Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

где Ф„, Gn, Рп			и Qn — коэффициенты Фурье элементов щ,							gk,
ph	и qh соответственно. Для неявной схемы (1 і '. )
	ф ж _ 9 ф 4 +			ф Г 1	4	ft	ф ж +	ф , - і
		^			1-	sin- —		г,	= G7n,
									( 3 . 6)
	Ф° =	Р П ,	Ф,!,	= рп +	MQn	+	sin2 Н І	/>„ +	JEL GO .
С	целью	установления			критерия		счетной	устойчивости		для

задач с гладкими входными данными изучим поведение ли

нейно-независимых		решений		однородных		задач (3 . 5) и			( 3 . 6 )
в зависимости	от	индекса		/	и решение		будем искать в
виде
			Фп = Л п т і І .						( 3 . 7 )
где Ап и Tjn — константы, причем здесь						т\|п	возводится	в	сте
пень /. Полагая	в	( 3 . 5 ) и		(3 . 6) Gn = 0		и	подставляя	в	эти
уравнения ( 3 . 7 ) ,	приходим			к	следующим		выражениям		для
в случае схемы		«крест»
	т £ - 2 ( 1 - ^ ) Л п + 1 = 0 .							( 3 . 8 )
в случае неявной			схемы	('•'•'•)
		Til	-2—^		+ 1=0,			(3 . 9 )
где
			= 2 - j j j -		sm- - 1 —

Решая квадратные уравнения ( 3 . 8 ) и ( 3 . 9 ) , получим:

т)п = 1 - и..п ± ] / " ( 1 - ^ ) 2 - 1 ;

(3 . 10)

Т]п:	v ^ V b b J - 1 -	(ЗЛ1>
1 -	v ^ V b b J - 1 -	(ЗЛ1>
Рассмотрим сначала решение для схемы «крест». Легко
видеть, что если
(i2 n = 2 _ ^ s i n ^ < 2 ,		( З Л 2 )
то
Ы =	i , h n , - 4 n J > C T	(З.із)

и, следовательно, разностная схема будет устойчивой. Необ ходимо, чтобы условие (3.12) выполнялось для всех значе-

ний n=l,	2,	..., N—l. Очевидно, это условие выполняется
для любых п,		если т и h связаны	зависимостью
			2
или, более просто, т и h связаны условием Куранта
		1<\.		(3.15)
Нетрудно установить, что в случае неявной схемы				(: •: ; )
при любых п и т > 0 имеет место			равенство
		ton 1 =	1.	(3.16)

Это значит, что данная разностная схема абсолютно устой чива (см. Рихтмайер, Мортон [ 3 ] ) .

Аналогичным образом может быть рассмотрена задача о малом колебании мембраны. В этом случае мы приходим к уравнению

^ - Э + 3	+ / С « . » , в . В Х О к		(3.17)
при краевом условии
Ф = #	на dDXDi,	' 1	(3.18)

иначальных данных

Ф— Р. |г = Я в D при і = 0.

Решение этой задачи в квадрате D при достаточно глад ких входных данных находится с помощью метода конечных разностей, как и в случае уравнения малых колебаний стру ны. При этом метод исследования с помощью рядов Фурье является аналогичным рассмотренному выше для двумерного разностного аналога уравнения теплопроводности. Не повто ряя этого пути решения задачи и его анализа, перейдем к рассмотрению более общей задачи с уравнениями гиперболи ческого типа.

6.4. У Р А В Н Е Н И Е « Д В И Ж Е Н И Я »

Перенос частиц вдоль траектории, являющийся важным составным элементом гидродинамического процесса, описы вается уравнением движения. Именно важностью приложений объясняется большое внимание исследователей к решению такого уравнения.

Развитие численных методов решения уравнений движе ния стимулировалось потребностями в гидродинамических и газодинамических расчетах. За последние два-три десятиле-

тия численные методы решения гидродинамических задач обогатились рядом интересных идей, предложенных Нейма

ном, Рихтмайером1 7 1 , А. А. Дородницыным1 3 1 ,					С.	К. Годуно
вым1 4 1 , Л а к с о м ' 6 , 7 1 , К-		И. Бабенко,	В.	В.	Русановым1 1 2 1 и
многими другими.
В	последние годы	интенсивное	изучение		проблемы		про
гноза	погоды и динамики океана дало			новый		импульс	для

разработки эффективных методов численного решения урав нений движения, что, благодаря работам Курихары, Холловэя [ 4 ] , Брайна1 4 1 , Г. И. Марчука'3 1 и других, привело к созда нию универсальных и эффективных алгоритмов решения та ких задач.

К числу простейших задач математической физики следу ет отнести уравнение переноса субстанции вдоль траекторий частиц, которое можно представить в виде

	^	=	0	'
где	dt			'
где
d	д ,	д		.	д .	д
dt	dt	дх		'	ду '	дг

— полная	производная	от	функции	<р(.г, у, z, t) по времени,
а и, v и	w — компоненты		вектора	скорости u = Hi+t»j+шк,
причем
	dx		dy	dz
	u=dt>	v	= ! t > w	= df

Рассмотренное уравнение решается при дополнительных ус ловиях, простейшим из которых для неограниченной среды будет

Ф(х', у, z, 0 ) = f ( x , у, z).

Аналогичная задача возникает в качестве элемента обще го алгоритма при численном решении уравнений гидродина мики, теории переноса излучения и многих других. Учиты вая это обстоятельство, проведем подробное обсуждение воз можных путей численного решения задач такого вида.

6.4.1. Простейшие уравнения движения

При решении задач гидродинамики, гидротермодинамики, прогноза погоды, динамики океана и других приходится иметь дело с уравнениями переноса субстанции вдоль траек торий. Простейшим уравнением такого вида является урав нение

q>=f(x) в D при / = 0 ,

где и — заданная	скорость,	a f(x)—начальное	распределе
ние ср. Областью	D является	вся вещественная	ось х, a Dt=

={0^ts^T}. Предполагаем, что ср(лг, t) и f(x) являются пе

риодическими	функциями по л; с периодом 2я. Если	и=const,
то задача (4.1) имеет очевидное решение
	<p(x,t)=f(x-ut)	(4.2)
при условии,	что f(x) есть дифференцируемая функция. Ре

шение (4.2) описывает процесс распространения начального возмущения вдоль характеристики

	х—ut=const.
Это значит, что <р(х, £ ) = c o n s t на любой прямой			х—«/=const.
Итак, задача (4.1)	при ы > 0	определяет процесс распрост
ранения возмущения	в сторону	возрастающих	значений х.

Эти хорошо известные положения следует иметь в виду при

конструировании		разностных аналогов		задачи (4.1). Если
скорость	и=и(х,	t)—переменная,	то	нахождение решения
задачи	(4.1) в	аналитическом	виде	уже затруднительно.

Именно в этих случаях оказывается необходимым примене

ние численных методов, основанных на

разностных аппрок

симациях.

Рассмотрим простейшие разностные схемы с

« = c o n s t .

Ради определенности

будем

полагать

и>0.

Тогда

имеем

яв

ную схему

Ф І - Ф І - , . . о

и неявную

Ф / + » ' - Ф & +

( 4 < 3 )

?*.

и Ф *

Ф * - ',

(4.4)

Дх

Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации

по Ах

и т.

В самом деле,

предположим, что начальное значение f(x)

решение ф(лг, t) —достаточно

гладкие

функции. Тогда реше

ние уравнения

(4.1)

разложим

ряд

Тейлора в окрестности

точки X=Xk,

t=tf.

Ф (*, t)

(ф)£ +

M i it

tj)

+ Ы £

(x-xk)+

...

(4.5)

Подставляя

ряд (4.5) в (4.3), получим

дф _,_

Зф

ыА*

52 ф

д^ф

п\

~дГ*идх~

~ 2 ~

дР ~

Отброшенные члены в (4.6) имеют более высокий порядок малости. Из уравнения (4.1) следует, что

tj^.t^ti+i.

Тогда выражение (4.6) примет вид

Такой анализ разностных схем был предложен А. И; Жуко вым*5 . Анализ соотношения (4.8) показывает, что при

соотношение (4.8) можно толковать как уравнение теплопро водности с областью определения решения Xk-\^x^xh, Если положить, что отброшенные члены в (4.8)

малы, то в результате мы приходим к уравнению

			dt	^	дх	~~	Р дх*'
где					иАх	—	н 2 т
				ц =	иАх	—	н 2 т
				ц =		_
является		так	называемым		к о э ф ф и ц и е н т о м				и с к у с с т
в е н н о й		или	« с ч е т н о й »		в я з к о с т и .			Заметим,		кстати,
что	если
				Ах		1 *
то	р , = 0	и будут равны нулю все					другие	отброшенные		слага
емые и		явная	схема	(4.3)	оказывается схемой				бесконечного
порядка аппроксимации по Дх и т.
	Особо следует отметить случай, когда

£>'•

Вэтом случае мы приходим к уравнению

Легко видеть, что уравнение (4.9) при начальном условии

Ф=Ф°(х) при t=0

(4.10)

приводит к задаче, некорректно поставленной по Адамару. Решение этой задачи неустойчиво по отношению к малым вариациям в начальных данных. При построении разностных уравнений для задач вида (4.1) необходимо всегда учиты

вать условие корректности задачи

^=^<ИТ L,

*) См. монографию Б. Л. Рождественского и Ы. Н. Яненко [ 2 1 . В даль нейшем этот анализ был разработан в ряде статей Н. Н. Яиенко и Ю . И. Ш о к и н а " ] .

Исследуем теперь проблему счетной устойчивости схемы (4.3). С этой целью сначала рассмотрим спектральную за дачу .

	(Ah(o)k=u		M f e	~	J * " 1 =	foot		(4.11)
на бесконечном сеточном			интервале £>л= ( — <x><.Xk<.oo).					Ре
шение	уравнения	(4.11),	ограниченное			в D^, имеет	вид
		СОЙ =	eikPAx,				f	(4.12)
где р— произвольное целое					число.	Подставляя	(4.12) в
(4.11),	приходим к выражению для собственного числа
	/^ = ^ ( 2 s i n 2		^	+	f s i n p A x j .			(4.13)
Уравнение (4.3)		запишем в операторной форме
		Ф ^ - Ф 7			/ = 0 .			(4.14)
Решение уравнения (4.14)			будем+ л * ф искать в виде
		ф / = V		ф/е'^Д^І				(4.15)
		р=—СО

где ф'р — коэффициент Фурье функции ф5. Для коэффициен тов ф^, получаем уравнение

£ ^ i . + w , _ o .

Отсюда

где Тр=1—тХр			— м н о ж и т е л ь		п е р е х о д а			для коэффици
ентов	Фурье.
Найдем условие, при котором все компоненты (р!р									не воз
растают по модулю. Таким условием						будет
				\| 1 - т Я р \| < 1 .					(4.17)
Это неравенство имеет место, если
В самом деле,
	П - тХ„\|» = ( 1 -			\| f - s i n ^ J		+	( ' £ ) % m = ^		=
-	1 -	4 £	.Ю- ^	+ ( £ ) *	(4 . i n '		+	ЗШ'„Д*)	-
	_ , -	4 £	i n '	+ 4	. i n - 2 f i (			s.n* ' 4 '	+

Если ^ ] > 1, то 11 — т%р\ > 1. Поэтому остается рассмотреть

величину		\|1—%ХР\ при		0 < ^ ^ : 1		(напомним,		что	мы	пред
полагали		и > 0 ) . Функция			—		в этом интервале прини
мает наибольшее значение, равное						^	при
				ыт	1
				д ! ~	2 •
т т				I I	Л I	1	• 9 Р Л*		о Р ДХ
И	в	этом	случае	\|1 — тлр \| =		1 — sin"5		=	cos'—^	•
При	остальных		значениях		из интервала				^ 1	эта

положительная функция, уменьшаясь, стремится к нулю на

концах при	^ =	0 и ^ = 1 . Э т о	значит, что	имеет	место
неравенство	4 s i n 2	£ ^ ^ j ^ l — ^ ]	^ " - Отсюда	следует	спра

ведливость высказанного выше утверждения.

Таким образом, мы приходим к условию счетной устойчи вости разностной схемы. Легко видеть, что в рассматривае

мом	случае установленный критерий устойчивости	совпадает
с условием корректности уравнения (4.8).
Переходим теперь к обсуждению неявной разностной схе
мы	(4.4). Методом, изложенным выше, нетрудно	показать,
что	схема (4.4) также имеет первый порядок аппроксимации
по Ах и т. С помощью разложения в ряд Тейлора		при x=xk
и t=tj приходим к «асимптотическому уравнению»

где

иАх 4- и2т

Уже здесь можно констатировать принципиальное разли чие соотношений (4.8) и (4.18). В последнем уравнении коэф фициент счетной вязкости всегда положителен. Следователь но, уравнение (4.18) при соответствующих достаточно глад ких начальных данных всегда корректно. Нетрудно показать, что разностное уравнение (4.4) устойчиво при любом соотно шении шагов, т. е. абсолютно устойчиво, поскольку множи тель перехода для каждого коэффициента Фурье равен

Т -

Отсюда следует, что
Из	интересных и		\ТР\<1.			разностных
Из	интересных и		весьма	употребительных		разностных
схем,	кроме (4.3)	и	(4.4), можно		привести следующие:
	^ - Г ^		+ «	2 А х - °'		( 4 Л 9 )
	Ф ' + 1 _	а/	ш ' + 1 / 2	— го'+1/2
	2*	*Л +	ц ф н - і	9 / f t - '	= 0 ,	(4.20)
где	•с	'		2Д*	'
где

Ф/£+ш = 2 1 ( ф ж + Фг/)

Нетрудно установить, что схема (4.19) является схемой первого порядка аппроксимации по т и второго по Ах. Соот ветствующее этой схеме дифференциальное уравнение будет иметь вид (4.18), где

Устойчивость определяется операторами перехода для коэф фициентов Фурье. Приходим к спектральной задаче

Решение уравнения (4.21) будем искать в виде (4.12). В ре зультате для Кр будем иметь

%p = i^sinpAx.

(4.22)

Из (4.19) непосредственно следует, что для коэффициентов Фурье имеем уравнения

Ь	Ї £ + ^ ф / + 1 = 0 ,
или	¥р+1=Тру>\	( 4 _ 23)
	¥р+1=Тру>\	( 4 _ 23)

где

т1

1+хкр •

С учетом (4.22)

і р —

1 + 1 — sin рАх

Ах

и, следовательно,

Отсюда следует абсолютная	счетная	УСТОЙЧИВОСТЬ схемы
(4.19).
Наиболее интересной в	приложениях является		схема
Кранка — Николсона (4.20).	Нетрудно	убедиться,	что эта

схема второго порядка аппроксимации по т и Ах и не дисси-

пативна.	Это значит,			что	в	дифференциальном		уравнении
(4.18) имеем (.1=0, а отброшенные							члены имеют	порядок
тД.г, Т 2 И А.г-2. Что		касается			счетной устойчивости, то			з данном
случае
				1 — і		sin рд.ї
		т	_			2Ах
		•Id-—		1	-J- і	i£E_ sin	рАх
				1	-J- і	i£E_ sin	рАх
						2Ах	ґ
Отсюда	следует,	что
					\|ГР [ = 1.

и, таким образом, эта схема является абсолютно устойчивой. Следует отметить, что если в схеме (4.3) разностное выраже-

ние для и ~ в форме

			„	Ф ь - Ф І - і
					Ах
заменить на
					л	'
					Ах
то полученная		разностная		схема		при ы > 0		окажется		неустой
чивой	при любом		соотношении			шагов.	Доказательство				оче
видно.
В заключение рассмотрим еще один интересный метод чис
ленного решения задачи (4.1) на основе								так	называемой
схемы	«бегущего		счета».		Предложенная			Л.	Д .	Ландау,
Н. Н. Мейманом и И. М.				Халатниковым1 4 1				эта	схема		имеет
вид
Т * + 1 ~ <		+ J L Ц ф £ + 1		+	< )	_ ^ g i	+	Ф І	=	0.	(4.24)

Нетрудно показать, что эта схема второго порядка аппрок симации по т и первого по х. Она реализуется рекуррентным соотношением

2	их	их
	2Ах	2Ах

На основе анализа устойчивости по Нейману с помощью ме тода Фурье нетрудно доказать, что схема (4.24) абсолютно устойчива.

;

Аналогичным образом можно построить схему «бегущего счета» для многомерной задачи движения и доказать ее ус тойчивость в случае уравнения с постоянными коэффициен тами.

Выше всюду предполагалось, что и постоянна и положи

тельна. Если	и отрицательна, то заменой х		на — х приходим
к уравнению	(4.1). Однако особый интерес		для приложений
имеет случай,	когда и=и(х,	t). Уже самый	простой анализ

показывает, что в этом случае, даже при использовании не явных диссипативных разностных схем, возможно нарушение счетной устойчивости. Особенно это проявляется в нелиней ных задачах. Суть дела состоит в следующем. Если разло жить решение разностной задачи и коэффициент u ( x h , tj) в ряд Фурье, то произведения рядов Фурье приведут к гармо никам как более длинным, чем взаимодействующие, так и более коротким.

В результате такого процесса в ряде случаев может про изойти перекачка «энергии» от ошибок округления из длин ных волн в наиболее короткие, и процесс вычислений окажется неустойчивым, несмотря на то, что данная разностная схема с постоянным коэффициентом будет счетно-устойчивой. Обыч но такую неустойчивость называют н е л и н е й н о й . Она так же иногда появляется и при решении линейных задач с пере менными коэффициентами. Поэтому построение разностных схем для нелинейных уравнений или уравнений с переменны ми коэффициентами, устойчивых в отношении к любым воз мущениям, является чрезвычайно актуальной задачей. В большинстве случаев подавление счетной неустойчивости воз можно с помощью диссипативных разностных схем, отвеча ющих определенному выбору коэффициента счетной вязкости

ц.. Однако	такие схемы, как правило, оказываются	схемами
первого порядка аппроксимации либо по т, либо по		А х , либо
и по т и по	Ах.
Особый	интерес в приложениях имеют уравнения вида
ді+д-Ц	= 0,	(4.26)
где и=и(х,	t).

Разностные схемы для уравнений такого типа, абсолютно устойчивые и имеющие первый или даже второй порядок ап проксимации на некоторых классах коэффициентов, изучим при рассмотрении многомерных уравнений вида (4.26).

6.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициентами

Рассмотрим на плоскости (х, у ) задачу о движении ан самбля частиц по заданным траекториям. В рамках метода

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ