальным звеном теории, центр внимания все более и более перемеща­ ется к вопросам оптимизации всего вычислительного про­ цесса.

Несомненно, что именно оптимизация вычислительного процесса решения задач на ЭВМ в настоящее время является одной из центральных проблем в области вычислительных наук, которая стимулирует поиск новых вычислительных ал­ горитмов и способов их реализации.

Следующая тенденция связана с переходом от решения отдельных задач к решению классов задач и стандартизации алгоритмов. Большой поток информации, перерабатываемой ЭВМ, требует систематизации и упорядочения. Ценный опыт, накопленный в процессе решения задач науки и техники, позволяет во многих случаях ориентироваться на создание универсальных методов решения задач, способных обслужить более или менее широкие классы математически однотипных проблем. По-видимому, рациональной стратегией в этом на­ правлении является построение универсальных вычислитель­ ных алгоритмов, самонастраивающихся за счет использова­ ния апостериорной информации на оптимальный режим, для решения разнообразных и не часто повторяющихся задач и тщательная отработка специальных алгоритмов для много­ кратно повторяющихся задач. Эти два подхода взаимно до­ полняют друг друга и создают основу для экономичного ис­ пользования ресурсов общества в создании эффективной

системы математического обеспечения. В развитии теории универсальных алгоритмов, самонастраивающихся на опти­ мальный в известном смысле режим, уже сделаны первые шаги и намечены пути дальнейшего научного поиска.

Системы ЭВМ новых поколений, обладая большим бы­ стродействием и большим объемом памяти, становятся эф­ фективными хранителями ценной информации, доступной к немедленному использованию, а система коллективного ис­ пользования позволяет 'осуществить новые формы контакта человека с ЭВМ на основе диалогового режима работы. По­ этому стандартизация в построении системы математическо­ го обеспечения вообще и алгоритмов вычислительной мате­ матики в особенности, оказывается назревшей проблемой.

Создание методов математического обеспечения ЭВМ по­ ставило перед вычислительной математикой ряд новых задач, таких как построение сеток для областей сложной формы, в некотором смысле равномерно покрывающих исследуемую область определения решения задачи. Если для двумерных областей эта задача близка к эффективному решению, то для трехмерных и многомерных задач она только ставится. Проб­ лема ввода и вывода информации в ЭВМ также поставила перед исследователями ряд задач о графическом представле­ ний информации, что привело к развитию новых методов ин­ терполирования на классах функций.

Успехи в аналитических преобразованиях на ЭВМ практи­ чески подводят нас к возможности решения задач матема­ тической физики с помощью хорошо разработанных методов теории непрерывного аргумента. По мере накопления средств для проведения аналитических выкладок на ЭВМ эти мето­ ды решения задач будут все активнее проникать в сферу математического обеспечения ЭВМ. Успехи в области анали­ тических преобразований на ЭВМ создают для вычислитель­ ной математики новые возможности в разработке эффектив­ ных методов решения задач.

В заключение следует отметить, что темпы развития иссле­ дований в области вычислительной математики определяются уровнем исследований в фундаментальных областях матема­ тики. Значение фундаментальных исследований и темп их развития в эпоху технического прогресса существенно повы­ шается. Только гармоническое сочетание исследований во всех областях математики создаст необходимые и благопри­ ятные условия для саморазвития математики и ее приложений.