книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Задача (5.5), (5.6) приведена к виду, удобному для осу­ ществления численного алгоритма решения, который рассмот­ рен выше. В этом случае необходимо лишь оператор Л'! из (3.21) заменить на

Ok — oS fc| 7ft" (p., ц') d\i'

M-ft+'^sft+V,—3 sft+'/a l ТА (lliCW

где о'1" = os (1 — p.) + Ос, p. —константа, которая выбирается из условия определенности (Ah, w, w ) ^ 0 .

В заключение отметим, что принципы построения разност­ ных уравнений теории переноса, рассмотренные выше, могут быть положены в основу разработки алгоритмов решения од­ номерных задач со сферической и цилиндрической симметри­ ей, а также, что особенно важно, многомерных задач теории переноса.

Г Л А В А 8

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Высокопроизводительные электронные вычислительные ма« шины создали основу для алгоритмических построений и ши­ роких математических экспериментов во многих областях нау­ ки и техники. Это способствовало привлечению новых научных кадров к проблемам машинной математики. Ценный опыт, на­ копленный при решении прикладных задач, в дальнейшем был использован для построения эффективных методов и алгорит­ мов вычислительной математики.

Вданной главе мы кратко перечислим основные

Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разно­

стных схем. Широкое использование метода конечных разно­

(некорректной). Неустойчивая схема чувствительна к ошиб­ кам округления, допускаемым в процессе счета, и поэтому может привести к решению, значительно отличающемуся от решения дифференциальной задачи.

Эта отличительная и своеобразная черта разностных урав­ нений вызвала усиленные теоретические исследования по уста­ новлению связи между сходимостью и устойчивостью.

новной результат, получивший название теоремы эквивалент­ ности: если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является необходимым и достаточным условием сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи. В оконча­ тельном виде для абстрактного эволюционного уравнения в банаховом пространстве эта теорема сформулирована и дока­ зана В. С. Рябеньким и А. Ф. Филипповым I G 1 . Обобщение теоремы эквивалентности на случай неоднородных линейных дифференциальных уравнений дано Рихтмайером t 3 ] . Теорема эквивалентности сформулирована в терминах одной и той же нормы. Сходимость в других нормах, как правило, может быть установлена на основе теорем вложения С. Л. Соболе­ ва г п . Повышая требование гладкости к начальным данным, можно ослабить требования на устойчивость схемы, на что первыми обратили внимание В. С. Рябенький и А. Ф. Филип­ пов С 6 1 . Эта идея последовательно проведена в теореме экви­ валентности Стрэнга1 7 1 с использованием понятия слабой устойчивости.

Из исследований, связанных с поиском эффективных приз­ наков устойчивости, в первую очередь следует отметить ра­ боту Неймана и Рихтмапера ( 7 ] , в которой сформулирован ло­ кальный критерий устойчивости. Однако этот критерий верен лишь для уравнений с постоянными коэффициентами в слу­ чае самосопряженных задач, в связи с чем начались усилен­ ные поиски границ применимости локального критерия.

Лаке и Ниренберг ' и - 7 1 разработали теорию устойчивости гиперболических разностных схем в терминах так называемо­ го символа разностной схемы. В случае явных разностных уравнений символ совпадает с обычной матрицей перехода, получаемой методом Фурье, при этом локальный критерий устойчивости оказывается справедливым, если коэффициенты имеют ограниченные вторые производные по х.

Стрэнг1 7 1 сформулировал теорему сходимости для систем квазилинейных гиперболических уравнений при условии ло­ кальной устойчивости разностных уравнений, соответствую­ щих первой вариации дифференциальной системы, и доста­ точной гладкости решения.

Изучение разностных схем с переменными коэффициента­ ми связано с использованием понятия диссипативности. П р е ж ­

разностных уравнений, аппроксимирующих системы гипербо­ лических уравнений, с порядком их точности. При этом мат­ ричные коэффициенты разностных уравнений предполагаются эрмитовыми и липшиц-непрерывными как функции от х.

ему дифференциальное уравнение, называемое первым диф­ ференциальным приближением, из корректности которого сле­ дует устойчивость разностной схемы.

Весьма важный класс разностных схем составляют схемы с положительными коэффициентами, рассмотренные Фридрих-

ра семейства разностных операторов, что позволило им сфор­ мулировать необходимое условие устойчивости разностных: уравнении, хорошо вскрывающее сущность неустойчивости. Введено новое понятие ядра спектра семейства разностных операторов.

В терминах радиусов ядер спектра даны оценки норм степеней операторов семейства, причем эти оценки оказыва­ ются равномерными для всего семейства и могут быть ис­ пользованы для исследования устойчивости.

Все рассмотренные признаки устойчивости можно назвать спектральными, так как они основаны на изучении спектра разностных операторов. Эти признаки могут установить схо­ димость в норме L%. Однако предпочтительнее сходимость в норме пространства С. Доказательства устойчивости разно­

разностных аналогов уравнений параболического и гипербо­ лического типов необходимо указать на весьма общую тео­ рию, построенную А. А. Самарским [3.6>7] на основе энергети­ ческих неравенств и априорных оценок. В этой теории для широкого класса двухслойных и трехслойных схем содержат­ ся необходимые и достаточные условия устойчивости, сфор­ мулированные в виде неравенств между операторными коэф­ фициентами разностных схем. Эти условия весьма конструк­ тивны и позволяют не только исследовать схемы на устойчи­ вость, но и строить новые устойчивые схемы.

Энергетический метод основан на использовании опреде­ ления сильной устойчивости. Идея метода состоит в создании

Крайсом [ 6 1 , А. А. Самарским l 3 ] , А. Н. Коноваловым1 1 5 1 и другими.

Теория краевых разностных задач в настоящее время не находится в таком благоприятном состоянии, как задача Коши, поскольку анализ Фурье в этом случае, как правило, не­ применим.

Теория аппроксимации и сходимости с общих позиций

раторных уравнений, уделив особое внимание проблеме чис­ ленного решения интегральных уравнений.

Важное значение для теории сходимости имеет разрабо­ танная С. Л. Соболевым теория замыкания вычислительного алгоритма, широко используемая для теоретического обосно­ вания приближенных методов решения задач математической физики.

Методы численного решения задач математической физи­ ки. Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости со­ здали необходимую базу широкого поиска эффективных раз­ ностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, как правило, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в конструктивной теории конечно-разност­ ных методов обязан взаимосогласованному развитию указан­ ных двух направлении исследований.

Если попытаться суммировать богатейший опыт в разви­ тии конечно-разностных методов последних лет, то условно можно выделить следующие важные направления.

П о с т р о е н и е р а з н о с т н ы х с х е м . Одно из таких на­ правлений связано с разработкой методов построения консер­ вативных разностных схем, основанных на законах сохране­ ния, свойственных большинству физических процессов. Для конструкции консервативных разностных схем исходят из уравнений балансов, записанных для отдельной ячейки сеточ­ ной области, с последующим использованием квадратурных и интерполяционных формул. Построенные разностные урав­ нения после необходимых преобразований и суммирования по

ботах которой построены разностные операторы с разрывными коэффициентами, имеющие единый вид для любой внутрен­ ней точки области. Для обоснования алгоритма использовано понятие обобщенного решения и доказано, что решение раз­ ностной задачи образует некоторый функционал, переходя­ щий при ft->0 в функционал дифференциальной задачи.

Консервативные разностные схемы сквозного счета в гид­ родинамике разработаны С. К. Годуновым U 1 , Лаксом и Вендрофом1 6 1 на основе явных разностных аппроксимаций. Боль­

аппроксимация уравнений, записанных в дивергентной фор­ ме, на основе метода прямых. Эти методы сыграли сущест­ венную роль в формировании общего взгляда на конструк­ цию разностных схем для квазилинейных уравнений. Инте­ ресные общие подходы к интегрированию уравнений гидро­ динамики также предложены в работах К. И. Бабенко и В. В. Русанова1 1 2 3 , Фромма1 4 1 , Кроули1 4 1 , В. Ф. Куропатенко1 4 1 .

Методы сквозного счета для уравнений эллиптического и

повысился интерес к вариационным методам решения задач математической физики. Вариационные методы Ритца, Галёр­ кина, Трефца и других давно заняли в вычислительной мате­ матике важное место. Особенно эффективны эти методы в тех задачах, где искомыми являются функционалы от решения. Оказалось, что уже при сравнительно невысоких приближени­ ях функционалы получаются с большой точностью. Наиболее полное теоретическое обоснование методов дано в исследова­ ниях С. Г. Михлина ш , который установил необходимые и до­ статочные условия устойчивости вариационных методов для задач с энергетической нормой. Активное развитие вариаци­ онных методов обнаружило и некоторые их недостатки, свя­ занные с трудностью конструктивного построения системы пробных функций, которые отражали бы особенности решения задачи и при сравнительно малом числе давали удовлетво­ рительную аппроксимацию решения.

Новый этап в развитии вариационных методов начался с активного использования ЭВМ, когда стало возможным по­ лучать пробные функции вариационной задачи с помощью разностных методов решения более простых задач. Оказалось, что в ряде случаев последовательные приближения к реше­ нию в итерационном процессе можно эффективно использо­ вать для построения системы пробных функций и метод по­ следовательных приближений сочетать с вариационным подхо­ дом, существенно ускоряющим нахождение решения задач.

Новое направление в методе построения разностных урав­ нений для задач математической физики было развито на основе использования вариационных методов в сочетании со

специальной конструкцией пробных функций, отличных от нуля в некоторых сравнительно небольших областях, принад­ лежащих всей области определения решения. Первые работы

существенно расширили область применения вариационных методов построения разностных уравнений к задачам с само­ сопряженными и несамосопряженными операторами и повы­ сили интерес к конструкциям схем высокой точности на осно­ ве так называемых методов конечных элементов, сплайиовых аппроксимаций и т. д. Развитие этих методов обязано прежде

Р е ш е н и е м н о г о м е р н ы х с т а ц и о н а р н ы х з а д а ч . Интенсивное развитие методов решения линейных алгебраи­ ческих уравнений с якобиевыми и блочно-трехдиагональными матрицами приводит к созданию ряда первоклассных числен­ ных алгоритмов решения стационарных задач, основанных на факторизации разностного оператора задачи. Среди методов факторизации особое место занимают различные варианты безытерационных методов матричной факторизации, разрабо­ танные М. В. Келдышем, И. М. Гельфандом, О. В. Локуииев-

Вместе с развитием методов точной факторизации активно развиваются методы приближенной факторизации, в которых факторизация оператора комбинируется с методом последова­ тельных приближений. Необходимость в таких алгоритмах обнаружилась сразу же, как только задачи математической

многомерных задач на основе быстросходящихся процессов. Начало 60-х годов ознаменовалось крупным вкладом в вы­

числительную математику, связанным с именами Дугласа, Писсмана и Р э ч ф о р д а П 5 1 , предложившими метод попеременных направлений. Успех метода был обеспечен использованием простой редукции многомерной задачи к последовательности одномерных с матрицами якобиевого типа, легко реализуе­ мыми на ЭВМ. В конечном итоге метод продольно-поперечных направлений сводится к итерационному методу, в котором оптимизация вычислений осуществляется специальным подбо­ ром оператора сжатия, состоящего из произведения более простых операторов и ряда свободных параметров релаксации. При этом последовательное обращение простых операторов, как правило, осуществляется на основе методов линейной

факторизации. Такие итерационные схемы весьма экономичны и эффективны в реализации при незначительном, по сравне­ нию с явным методом Ричардсона, увеличении объема вычис­ лительной работы. Метод попеременных направлений оказал существенное влияние на построение алгоритмов в различных областях прикладной математики и развитие исследований по нелокальным и блочно-итерационным процессам. Теорети­ ческим исследованиям этого метода посвящены работы Дуг­

мации каждая из вспомогательных задач может и не аппрок­ симировать исходную задачу, но в совокупности и в специ­ альных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы были названы методами расщепления, они развиты в работах

Большой цикл исследований посвящен выбору оптимизаци­ онных параметров схем расщепления на основе спектральных и вариационных методов.

Различные аспекты теории метода попеременных направ­ лений и метода расщеплений рассмотрены в работах В. Б. Ан­

для формирования алгоритмов решения более сложных задач математической физики. Важным этапом в развитии методов решения нестационарных двумерных задач явился метод по­ переменных направлений, основанный на однородной аппрок­ симации; первоначально он был применен для решения мно­ гомерных уравнений параболического типа и затем получил широкое распространение во многих задачах математической физики.

Развитие методов решения многомерных нестационарных задач связано с методами расщепления, основанными, как правило, на неоднородных разностных аппроксимациях исход­ ной задачи. Сущность метода расщепления состоит в редук­ ции сложного оператора к простейшим. При таком подходе интегрирование данного уравнения сводится к последователь­ ному интегрированию уравнений более простой структуры. •При этом разностные схемы обязаны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только в конечном итоге. Это дает возможность гибкого построения схем по существу для всех основных задач математической физики. Для явных ап­ проксимаций метод расщепления был предложен С. К. Году-

симации исходного уравнения некоторым другим, более про­ стым. Условия, при которых имеет место сходимость решения для метода слабой аппроксимации, сформулированы в теоре­

естественное применение в задачах гидродинамики, метеоро­

Широкое применение в задачах гидродинамики, метеоро­ логии, океанологии получила оригинальная схема типа пре­ диктор-корректор Лакса — Вендрофа, в которой предиктор предложен в виде явной разностной схемы. Эта схема явля­ ется условно устойчивой, она очень проста в реализации и имеет второй порядок аппроксимации по всем переменным. Подробное исследование схемы приведено в книге Рихтмайера и Мортона [ 3 ] .

Различные варианты метода предиктор-корректор на ос­ нове неявных разностных аппроксимаций предложены Брайеном U 1 , Дугласом 1 1 5 1 , И. Д. Софроновым 1 Ш , Г. И. Марчуком, Н. Н. Яненко 1 1 5 1 и другими. Оказалось, что все эти схемы в известном смысле эквивалентны и различаются только мето­ дами реализации. В последней из перечисленных работ в ка­ честве предиктора применена неявная схема расщепления пер­ вого порядка точности с факторизованным оператором. Для задач гидродинамики в качестве предиктора используются неявные мажорантные схемы.

Особый интерес представляет сформулированный Лионсом и Темамом 1 5 1 метод декомпозиции и децентрализации, кото­ рый примыкает к методам расщепления и слабой аппрокси­ мации.

М е т о д ч а с т и ц в я ч е й к е . В последние годы интен­ сивно развивается новый метод решения многомерных задач математической физики, связанный с именем Харлоу 1 1 9 1 . Этот метод получил название метода больших частиц. Он широко применяется для расчета многомерных гидродинамических течений с сильными деформациями жидкости, большими отно­ сительными перемещениями и соударяющимися поверхностя­ ми раздела. Сущность метода состоит в следующем. Уравне-

ния гидродинамики на основе слабой аппроксимации на каж­ дом малом временном интервале сводятся к двум более простым системам, первая из которых описывает адаптацию гидродинамических полей между собой без учета адвективных членов и интегрируется обычными способами в неподвижной эйлеровой сетке, а вторая описывает перенос субстанций в лагранжевой системе координат. Именно при решении второй системы используется феноменологическое упрощение модели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каж­ дой ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, импульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствующими характеристиками для сплошной среды. Как только некоторая частица, «несущая» определенную мас­ су в соответствии со своей траекторией, рассчитываемой инди­ видуально, пересекает границу ячейки, масса, импульс и энер­ гия этой частицы вычитаются из покинутой ячейки и добав­ ляются в новую ячейку, где теперь находится частица. Схема Харлоу основана на явных методах решения уравнений пер­ вого и второго этапа, она условно устойчива в целом. Особен­ но плодотворно использование в расчетах первого шага неяв­ ных схем. В этом случае критерий устойчивости всей схемы совпадает с известным условием Куранта. До сих пор еще не получены абсолютно устойчивые схемы метода частиц, однако в ближайшие годы можно рассчитывать на существенный прогресс в этом направлении.

В последнее время в работах В. Ф. Дьяченко1 1 9 1 , О. М. Бе« лоцерковского и Ю. М. Давыдова П 9 ] , Н. Н. Яненко, Н. Н. Анучиной, В. Е. Петренко, Ю. И. Шокина 1 1 9 1 даны различные модификации метода, которые существенно уменьшили свой­ ственные ему флюктуации плотности и давления, увеличили «запас устойчивости», и рассмотрены различные схемы реа» лизации.

Можно надеяться, что применение абсолютно устойчивых методов и устранение флюктуации позволит распространить метод частиц на слабосжимаемые течения жидкости. В бли­ жайшие годы можно ожидать существенного расширения сфе­

мом, активно развивается уже более двух десятилетий. Пер­ воначальный оптимизм в применении метода через некоторое

тод Монте-Карло эффективен только при реализации на очень быстродействующих ЭВМ с миллионами операций в секунду, поскольку он требует выполнения большого числа статистиче­ ских проб, понижающих среднюю квадратичную ошибку в результате.