Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>


			7.1. ПОСТАНОВКА		ЗАДАЧИ
В эвклидовом			пространстве ^з(*ь			х2,	х3 )	рассмотрим	точ
ку х =	(.v'i,	х2, х3)	с координатами		хи	х2,	х 3	и вектор г, выхо
дящий	из	начала	координат в	точку		х.	Пусть fi=(Qi,		Q2,
Q3 ) —единичный			вектор^ 2J Q? =	1 j , a Q — поверхность					еди

ничной сферы в R3 с центром в начале координат. Тогда $2 обозначает переменную точку на Q со сферическими коорди

натами ft,		ф (Os^tfs^.t,		0 ^ г \| ) ^ 2 л ) :
		Qi = sin •& cos		\p, Q2 — s i n •& sin				Q 3 = c o s •0'.
Элемент поверхности сферы Q опишется формулой
			dfi = sin			{rdftdty.
Пусть,		далее, / ? з Х ^ — декартово					произведение			простран
ства R5	и	Q, состоящее			из пар	(х,	Q),	где	Q пробегает Q,
а х — R 3 .	Пусть ф(х, Q,			t)	—неотрицательная				функция,		опре
деленная		на множестве D~XQ\T,				где D—		область в R3,			в ко
торой рассматривается процесс переноса излучения,										а Т — со
ответствующий интервал					времени	(0^t^T0).			Границу		обла
сти D обозначим dD.
Пусть в D и Q введены меры						Лебега		и соответствующие
им процессы интегрирования, в частности
		Ъ = ^ 1			ф ( х , О ' , 0 ^ ' ,
где
f Ф (х, Я', t) dQ.'			=	f	f Ф (x, г\|/,		t) sin V		A p W .
h				о 0
Введем в рассмотрение			выражение
			»	v	» - 2 ° i	- £	-
и обозначим					і=1		'
и обозначим
где Й, Й'	Є Й ,					І=І
где Й, Й'	Є Й ,

Тогда на основе рассмотрения баланса частиц в объеме фазового пространства уравнение переноса излучения можно записать в следующем виде:

4 -- 4 г + 2 ^ ф + с т Ф = а 4 ф ї ( х , ^ ) ^ ' + / .

сіл)

Здесь ф = с п ,	п =	п(х, Q, t) —плотность частиц в точке		х, ле
тящих со скоростью с в направлении Q; Y ( X , \|Д,0) —индикатри
са рассеяния;	f(x,	Q, t) —заданные в D источники излучения,
функции а ( х ) > 0 ,		crs (x)^sO, а —	а ^ О .
Отметим,	что	в соответствии	со своим определением	инди

катриса рассеяния имеет естественную нормировку

f T ( x , n 0 ) d Q ' = 1. h

Поскольку нас интересует принципиальная сторона конст рукции вычислительных алгоритмов для решения задач тео рии переноса, то индикатрису рассеяния будем считать изо тропной, положив

Предположим, что функция f принадлежит некоторому под пространству, требования к элементам которого будут вполне ясны из дальнейшего.

В качестве		граничных				условий		примем
		ф(х, Й ) = 0				на	dD при n f i < 0 ,				(1.2)
где п — внешняя			нормаль			к	выпуклой		поверхности dD.
Условие (1.2) указывает на отсутствие приходящего излу
чения из вакуума. Это значит, что в данной										постановке ради
простоты	мы	ограничиваемся						рассмотрением			внутренних
источников	в среде. В качестве начальных данных										примем
		,	Ф = Ф °		при		* = 0	в			(1.3)
Вопросы, связанные					с	существованием,				единственностью
и гладкостью решения				кинетических уравнений (в том числе и
уравнений	переноса),			изучены в				работах В. С. Владимиро-
ва 1 1 7 3 , Иоргенса1 1 7 1 , С.				Б. Шихова" 7 1 , Т. А.						Гермогеновой"7 1 ,
Бардоса1 1 7 1 ,	У.		М.	Султангазина1 1 7 1 ,					Г.	И.	Марчука1 1 7 1
и других.
Пусть относительно начальных данных и коэффициентов
уравнения	(1.1)		выполнены следующие						ограничения: а, ст8 —

кусочно-непрерывные функции относительно пространственных переменных X и

0 < a 0 < o < a i < o o , 0 < o s < o ^ < o o . (1.4)

Индикатриса у(х, цю) суммируема с квадратом на про межутке [ — 1 , \]XD; ф°(х , 0) H f ( x , Q , t) суммируемы с квад ратом соответственно в областях

19*

291

При указанных условиях существует единственное обобщен ное решение задачи (1.1) — (1.3). Для получения априорной оценки умножим уравнение (1.1) на ср и результат проинте грируем по Q X ^ - Тогда получим

—	\ ф2<2ха!£! + ( (ficpycp +		очр"-) dxdQ	=
ic at	D-Xp
=	f	osq>dxdQ j' Ф у (p,0) r/Q' +	f [wdxdQ.	(1.5)
DXSi		П	D X O

Воспользуемся далее легко проверяемыми соотношениями и оценками, полученными в предположении, что решение ф, удовлетворяющее (1.2), источник f и величины Y(ll o). cr, as — неотрицательны:

2 f Q<pvq>dxdQ= і" |Qn|q>2dxdQ,

	[ am2dxdQ^a0		I		(p-dxdQ,
	DXCl		DXQ
J	esydxdQ$	q>y([i0)	dQ'^o'sy		!	y2dxdQ,	(1.6)
DXU	n				o k n
J"	fodxdQ<-	f	f d x d Q	+	e f	qAfcdQ,
Dxn		E okn			o'xn
где сто=гпіп	a, а н г л а х а,, у = f (			y4xdQ)1/2,		є —	положитель-

ное число (может быть произвольно малым) размерности а.

Подставляя

(1.6) в

(1.5), приходим

соотношению

+ a * | M | 2 < 4 P 2

- T

m^dxdQ,

(1.7)

о :

і «

m i

^ т » і

где

D X O

В результате интегрирования

дифференциального

неравен

ства (1.7)

в интервале

О ^ ^ Т о

получим

І!

ІІ2 < -k

Ф° «

2е~аЧ

-г

JII tf е~°*и~п d t '

Ф.

— \^dt'e-°*"-^

\Qn\q>4xdQ.

(1.8)

3 D X Q

Отсюда получим априорную оценку

о < Ш х п

	<	W іСР° »2 е~°*'			+	4" 11 ^ e-a*U-'')dt'-		(1 -9)
						о
На	основе	полученного			неравенства		нетрудно установить
единственность			решения задачи переноса на любом конечном
интервале О ^ / ^ Г о .				Для	этой цели, как обычно, необходимо
предположить,			что	входным		данным	ф о и f	удовлетворяют
два	различных		решения		задачи переноса. Тогда для разно
сти	решений	на	основании (1.9) приходим к					неравенству
^ І Ф і - ф 2 \| р ч 4 , К е _ 0 * ' ' _ П						J \| Й п \| ( Ф і - ф 2 ) М х ^ < 0 , ( 1 . 1 0 )
			О			dDXii
			I

О Т К у Д а Н е п о с р е д с т в е н н о С Л е Д у е Т ф і = ф 2 .

Подробный анализ энергетических неравенств для неста ционарного уравнения переноса можно найти в работе

У.М. СултангазинаП 7 ] .

7.2.У Р А В Н Е Н И Е ПЕРЕНОСА

ДЛ Я РАЗЛИЧНЫ Х ГЕОМЕТРИЙ

Рассмотрим уравнение

І - ' - 5? + ^ Ф + о-ф = ^ - j d Q > ( r , Q 7 ) + / ( r , Q , 0 . (2.1)

Вдоль луча £, совпадающего с вектором Q, имеет место соот ношение (В. С. В л а д и м и р о в ^ , Г. И. Марчук, В. И. Ле бедев [ 1 7 ] )

	т	--аг	=	—		• - f з г +	^VФ5
где g — координата		точки вдоль				луча.
В декартовой системе			координат
с	dt		с	'	dt	Zi	дх '	dl	'	^-z>
где
Qx = sin *	cos op; - ^ J -			=	Q 2 = sin «		sin if;	^	=	Q3 = cos fl.
										(2.3)

С учетом равенств (2.2) и (2.3) уравнение (2.1) можно запи сать в виде

•

+ sin # cos гр

sinftsimp J -

+ cos

сф

2Я

J " ^ ' І Ф ( х , 1Л О',

Osin W

+ / ( x , ярД

(2.4)

™ о

Пусть входные данные задачи о, os и / не зависят от коор

динат А'і,

х2,

являются

функциями A"3 = z,

Ф, гр и

Кроме

того,

предположим, что областью трехмерного пространства,

в котором ищется решение, является

плоскопараллельный

слой

0 ^ 2 ^ И . Тогда,

очевидно,

решение уравнения

(2.1)

бу

дет

функцией

только

г,

ip и

результате

приходим

к уравнению в плоскопараллелыюй геометрии

~ • &

cos Ъ^ + оф =

^ jjV

JсР

(г,

а|/, V,

t)sin

/(2,

rp,fl,

(2.5)

Если

решение ф и источник f не

зависят от

азимута

г|>,

то

уравнение

(2.5) можно несколько упростить, записав

Т - ъ Ч

+ VъЧ + стср

= т ] , ^ ' Ф ( 2 -

0 +

^( 2 >

> (

2 -

6 )

На границах

области

при

z = 0

и z = #

поставим

условия

Ф(0, ц, / ) = 0

при

|i>0,

( 2

? )

ф(Я,

(я, 0 = 0

при

(j.<0.

Пусть имеем задачу со сферической симметрией. В этом случае в качестве координат примем расстояние г от центра сферически-симметричной системы до рассматриваемой точки Р и угол ф выберем между радиус-вектором точки Р и.осью z. В данном случае будем иметь

1 сГф	1 гф	дц>	dr	. дф dti
T"dT	~~ ~'дТ	+ дТ'Щ,	+	M'dl'

Из геометрического рассмотрения нетрудно получить

dr	г,	n	rf8 „	sin а
5	\| = Q r	= coS T),	7 g = Q , = -	— •

Тогда аналогично предыдущему приходим для задач со сфе рической симметрией с источниками и решениями, не завися щими от азимута ip, к уравнению

+ / < г , М ) .

(2.8)

где n = c o s

Уравнение (2.8) можно переписать в дивергентной форме

Т'Ж + 7ї-Тг И 1 Ф ) + ^ (-у1-ф) -!- а Ф =

« !•
= - f - J	4 і ' Ф ( г . ц,	0 +	/(г, ц, 0-	(2.9)
Если поток частиц из вакуума отсутствует, то				к уравнению
(2.9) присоединим	условие
Ф(Д, її, 0 = 0		при	д . < 0 ,	(2.10)

где /? — радиус внешней границы области D.

Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение пе реноса в случае цилиндрической геометрии.

7.3.Ч И С Л Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

ВП Л О С К О П А Р А Л Л Е Л Ь Н О Й ГЕОМЕТРИИ

Переходим к построению численных алгоритмов решения задач теории переноса. Поскольку мы преследуем в основном методические цели, то сосредоточим внимание на простейших но вместе с тем практически интересных моделях. Хотя в ка честве основного математического аппарата решения нестаци онарных задач выбран метод расщепления, однако основные идеи построения разностных аналогов задач переноса могут быть использованы и при других подходах.

Рассмотрим простейшую задачу теории переноса в плоско параллельной геометрии, которая с учетом начальных данных имеет вид

T-fi + ^	+ w - ^ i ^ + f			-	(3.1)
Ф = 0	при	2 = 0 ,	ц > 0 ,		(3.2)
Ф = 0	при	2 = И,	ц < 0	,
Ф=Ф°	при	t=0.			(3.3)

Приведем некоторые удобные для дальнейшего преобразо вания задачи, впервые выполненные Е. С. Кузнецовым1 1 7 1 . Для многомерного уравнения переноса аналогичное преобра зование было введено в рассмотрение В. С. Владимировым П 7 ! . Решение (3.1) для |я>0 обозначим ф + и для р , < 0 обозначим Ф~. Тогда уравнение переноса можно записать в виде системы двух уравнений:

Т ' Ж + (-1 Чг + А ( Р + = т I <<Р+ + Ф_ > W + f+ •

(3.4)

Граничными условиями для функции ср+ и q r будут следующие:

Ф+ (z,

р.) = 0

при

z = 0 ,

Ф~ (z, р . ) = 0

при

z=H.

(3.5)

Теперь

сложим

эти

два

уравнения

вычтем

друг из

друга.

В результате приходим к новым двум

уравнениям:

ди

[•

, , ,

(3.6)

'dz

_1_ dtv .

+ о у

r '

где

с 'dtЛ Г - Г ^ 5 Г

« = 4 "

(

= 4"

( ф _ ь —

g = i ( f +

+ D .

г = і ( / + - П -

Нетрудно убедиться,

что граничные

условия (3.5)

перехо

дят в следующие:

ы + у =

при

2 = 0 ,

u—v =

при

2 = Я ,

(3.7)

и начальными данными

будут

и=и°,

v =

v°

при

t = 0.

(3.8)

Задаче

(3.6) —

(3.8)

придадим

операторную

форму

записи.

этой

целью введем в

рассмотрение

вектор-функции

до, до0,

и оператор А

в виде

о — as

J dp'

р.

(3.9)

и введем в рассмотрение в D гильбертово пространство функ ции L2(D) со скалярным произведением

	2	і	я
(а, 6) =	2	I dplaWdx,		(3.10)
i = l		о
где а', — компоненты вектор-функций а и Ь.
Далее из этого пространства выделим				подпространство
вектор-функций Ф, на элементах			которого	выполняется ус
ловие
(Aw,	до) <		+ о о .	(3.11)

Здесь скалярное произведение является функцией време ни. Этот факт в дальнейшем оговариваться специально не бу

дет. Потребуем,	чтобы компоненты	вектор-функций w	были
в D непрерывными и имели абсолютно непрерывные первые
производные \i	Заметим, что	гладкость функции	и и v

в D непосредственно следует из требования гладкости в D функций ф + и ф~. Наконец, из подпространства Ф выделим

множество вектор-функций, удовлетворяющих			условиям (3.7)
и	имеющих абсолютно непрерывную первую		производную
по	времени. Это подпространство	обозначим	Ф°. Очевидно,
Фо является областью определения		оператора

сос

Тогда приходим к следующей задаче:

- ~	+	Aw	=		F		в	DXD<>	(3.12)
T-W	+ A w =			F		B		DXD<>	(3.12)
w =	w°	при				^ =		0 в	D,
причем					® ° є Ф ; ш ( * ) є Ф ° .
F{t)e=L2{DXQ);					® ° є Ф ; ш ( * ) є Ф ° .

Нетрудно проверить, что на функциях Ф°, являющихся также областью определения оператора Л, имеет место соот ношение

	( і 4 ш , а ; ) > 0 .			(3.13)
Более того,	в работах В. С. Владимирова1 1 7 1 показано,
что оператор Л — положительно определенный, т. е.
	[Aw,	w)^y{w,	w),	(3.14)
где у — положительная		константа,	связанная с характерным
геометрическим	размером области.
Переходим	теперь к	разностной аппроксимации		задачи

(3.6) — (3.8) по пространственной переменной z. С этой целью

первое

из

уравнений

(3.6)

проинтегрируем

по г в

пределах

(zf e _1 / 2 , 2 й + і / 2

) ,

а второе

в пределах

(zh, zh+i),

где

{zk}

— си

стема основных узловых точек, a

{z^i/2)—вспомогательных.

ПуСТЬ

Z h

= ~

(Zfc +

Zfc+l),

AZft

Zft+i/2 —

Z f t _ , / 2 ,

AZft+1/2 =

=zk+\—zh.

Тогда

уравнение

(3.6)

и граничные условия

(3.7)

примут вид

zh+m

'"fe+l/2

z ft+l/2

1~Ш

U d z

° " d 2 = =

zk—1/2

zk—lJ2

z fc - l/2

z ft+l/2

z f t + l / 2

O s [

udfirfz

gdz;

z f t - l / 2

г Л-1/2

	гк+1		* да	г М-1		s f c +l
	1	t/dz + [х		Г		Г
с 'dt			J ^ - t f z - f	)	ovdz —	\ rdz.
	г ь		г л	г ь		z/t

Введем в рассмотрение следующие обозначения:

Uh	= U(2/.. (X, 0 ;	= u ( 2 f t + i / 2 , U., О.
	г М - 1 /	'М - 1/2
Oft	=
		г /і	—1/2
		гк+\
	Oft+1/2 —	J* adz;
	Oft+1/2 —	Д г Л +1/2
	г М - 1 / 2		г / і + 1
	1		rdz.
		Аг. М-1/2	rdz.
		Аг. М-1/2	г -

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Тогда при условии непрерывности функций и и v почти для

всех значений z

и р, из £> и кусочной

непрерывности

функций

a, aS ) g

и г с возможными разрывами первого рода

в точках

2 f t с помощью

методов, изложенных

в 2.3, приходим

к следу

ющей разностной

аппроксимации уравнений

(3.6):

дик

° й + 1 ' 2 ~~ °к —1/2

дТ

\- °kUh

= СТ<*

j U

A l

+ fift.

(3.18)

f i ' f c + l '2

J -

J / t + l

Oftf 1/2°/' 1 1 2 "

i-I/2>

Дг

граничных условий

(3.7)

" l

t'l/2 = 0-

" Л ' — f i V - 1 / 2

(3.19)

и начальных данных (3.8)

uh = и°, Vh+m = fft+i'2

П Р И

* = ° -

(3.20)

Так же, как и в

(3.9), введем в рассмотрение

вектор-функ

ции wk,

и Fh

и матрицу Ан

в виде

Wh = ! u f t + l / 2

Oi - f

1/2

Рк+Ц2

ал — aSft j'dn

ц.у/(

HV''+l/2

0"Л+1/2І

Тогда задачу (3.18), (3.19) формально запишем в виде

1dw,

dt AkWh

ffi'ft =

при

t =

( 3 . 2 1 )

wit

где Vfe и Vh+i/2 определим

формулами

a h + l /2 —

ak-m

Дгь

fe+1/2

введем

в рассмотрение

гильбертово

пространство

функций

с компонентами

{wk}

и скалярным

произведением

N—1

(ab) =

і d,u [аіУЬ^Агц

aiflі,^61/•>Д2,t

+ 1 / 2 ) .

ft=l

введем

рассмотрение

подпро

Аналогичным

образом

странства

Ф/°, и Ф Л ,

которые

будут

отличаться

от

Ф°

и Ф

только тем, что вместо дифференциальных условий

гладкости

решений по 2 теперь накладываются более слабые

условия,

связанные

со

спецификой

конечномерного

(по

эвклидова

пространства

и с

учетом граничных

условий в

форме

Нетрудно показать, что на функциях \УЄФЛ,

являющихся

( 3 . 1 9 ) .

областью определения оператора Ah,

имеет

место условие по

ложительной

определенности

) ^ Y (

W , W

(3 . 22)

(АЫ,

Здесь

— вектор-функция

компонентами

Ah —

блочно-диагональная матрица с элементами Ahh. Если также обозначить F — вектор-функцию с компонентами {Fk}, то задачу ( 3 . 2 1 ) можно записать в виде

Т'Ж

+ A " w = F <

(3-23)

w = w ° при f = 0 .

Заметим, кстати, что соотношение (3 . 22) справедливо только при аппроксимации граничных условий в форме ( 3 . 1 9 ) . По кажем положительную определенность оператора Ah. Для этого воспользуемся введенным определением скалярного про изведения. При этом имеем

N-l

(Л"С0,

< D ) = 2

ft=I

N-l

- '

H-

crsfc

t + 1

/ 2

f t 1 / 2

akuh

—

J ukd\i ukAzk +

fc=l

A zк

•/

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ