Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

"k+l

— "h +

0 - f e + i / 2 U f t + i / 2

Ofe + i / 2 A Z ; i + ] / 2 ф

•

fc-H/2

N — l

- f N —i

ал j и £ ф —

j (.1 ( u f t + i /

2 U f c + i

— Dft_i,2 Uf t )

2 1

fc=i

h=l

—

ал (J" ukd\i

N—і

/ і

Azh

21 aft+i/2

1 °ь^і-оФ )Д 2 Й+І/2

fc=l

J V - 1

— І Ц-Яі/гНіф +

I ри/£-і/г"лгф +

'1=1

/ 7

N—1

/ 1

Агй

- f >!'

O f t + i / o

.fa2 , ,

, , 0

1 Azf t .( -i,2.

0 s b

j J г ^ ф

fc=i

Отсюда,

учитывая

лт—і г

JV—1

/ 1

af t

j" ц||ф — osh

I j « , , ф

A z h

tTch

j " « І Ф

)

Д г ь

fe=l

=°ft — °sft)

и граничное условие (3.19), окончательно получим

N-1

/ і

(Л Л а, о ) >

J ци?ф + \ \iu%d\i +

21 Ось j " І ф Агл +

w—і

+l/2

=T= o.

+ fe2j fffc

2 ^ ) A z h+l/2

д л я В С Є

Учитывая

связь функций

и., и с ср+

и ф~,

нетрудно

пока

зать, что граничные

условия

(3.19)

переводят

точные

соот

ношения (3.5)

Ф+ = о,

ф - = 0

в приближенные

Ф+ =

0(Дх),

Ф і 7 _ ш

О (Ах).

•'

(3.24)

Переходя

формулировке метода

расщепления, введем

в рассмотрение две.новые матрицы:

oSh

— osh

I dp

І»

ЛІЙ

(3.25)

Л.2Й —

M-Vh

Нетрудно видеть, что

PVh+l/2 Ок+1/2

Ahh = Ahlh

Ah2h.

Далее можно показать, что
	{Ayvr, w ) 5 > 0 ;		(A2vr,	w ) > Y ( w ,		w ) .	(3.26)
Второе из	условий основано		на	очевидном		неравенстве
	N—l					> 0 .
	2	AzkGch j щ4\і —		\ ukdy>		> 0 .
		.о		Vb	у
Условия	определенности		(3.26)		позволяют		сформулиро

вать алгоритм решения на				основе двуциклического покомпо
нентного метода		расщепления			(см. 4.3). С		этой целью сфор
мулируем следующие задачи.
На интервале		tj-i^t^tj
( я	+	- g - А \	у	=	[Е-~А\)		W/-«,
							(3.27)
Е	+ -Y ЛЦ w'-'is			=	(Е	—Л- Ао)	W-\
на интервале	і ^ - і ^ ^ ^ + і
и на интервале		w/'+'''з	=	w' - '»		+ 2TF''	(3.28)
и на интервале		ts^.t^.tj+\

где т=сА^ .
Перепишем теперь первое из уравнений					системы (3.27) в
скалярной и покомпонентной форме. Будем иметь
^ft	- Г —	I "h	— \ Uh	"М- I = Ш>		(з.зо)
			б'	У		(з.зо)
2~	I ин	— }	u i Jcfjx I; •	t)f t + .^ =	Oft+v,.
Проинтегрируем далее первое из уравнений					(3.30) по всем р,
в пределах 0 ^ р , ^ 1 . Тогда			получим

іі

оо

Сучетом этого соотношения решение системы уравнений

(3.30) найдется в явном виде-

1 — т з-7Г-	+	• ^+'"'=	<3-3 1)
^~"/ s = —^г-

Аналогичным образом находится решение последнего из урав нений системы (3.29)

ufl =	^ - « Г 4 +		0—га	,	vtV% = vlVil. (3.32)
			2
Перепишем теперь второе из уравнений					(3.27) в скалярной
и покомпонентной форме. Будем иметь
	/	ці—'к — тУ- ''з			\
+	_т_ ^	U + \ z ° k - 4 > + a e , i W h - ) = рк,

где РЙ и ОЙ+1/2 — известные величины с предыдущего шага вы числений.

К этой системе присоединим граничные условия в форме (3.19), т. е.

и'ҐІ3 +

= 0, и'»'1' - А

= 0.

(3.34)

Второе уравнение системы (3.33) разрешим относительно

rfcf'l = —zlz	U'kV~U'h '' + —	•	(3.35)
1 И 2	1 +	2 ~

Используя это выражение, первое из уравнений, системы (3.33) перепишем в виде

аки£!{3 - bhulr'h + ски1н+1' = - Рк {k = 1 , 2 , . . . , N. - 1), (3.36)

где

Т 2 IXа

( 1 + ^ ) ( І + ^ ) '

т2

P h =

( P k + _E

w » + v . '

1 " Г

* Т 9

1 " Г

К системе уравнений (3.36) следует добавить граничные условия в виде

		и[~'°	+	vi~%	= 0,	и!іГ%	-	VіА	= 0.		(3.37)
Теперь	исключим		о 1	/ 2 и	ujv-i/2 из'граничных условий						(3.37),
используя соотношение					(3.35). Тогда			приходим		к двум	соот
ношениям для иіГ1*'-
		(1 — O.J и'Г4' + ач,и'0-%						= -	р./, ^.,а;		( 3 _38^
	—	CCjV—1 « N — 1 +			(1 + <*М—Va )			3 =	Pw—Va^JV—V
где					I а			ft
			Т		I а			ft		1
.	aft_v	= -prr-			—	,	p/i-Va =			33 •

Система уравнений (3.36) вместе с (3.38) оказывается пол ной и позволяет с помощью метода факторизации решить за дачу для любого д.. Аналогичным образом находится решение первого из уравнений системы (3.29). Решение уравнения (3.28) дается в явной форме. Итак, численный алгоритм реше ния системы расщепленных уравнений (3.27) — (3.29) опреде лен. Заметим, что до сих пор мы не проводили разностной ап проксимации уравнений по Ц. Эту операцию можно осущест вить сейчас. Весь интервал 0 ^ р , ^ 1 разобьем на частичные интервалы A]Xi узловыми точками \ц так, чтобы обеспечить на заданном классе решений наилучшую аппроксимацию интер валов в (3.30) и (3.31).

Пусть

	і
		ud\x = 2 stuL,
	о	'=i
	о
где Si—коэффициенты		квадратурной формулы с узловыми
точками {щ}.

В результате приходим к выражениям для u'kf1*, Vh+^i\,i и u $ \ і>£н„/, вытекающим из (3.30), (3.31):

" f t " ' ' =

Ї 5 - и№ +

; ^ + b = ^ + v . . i • О -39)

Такое же решение можно записать и для второго уравнения системы (3.29). Задача* (3.36) переходит в следующую:

ак,іи{~Ь — bhjukj'1' + Ск.іиІ+і'і = — Рк,«

(3.40)

(k=\,

2, . . . . J V - 1 ; 1=1, 2, . . . . m)

при условии

«jV-V.,,(«Jv			.,,,0 u{7	v	* +	а-- : I , M / U ' 1 = - р./31і«7'/,.і.	(3 • 41)
(1 -	а
		-'l,i + (1 +				« И ' ' — P i V - W t f ' V — ' V

Все величины, отмеченные индексом /, берутся при [А=Д.>. Таким образом, алгоритм численного решения нестацио

нарного уравнения переноса определен полностью. В резуль тате мы приходим к абсолютно устойчивой схеме второго по рядка точности по т.

В заключение следует отметить, что хорошая аппрокси мация решения задачи будет обеспечена при выполнении условия

			То		.
где o = m a x	{oh,	o/;+i/2 }. Это условие				накладывает требование
k		,	т.
на выбор временного шага			т.
	7.4. С Т А Ц И О Н А Р Н А Я ЗАДАЧА						ПЕРЕНОСА
Данный	алгоритм позволяет				также		решить	стационарную
задачу методом		установления.			Это		значит,	что решение
стационарной задачи находится					как	предел при t-*-oo			реше
ния нестационарной задачи.
Наконец, отметим, что для				решения			стационарной		задачи
					і
		( * ^ + а Ф = 4 Ц Ф ф + / ,							( 4 Л )
		Ф = 0	при	z = 0 ,		р , > 0 ,
		Ф = 0	при	z—H,		(х<с0

рационально использовать разностную аппроксимацию в фор ме (3.18), (3.19), где производные по времени полагаются равными нулю. Тогда имеем

vk+1/	— vk—4	С
^	^	— + OkUk = Osh. ] Uk dp +	gh ,
	h	о	(4.2)

uk+t — uk

"Т /а

при условии

И і + О і / 2 = 0 , uN—г?А-_і/2==0.

(4.3);

Исключая из системы уравнений (4.2) и граничных условий (4.3) неизвестные vh+1/2, приходим к разностному уравнению для величин Uh'.

Лг

^ ° h _ v

u z

f t - V

k+%J

где

(

+ Ч

+ Д г (<

I G f t - V a

Gft+'/a

Граничными условиями для (4.4) будут

I х

а,.ДЧ

с , '

(4.5)

Ид

/V—1

" . V

' i V — V ,

Здесь также отметим, что конечно-разностное выражение в уравнении (4.4), аппроксимирующее дифференциальный опе ратор, полностью совпадает со схемой, приведенной в 2.1 для уравнения диффузии в случае разрывных коэффициентов.

Произведем аппроксимацию задачи (4.4), (4.5) по отно шению к параметру ц, на сетке {д.*}. Тогда получим

V-i	(	4 , 1 - Ч - и _	" f t + i , t - " f t , i	\ ,
Дг„	{	оЛ_...„ Дгй_,,,	V . ^ + V ,	/

		v	,	( 4 - 6 )
І -	OhUh,) — О ill	S^lh.l	~ / f t . l i
где		/=1
где
/ft,/ -	ft., 4- ^		-
при условии

	• 1 ' ~ ^ С " " " , , Г +					4 '	( 4 . 7 )
,	uN,l~uN	г	— \,l	=	„	rN—4„l	.
— Ц,		г		=	Ujv,\|		.
Введем в рассмотрение			векторы uh, fk и гк+ч,				в соответствии
с компонентами		(Д.і).		{''м-, /„іЬ		диагональную матрицу
М2 с отличными	от нуля		диагональными элементами { рЛ}
и матрицу S, определенную соотношением
				т
		Silk	=	2	S[Uk,l.
				1=1

20 г. И. Марчук

305

Тогда дискретным (по ц) аналогом задачи (4.4), (4.5) в век- торно-матричной форме будет уравнение

	и,, — и	+ OhEui, — OsuSuu = fu
Дг/,	{ <^к-Ч,Агк-Ч,
		Gh+4,Azk+4,

(4.8)

при условии

А/

"і -

"о _

_ Ч

(4.9)

°N—4AzN

—Чг

UN— %

Заметим, что между диагональными

матрицами М и М2

име

ется следующая простая связь:

М2=(М)2.

Введем

в рассмотрение

вектор-функцию w с компонента

ми

{uh}

и трехдиагональнон

матрицей

Ьг

- С !

0 . . .

а2

Ь2

— с2

0 . . .

- а .

где

. . . — a/v—i

b ^ _ i

2, 3

N - 1),

а,<

JM22

(ft

1, 2 , . . . , Л Г - 2 ) ,

М +

сг +

ОіЕ — oslS

(ft =

1),

Дг,

af e

ch +

O h f

— o s h 5

(ft =

2, 3 , . . . ,

iV — 2),

(4.Ю)

Л/

( M + a j V _ 1 / 2 A 2 i v _ i / 2 £ ) - 1 ^ + a N _ 1 + ( j / v — i £ ' —

ДгN—l

- o S J V

_ i S

(ft =

i V - l ) .

Поскольку имеет место

соотношение

Аг4 + 1 ай-)-і = Azf t ch ,

то

можно

показать,

что оператор

является симметричным.

В самом деле, введем в рассмотрение скалярное произведение

для векторов а, Ь, компоненты которых	ак,і и Ы,,1 зависят
от параметров ft и I:
/V —1 т
(а, Ь,) = 2 2	sfihtlbh,iAzk.

h=l 1=1

Тогда нетрудно проверить тождество

{Aw, w*) = (i4w*, w ) ,

которое и устанавливает симметричность оператора на соот ветствующем подпространстве вектор-функций.

Из симметричности оператора А следует вещественность спектра Х(А) задачи

Aw=Xw: (4.11)

Поскольку оператор А положительно определенный, то спектр будет положительным. Наконец, поскольку исходная задача редуцирована к задаче линейной алгебры, то спектр будет ограниченным. Итак, спектральная задача (4.11) опре деляет спектр Х(А), расположенный в интервале

а ( Л ) < Л , < р ( Л ) .

Дальнейшая задача состоит в нахождении максимального и минимального собственных чисел матрицы А. Для этой цели используем метод, изложенный в 1.1.4. При этом сначала на

ходится $(А) и затем с	помощью метода сдвига спектра —
а {А) и соответствующий	ей собственный вектор w i .

После того как границы спектра найдены, для решения задачи (4.6), (4.7) можно воспользоваться итерационным ме

тодом. Запишем эту задачу в операторной	форме
A w = F ,	(4.12)

где F — вектор, полученный в результате преобразований за дачи к виду (4.12). Тогда итерационный процесс можно вы брать в форме

• W ' " + ! = W — і, ( A W — F),

(4.13)

где Xj выбирается в соответствии с различными методами оп тимизации, рассмотренными в главе 3.

Задачу (4.11) можно также решить с помощью итераци онного метода расщепления, изложенного в 3.3. С этой целью вводим в рассмотрение две матрицы:

	o"sj (Е — S)	0	0	. . . О
	О	os2(E-S)	О	. . . О
А1=\	0	0	a , 3 ( £ - S ) . . . 0

Л2 =

20*

307

где Е — тождественная	блочная	матрица;		af t , ch определяются
формулами ( 4 . 1 0 ) ;
•щ-М +	ь + ОолЕ	( * = 1 ) ,
а/г -4r Ch +	Ос.й^	(А = 2, 3		iV—2),
(М	+ а Л - _ 1/2 Д г л _ 1 / 2		£ ) - Ш + а л _ 1		+
+ ас ,л'_і£		(/г =	/V — 1);
матрицы А\ и А2 удовлетворяют		условиям
(Л,ш, w ) > 0 , (Л2\У, w ) > 0 .					( 4 . 1 4 )

и поэтому метод расщепления для них может быть применен, поскольку для применимости метода необходимо, чтобы хотя один из операторов Аа был положительным.

7.5. НЕИЗОТРОПНО Е РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ

Ранее были рассмотрены задачи теории переноса с изо тропным рассеянием. Теперь покажем, что схема численного решения сохраняется и для уравнений переноса с анизотроп ной индикатрисой рассеяния. В самом деле, пусть требуется решить задачу

1	(Эф ,	гіф		1	2л
1	(Эф ,	гіф	о ф =	- ^	d a ' ф у (цо) +	/ ,
—	' -df-rV	—	о ф =	- ^	d a ' ф у (цо) +	/ ,
		аг		—і	і
				—і	і
		Ф = 0	при	2 = 0 ,	р - > 0 ,	(5.1)
		Ф = 0	при	z=H,	\| . t < 0 ,

где

р-о = ЩІ' —У 1 — и 2

] / l

— p/! cos(ос — а') —

косинус

угла

рассеяния.

Предположим,

что входные

данные задачи ( 5 . 1 ) не

зави

сят

от

азимута

а.

Тогда,

как

известно

(Г.

И.

Марчук,

В. И. Л е б е д е в 1 1 7 ' ) ,

индикатрису

рассеяния

можно

проинтег

рировать по а,'. В результате

приходим к задаче

при

—і

Ф = 0

2 = 0 ,

р , > 0 ,

(5.2)

ф = 0

П р и 2 = Я , | Х < 0 .

Функция

y{z; ц,

ці)

представляется

в виде ряда по

полиио

мам Лежандра

. . .

у (г; їх, р/)

Уп (г) Рп

(ц) Рп (р.').

Представим ее в следующем			виде:
у ( 2 ;	(х, M , , ) = V + ( 2 ;			ц,	р., ц') .
где
7+ (г; ц, ц') =		2	? 2	п (2) Р 2 „ (ц) P2 i» (\|*') >
		п
у - (z; и,	р/) = 2	? 2 n + i		(г) Лгп+1 Ы	P 2 n + i О/) .
	п

Преобразуем уравнение аналогично случаю изотропного рас сеяния частиц. С этой целью уравнение переноса запишем раздельно для р , > 0 и ц . <0 . Тогда приходим к системе

	о
+ ( ф + _ ф - ) 7 - ] ф ' + /ч-,
— ^ - - ^ - 5 Г + А (	^ - = = — J ИФ+ +	Ф - ) Ї + -
	о
— ( ф + _ ф - ) т - ] 4 ц ' - И -
Ф + = 0	при 2 = 0 ,	(5.4)

Ф ~ = 0 при 2 = Я .

Теперь введем в рассмотрение новые функции и я v соот ношениями

« = 4 - ( ф + + ф - ) ' о = - ^ - ( ш + — ф - ) .

Складывая	и	вычитая	полученные		уравнения,		приходим к
уравнениям, аналогичным (3.6):
				і
6	от	0 2		о			(5.5)
				і		л J /	і
I	до	ди	,	(*	/	л J /	і
~Т * 1 Г + f4 I T + A V =				° S JV Y ~ ^ ' ? ) ^ + Г
при условии				о	= 0 ,
при условии
		и + а =		при 2			;(5.6)
		u—v — 0		при
			0	при	z=H.

Заметим, что по условию нормировки индикатрисы у , четно сти у + и нечетности у - имеем

1
JY +([ i,l x' ) dn = l .	(5.7)

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ