книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

? + « г + » г - о . в х д ,

( 4 . 2 7 )

ф(*. У, 0 ) = g в D .

каждый момент времени

удовлетворяют

уравнению нераз­

рывности

Пусть

областью D является

прямоугольник {О^дт^а,

0=^у=£^6},

и решение задачи (4.27) вместе

с

коэффициентами

и и v является периодическим, принимая

на

противополож­

ных границах прямоугольника одинаковые значения.

Эволюционные уравнения из

(4.27) запишем в оператор­

ной форме

§ Ч Л Ф

= 0,

(4.29)

где

ф =

£ При

/ = 0,

A =

u£-

+

v

дх

'

ду

( Л Ф )

Ф) =

j

dx\dy

[ud£ +

v 0)

Ф-

'(4.30)

о

о

Подынтегральное

выражение

с

учетом

(4.28)

преобразуем к

виду

а Ф2

я Г*

/

д<р ,

дц>\

2 .

2 .

Поэтому

Ї0

u cf j

-зі)

< Л Ф , Ф ) =

(ДИТ

Д"Т)

4

J

0d

y'

l - a 7 -

+ - дуa — I .

(

Отсюда с помощью условия периодичности решения

на

гра­

ницах получаем

(ЛФ ,

ф ) = 0 .

(4.32)

ІІФ*+ , ІІ = ІІФ3'-ЧІ = . . . =

ІІ5ІІ.

( 4 . 3 7 )

Это

поучительный

пример

того,

как

формальное расщеп­

ление

на операторы

(4 . 34)

может

скомпрометировать саму

идею

расщепления,

и лишь

дополнительные

соображения

разностных схем.

Предположим,

что коэффициенты

и и v достаточно глад­

кие, и рассмотрим

уравнения (4.27)

в

дивергентной

форме

Ш +

^Г +

-ду--°

' '

( 4 . 3 8 )

Ф = £ г

в D при

£ = 0 .

[А Ф)А,І

ш

Ї -

2Ау

2

V '

'2Лх

'

_|_

l+2&Vk''~i)'

^'40'>

Очевидно,

разностное

выражение

(4 . 40)

аппроксимирует

(4 . 39) со вторым порядком относительно

АЛ; И ку

на

доста­

точно

гладких функциях

и, v и ф. Однако

выражение

(4 . 40)

имеет

существенный недостаток, поскольку

в такой форме опе­

ратор

Ah

нарушает свою кососимметрическую

структуру,

т. е.

(Л*ф, Ф ) = ^ 0 .

( 4 . 4 1 )

(А" Ф),£,г = и н - . / 8 . і Ф * + . , / - ^ - і й . і ^ - . , і

+

удовлетворяет основному соотношению

(Л"ф,

ф) = 0

(4.43)

и аппроксимирует

выражение

(4.39)

со вторым

порядком

по

Дд: и Ау. Воспользуемся следующей

аппроксимацией

коэффи­

циентов:

uh+\,l~uh,l

. „,

"ft, f+i — "ft.f.

"й+і/2,г =

"ft+i, г

2

* u M + i / 2

— u ft,/+i

2

'

(4.44)

uh-m,l =

o_ » f t . t - » f c - i , <

.

J

„

,

vk,i—

"ft, 1-і

"ft—1, J І

о

'

Vh,l—\l2=vh,l—\

і

й

•

(Ан ФЬ. , =

^ . ' V

U ^ M

,

,

^

+

+

6 , " | / + і Ф " ' / + 1 ~ ^ ' г

" і Ф ' г ' , ~ 1

-

(4.45)

Фй.г /Ч-н,; — "ft-i,/ д . »ft,<+i —p ft,i-i \ _

/д . ,го

і

А,,2л Ї

~

(,

т

1

—щ—)

( Д л

Rk-1

+ Л

У *2*.У'

где

величины

у^;і,г

и Q/ы при

Дх-*-0

и Д # - > 0

стремятся к

следующим:

Rk,l~* 4

' ах [дх ' дх у

Q k , i - *

4

-

ду [ду ' д у ) '

Если

" * + 1

, 2 A

7 * ~

U

V h ' l + \ ~ y k ' l - X

=

0 <*•).

(4.46)

коэффициенты

и, v к решение

ф

имеют

ограниченные

производные

третьего

порядка по х и у,

то видно, что выра­

+

(4.46) отличается от

(4.40) на тот

жение (4.45)

при условии

же второй порядок малости, как и

выражение (4.40) от

(4.39). Таким образом, мы показали,

что выражение (4.42)

аппроксимирует

(4.39) со

вторым

порядком

относительно

Ах и Ау.

18 Г. И. Марчук

2 7 3

U'a = Va(X,

tj),

а второго порядка —

Обозначим

dxo.

а = 1

(а,Ь)=

\abdD,

Ъ

то нетрудно проверить, что имеет место

равенство

( Л ' Ф, Ф ) = 0 .

( 4 . 5 8 )

Уравнение ( 4 . 5 7 ) разрешим относительно Ф > + 1 . Тогда

получим

и с помощью леммы Келлога и ( 4 . 5 8 ) находим

1 1 ^ + 1 =

II Ф ' 1 -

( 4 . 5 9 )

Далее

рассмотрим

разностную аппроксимацию

уравнения

( 4 . 5 5 )

в

пространстве

геометрических

переменных.

С этой

целью

область D спроектируем

на £>л и запишем,

опуская у

и, Ф те индексы, которые не изменяются:

Ф ' ^ - Ф *

_[_ Д;ф/+'/3 =

0 ,

( 4 . 6 0 )

где

А*

= S

AL

( 4 . 6 1 )

Л « Ф = 2Д7~ ( " " ' " o + V l Ф " « + 1 ~ " « ' f t a - ' / » Ф " а - 1 ) •

( 4 . 6 2 )

(a,b)=

S

ahih.y..hbh^...hnAx1

Ах2

• • •

Ахп .

(4.63)

hr-hn

Нетрудно

проверить, что

(Л'Ф, Ф ) = 0 .

(4.64)

Следовательно, используя

(4.64), имеем

1 ф ; + 1 | | =

1 ф / | | = . . . = | | / | | ,

где Ф^ — решение уравнения (4.60). Таким

образом, при

ука­

занной

разностной

аппроксимации оператора

Aj

оператором

из

(4.60) — (4.62)

снова

приходим к абсолютно

устойчивой

схеме.

Теперь

исследуем аппроксимацию

A3 с

помощью

ЛА

В этой связи

рассмотрим

сначала элементарные

операторы

А'а и Аа.

В дальнейшем используем в выраженииЛ; а Ф

в ка­

честве

коэффициентов

(4.65)

Ua,fea—'/з — Ua,ha—1

+ — ("a,fta

— Ua,ha—1

) •

- («i.fca -

« a , f t a - l ) ( Ф й а

- Ф * а - 1 )] •

(4.67)

Если Д х а - Я ) ,

то, принимая

во

внимание предположение

о

достаточной

гладкости

решения

и

коэффициентов

и(х,

t),

имеем

pi

(^L

—

_ А _

*а~*

дха

[дха

'

дха

и, следовательно,

п—а+1

п—а

ф '

" ~ = ф

(а

=

1 , 2 , . . . ,

п),

п - а + 1

Ф

, +

п

(а =

п,

п—1,...,

1).

—

Исключая

промежуточные значения ||Ф||, получим

|ф/+і|| = |ф/-і||.

(4.74)

полнить

хорошей схемой экстраполяции коэффициентов иа

на момент времени tj, зная их в предыдущие

моменты.

Нами

рассмотрена схема второго порядка

аппроксимации

странение

алгоритма

в

случае

более

точных

аппроксимаций.

В самом деле, пусть

Р

~Y

( Ч+т

+

"fe )

Фк+т

~

4~

( uk + Ч-т)

Фк-т

Р«

2

ШАх„)

-,

(4.75)

где 6 т удовлетворяет следующей системе уравнений:

S Рт =

1;

І

m 2 B m =

0 , . . . ;

£

/л2р-2 B m =

0.

(4.76)

m = l

Тогда, если ха

=

Xka,

имеем

2 > а Ф =

2

д " а

Ф

-0(h*p).

дх„

xa==xkr

а=1

При этом

коэффициенты

удовлетворяют

предполагается, что

следующему соотношению:

п

р

иa,ka+m'

= 0(h2P).

(4.77)

<х=1 m = l

2тАхп

a

а=1

(4.78)

dt ^ JU дх^

и*