Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Аппроксимируем эти уравнения в форме

	pI+'U фі+1 _ рі-ч* ф/-і
_^ v Г(риЛ«+А+і			~	( Р " « ) І а - у , < - і _
'			2 А <
р / + і , р / - і		^	( ^ . - W U 0							,479,
		а=1						а
Здесь использованы	обозначения								+ - L1 (Р / _
Р/+•/, = p / + i _ J _ (р/+і _			р/), p	/ - v , =				р / - і	+ - L1 (Р / _	р / - і )
и, кроме того, те же выражения, что и									(4.65). Тогда	первое
из уравнений (4.79)	преобразуем					к виду
р/+1ф/+1 _ 0 / - 1ф/ - 1	,	v	( Р " а	) І	а	+ 1 Ф	І	а + 1	- ( Р « а ) * а - 1 Ф к 0 - 1
2т	'	±d		) І			І		2Лх„
		а =1							а
		=	0 ( т 2	+		д 2 ) .				(4.80)

Здесь существенно использовано второе из уравнений (4.79). Для решения задачи (4.78) применим метод, аналогичный

(4.71).

В следующем параграфе будет дан эффективный метод решения разностных уравнений с высоким пространственным и временным разрешением на основе специальных схем рас щепления.

6.5. О П О В Ы Ш Е Н И И П О Р Я Д К А А П П Р О К С И М А Ц И И РАЗНОСТНЫ Х СХЕМ

Построение разностных схем высокого порядка аппрокси мации является весьма актуальной задачей вычислительной математики. Известны различные подходы к построению таких схем. Мы остановимся только на одном методе, который идейно восходит к Ричардсону и был применен и обоснован для двумерного уравнения Лапласа Е. А. Волковым.t 4 ] Этот метод состоит в использовании последовательностей сеток и соответствующих им аппроксимаций для построения прибли женного решения заданного порядка точности. Применение та кого метода позволяет в расчетах использовать только стан дартные разностные аппроксимации задач первого или второ го порядка точности.

Ю. А. Кузнецовым и В. В. Шайдуровым1 4 1 рассмотрены еще некоторые типы уравнений, допускающие аналогичную

конструкцию решения. К ним относятся, например, уравнения Гельмгольца, уравнения гидродинамического переноса и не которые другие. Основная идея метода состоит в следующем.

Предположим, что требуется решить стандартную задачу математической физики

Л Ф = / в D,

где Л, / — некоторые линейные дифференциальные операторы. Предполагается, что А, I и граница области dD таковы, что для любых достаточно гладких / и g получается единственное гладкое решение ср. Так как в нашу задачу входит изложение идеи, а не ее конкретной реализации, то на степени гладкости внимания останавливать не будем, считая ее достаточной для дальнейших выкладок.

Сначала построим последовательность сеток и сеточных функций. Основную сеть, взятую для простоты равномерной с шагом h, обозначим Dh с множеством узловых точек на гра

нице dDh. Далее построим новую			сеть	Dh/2	с	шагом	А/2	так,
чтобы	она включала	Dh, затем строим		Dh/г, включающую				Dh
и т. д.	На каждой	из сеточных	областей		Dh,	Dh/2,	...,	Dh/n

определим разностную аппроксимацию дифференциальной за дачи (5.1) на основе простейших схем (как правило, не выше второго порядка аппроксимации). Тогда получим последова тельность задач

Ahip4>hlp = fh!p	в	Dhlp,
hiP4>h,p = ghtp	на	dDhip.	(5.2)
( p = l , 2, . . . .		n).

Предположим, что все задачи из (5.2) решены. Тогда на Dh составим корректор

и константы ур выберем из решения системы *)

яп

И ^ ^ 1 '	2 -	^ = 0	(m = l , 2 , . . . , n - l ) .	(5.4)
P = I	P = I	Р

Решение системы (5.4) может быть найдено в явной форме:

*) Эта	система уравнений была приведена автором в докладе на
S Y N S P A D E	— 1971.

Докажем, что при выполнении некоторых

условий реше

ние задачи (5.2)

в форме (5.3)

обеспечивает

на DH

аппрокси

мацию решения ф не ниже, чем

0(1гп).

Потребуем выполнения следующего свойства разностных

операторов Ah/p

и Іі, /

Р . Для

произвольной достаточно гладкой

функции гр

п—і

Ah<pty = Лф +

XT'

+ л

« в

і ; І , ' п

D'4P>

m = l

Zip +

n—1

In на

(5.5)

lh>pif

Ти — Ъп +

dDuip,

m = l

где

л,п, Xm ( m = l , . . . ,

n — 1 ) — н е к о т о р ы е

гладкие

функции,

не

зависящие

от

и р;

K||D / l /p = О (/г");

|хл[|ав,1/р

0(h").

Следующим этапом доказательства является получение

аналогичного разложения для разностного

решения, а именно:

п - 1

<Р*:р

Ф т +

Ф„,р

DA/P,

(5.6)

ПІТ, Р'

где

Ф Т ( т = 1 ,

/г—1)—некоторые

гладкие

функции, не

зависящие от h и р;

||Фп,р||ол =

0(h").

Для доказательства возможности представления решения

разностного уравнения

в форме (5.6)

подставим

соответст

вующее уравнение (5.2) вместо ф''/ р выражение

(5.6). В ре

зультате постановки

получим

71 — 1

ЫРЧ>

- ^ А

Л 1 Р

+ А Ф ,

Г*

LLLP

Л1Р П

ш=1

(5.7)

'А/РФ +

^ / Р ф п , Р

g f t

на

3D f t , P .

- V A / Р Ф І »

М = 1

Следуя (5.5), можем записать

^Л/рФ =

— ^Г,0 " Г ^п,0

В Dft/p,

(5.8)

.г

lhip(p=g + 2 — G r . o + G „ , o на 5D/„P

АЛІРФт	= АФя	7і—т—і			F-n—m.m В D
		+	2	^
			г =1	А				(5.9)

	71—771 — 1
	ІФ..		" V ^ , m + G „ _ m m			на ЗД'hip'-
Причем из (5.8) уже известно, что F,„,o и G m , 0							(т — I , ...,
. . . , л — I) не зависят		от h и р,		f ^ o t o	= О (Л"),		flC.oll ао	=
= 0 ( л п ) , а запись (5.9) до выяснения					независимости			от h
функций Ф т является		формальной.
Подставляя	(5.8),	(5.9) в (5.7), приведем				подобные члены
при одинаковых степенях			{hip).	Тогда будем		иметь

^ 11 п. т Г

А®Т

Г7! = 1 '

' п - 1
+ 2F m - " + АЛІРФП,Р	+ У ^ F „ _ r , r = 0 в DHIP,
г = 0

							(5.10)
	771—1			п - 1 flr
m=l у	г = 0		+	ІіцРФП,Р+ У,	— G n _ r , r = 0 на		З Д ^ .
m=l у	г = 0			r=0	р
Теперь	достаточно выбрать			Ф] из решения		вспомогательной
задачи		A®i	+ Fuo = 0 в Д
		A®i	+ Fuo = 0 в Д
		/Фі + Оі.о = 0 на 3D.
В этом	случае	коэффициент		при первой степени hjp окажется
равным	нулю.	Заметим,	что мы тем самым			выбираем	функ

цию, не зависящую от h и поэтому					справедливо разложение
(5.9)	при т = 1 с независимыми от h функциями						Fr,i(r
= 1, . . . , л - 2 ) H\|\|F„_i,ilbhip				0(h-i),	\Gn-x,xUhlp		= 0 ( n « - i ) .
Далее выбираем Фг из решения задачи
АФ2 + F2,o + FUi = 0 в Д / Ф 2 + О 2 , о + G b l = 0 на 3D
и т. д. Каждый раз — вплоть				до (п—1)-го		шага — мы полу
чаем	гладкие, не зависящие			от h решения		вспомогательных
задач.
Запишем теперь вспомогательную					задачу	для последнего,
л-го	шага:
	А,і/рФп,Р +	2	^r-Fn-rj		= 0 в	DHIP,
							(5.11)
	п	— 1	hr	G,,_r ,r = 0 на
	lhip®n,p +	У,—		G,,_r ,r = 0 на		dDhif

г = 0 Р

Для доказательства справедливости представления (5.6) предположим, что все разностные схемы для задач (5.2) устой чивы в сеточной норме Dh, т. е. имеют место соотношения

WnDh<c(\nDlilpHg'4vJ.

Тогда из	(5.11)		непосредственно			следует, что
				P„JD/i	=	0(h").
Эта оценка и заключает доказательство								существования разло
жения (5.6).
После того, как установлено разложение (5.6), сложим
представления			(5.6)	на Dh с весами			у р :
						я—1
і			п		ті		. т		ті
V	Ур<рЫР	=	ф V	ур +	V ур	V	А	ф т +	v	урФп<р.
р—1			р=\		р=\	m = l Р			р=1

Отсюда следует, что если константы у р выбрать из реше ния системы (5.4), то последнее выражение преобразуется к виду

V урЧ>»:р = у + V Урф„іР.

Если теперь учесть очевидное неравенство

2	Урф-.р\!D < S	\УрПф»Ао, = 0(!і»),
р=\
то окончательно	получим
	І І Ф - Ф І о	- 0 ( А " ) .

Таким образом, задача построения решения высокого по рядка точности свелась к решению задач первого или второгопорядков точности на последовательности сеток. Этот алго ритм удобен в реализации на ЭВМ. Следует отметить, что сформулированный подход может быть распространен на слу чай неравномерных сеток. Однако в этом случае каждый раз требуется выполнение анализа точности и сходимости, анало гичного проведенному выше.

При решении эволюционных задач на гладких решениях можно построить разностную аппроксимацию решения высо

кого	порядка точности по геометрическим переменным. Для
этой	цели эволюционное уравнение
	4? - + Л Ф = /	(5.12)

на интервале O ^ ^ j + i	будем аппроксимировать				разностны
ми выражениями первого		или второго порядка по h и рас
смотрим последовательность эволюционных задач
^	+	Л * Ф *	=	/*
^ + Л Л /		2 Ф Л ' 2 = / В Д			(5.13)
«	•	А	*	•

+Л^ф*/" =

ссоответствующими начальными данными при /=г ; - . Переходим к построению разностных по времени аналогов

уравнений системы (5.13) для получения решения задачи (5.12) с высоким порядком точности. Сосредоточим внимание на решении однородных эволюционных задач.

Рассмотрим любую из однородных задач системы							(5.13),
которую запишем в виде
— h Лср = 0,		ф = £ п р и * = 0.					(5.14)
Здесь ф и g— вектор-функции,			а Л ^ О — матрица, не завися
щая от времени.
Задачу (5.14) будем решать			на последовательности				сеток
по t, считая решение уравнения				(5.14) гладким по		t.	С этой
целью рассмотрим	основную	сеть ^ ( / = 0 , 1, 2			. . . ) с	постоян
ным шагом x=tj+i	— tj. Эту сеть			обозначим Dx.	Далее		введем
в рассмотрение сеть Dx/2, полученную с помощью Dx						добавле
нием к ней узловых точек {tj+ч,},				совпадающих с серединами
интервалов [tj, tj+1].	Аналогично			с помощью	деления		на бо
лее мелкие интервалы приходим				к сеткам Dx/Z,	Dx/4	и т. д.

На последовательности построенных сеток определим не явные разностные схемы первого порядка точности. Предпо

ложим, что значение решения при t=tj			известно, а требуется
найти решение в момент времени t=tj+i.			Тогда имеем задачу
——		+г Л ф і + 1	= 0 .	(5.15)
Разрешая это уравнение относительно ФІ ,				получим
ф { + 1	= ( £ + т Л ) - і ф Л			(5.16)
Рассмотрим далее сеть	D T / 2	. На этой	сетке	неявная разност
ная схема уже будет содержать два уравнения:
ф 2	— V , и „ Я - 1 / 2 _ п.
^72		+ Л ( Р 2		(5Л7)

^ — ^ — +

- о.

Разрешая уравнения относительно Фг+ 1 , получим

		сг4+ І = ( £ +			Л _ Л \| - 2 ф ;				(5 . 18)
и т. д. Таким		образом,
	Ф ; + 1 = ( £ + 4 - Л ^ " Ф ; ( / 7 = 1 , 2 , . . . ) .
Для простоты		изложения		ограничимся сетками				Z)T , Z ) t / 2	и	Dx/$
и попытаемся		построить		решение		задачи		третьего		по
рядка	аппроксимации.		Тогда		на	последовательности			сеток
рядка	аппроксимации.		Тогда		на		(5.14)
будем	иметь
		Ф ї + 1		= ( £ + т Л ) - і ф / ,					( 5 . 1 9 )
		4 + l	=	( Е +-b-i4J~V.					( 5 . 1 9 )

Полученные соотношения

разложим

по малому

параметру

т.

В результате приходим к формулам

ф } + 1

<pJ — тЛф/ +

т М V

— т3Л3ф> +

. . . ,

(5 . 20)

Ф2+ 1

Ф' —

- | - t a ^ V ' - 4 - ' c

8 ^ V 4 -

Фз+ 1

Ф;' -

тЛ ffi +

т М V

4т т М V

• • -

Умножим полученные равенства соответственно на

у\,

у2,

Уз,

тогда

получим

Ф ; + 1 =

(Vi +

Ъ + Ъ) (Фу -

т ^ М +

( ї ї +

4" У* +

" Г Y

s )

X x M V - ( Y i + 4 - ^ + l 7 L b ) T M V +

( 5 . 2 1 )

где

ф ? + 1

УіФі+ 1

у 2 ф 2 + 1 + 7 з Ф з + 1 -

уравнение

Рассмотрим

исходное

эволюционное

предположении, что формальное решение его имеет

вид

(5 . 14)

фН-1 = е - т , у ,

( 5 . 2 2 )

или при разложении по малому параметру т

(5 .23)

ф 7 _

Л ф / + ^ - Л * У

4-Л

V 4- . . . .

Потребуем, чтобы приближенное решение ф э + 1 аппрок симировало точное cpJ'+I вплоть до величин порядка т3 . Тогда вместе с условием нормировки получаем систему

7 і + У 2 + 7 з = 1 ,

Vi +	4	4	vi. і	з гз	2
Vi +	4		- Y 2 +	-4-Ys =	4 - .
.	1			, 1 0
Y i + " Г " Ya + -07 Ya =
				27

решая которую, будем иметь

Yi = 4-> Т2 = — 4, 7з = - § - .

Врезультате приходим к решению

?' + 1 = 4 - Ф 5 + 1 - 4 Ф ^ + 4 Ф ^ .

( 5 - 2 4 >

(5.25)


Итак, если в качестве «начального» при t=tj					берется		точ
ное решение задачи, то на каждом интервале					tj^Zts^tj+i		по
лучаем приближенное решение Ф ,				отличающееся		от точного
на величину		порядка 0 ( т 4 ) .
Полагая,		что задачи (5.19) решаются на всем				интервале
О ^ ^ Г , получим три приближенных решения,					определенных
на одних и тех же временных точках tj сети Dx.					Тогда для лю
бого	момента		времени линейная комбинация решений Ф				бу
дет	отличаться		от точного решения	ф на величину		0 ( т 3 ) , т . е .

№ - < H | = 0 ( T 8 ) .

Аналогично могут быть получены и более точные аппрок симации на основе неявных разностных схем. Такие построе ния для схем расщепления выполнены В. В. Шайдуровым.

Пусть

п
А = 2 Аа,	Аа>0.
а = 1

Оператор по-прежнему не зависит от времени и задача пред полагается однородной. Вместо схем (5.19) рассмотрим неяв ные схемы расщепления первого порядка точности. С этой целью рассмотрим схемы расщепления, соответствующие сет ке Dvp. На интервале они будут иметь р-цикличе- ский характер. Первый цикл имеет вид

(5.26)

ф Р _ ф рп

Р Ф Р — + А „ Ф < ; 7 = О.

Такой цикл последовательно продолжаем р раз. В результате приходим к решению для ф^+ 1 .

Исключая из р-циклической схемы		расщеплений (5.26)
все вспомогательные величины, получим
%+1	Е + ± А 1 ) - 1 . . . ( Е + ± А ^	ЛР &	(р= 1,2,3,...).
Если ограничиться рассмотрением р = 1 , 2, 3, то аналогично
предыдущему можно показать, что корректор			в форме

J p J ' + 1 = V i 9 { + l + V ^ + , + Y s 9 ^ + 1

дает приближенное решение задачи с точностью до величин порядка т 3 по отношению к точному решению, т. е.

Здесь	Y I ,		І Ф , " - И = 0 ( т 3 ) .	(5.25).
			72 и уз принимают те же значения, что и в
Изложенные методы позволяют широко использовать для
решения			задач математической физики наиболее простые
конструкции разностных схем, получаемых, например,				с по
мощью		м е т о д а к о н е ч н ы х э л е м е н т о в .

Г Л А В А 7

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ВТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

Вэтой главе рассматривается применение метода расщеп ления к одной из весьма актуальных областей математиче ской физики — теории переноса излучения. На одной из задач теории переноса иллюстрируются методы редукции сложных задач к простейшим, легко реализуемым на ЭВМ.

Внастоящее время трудно назвать область науки и тех ники, которая могла бы обходиться без представлений и методов, выработанных в теории переноса излучения, и в которой эта теория не играла бы прогрессивной роли. Теория переноса уже с начала X X столетия прочно вошла в теоре тическую астрофизику (Шварцшильд, 1906 г.). Позднее она начала проникать в физику атмосферы, атмосферную оптику, оптику моря и даже физику земли — нейтронный и гаммакаротаж. Параллельно с этим процессом шло проникновение теории переноса излучения в технику. Раньше других обла стей методы теории переноса начали разрабатывать в свето технике (20-е годы), позднее в теплотехнике.

Нам особо хотелось бы подчеркнуть, что, начиная с 40-х годов, ведущая роль в разработке математических методов теории переноса излучения перешла к атомной технике, где теория переноса столкнулась не только с принципиально но выми задачами, но и с новыми физическими и математиче скими проблемами. Необходимо отметить также, что именно в связи с проблемами атомной физики были разработаны и мощные математические методы решения задач теории пере носа, в частности машинные методы.

Остановимся на вычислительных методах в теории пере носа. Основные результаты данной главы посвящены методу построения монотонных и второго порядка аппроксимации схем, разработке метода численного решения задач теории переноса с несферической индикатрисой рассеяния и исполь зованию метода расщепления как конструктивного аппарата решения задачи.

19 Г. И. Марчук

289

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ