книги из ГПНТБ / Гулиа Н.В. Инерционные аккумуляторы энергии

Рис. 96. Схема сил, вызывающих прецессию.

вращения .

В р а щ е н и е

вокруг

к а ж д о й

из

двух

других

осей

н а з ы в а ю т

прецессией,

а

скорость

этого

в р а щ е н и я — у г л о в о й

скоростью

прецессии.

Если маховик прецессируют относительно оси X ' с по­

стоянной

угловой

скоростью

W p

рад/сек,

то линейная

ско­

рость материальной частицы

обода,

н а х о д я щ е й с я

в

данный

момент

на оси

+ Х ' ,

не

имеет

составляющей,

параллельной

оси Z'. Через четверть оборота

д а н н а я

частица

пересечет

ось

+ Y ' .

В

этот

момент

с о с т а в л я ю щ а я

ее

скорости,

п а р а л ­

л е л ь н а я

оси

Z'

и

обусловленная

прецессией,

будет

равна

— RWj). Когда

та

ж е

частица

будет

пересекать

ось

— X ' ,

со­

с т а в л я ю щ а я

ее линейной

скорости,

обусловленная

прецессией,

снова обратится в нуль.

З а т е м ,

когда

частица

достигнет

оси

— Y ' ,

эта

с о с т а в л я ю щ а я

возрастет

в

противоположном

направлении

до

- j - RW p . З а

следующую

четверть

оборота

она

будет уменьшаться, и в момент завершения

цикла,

т. е. ког­

да

частица

достигнет

оси

+ Х ' ,

снова

станет

равной

нулю.

Д л я

создания

ускорений,

которые

вызовут

эти

изменения

, скорости,

на

обод

маховика

д о л ж н ы действовать

силы,

па­

раллельные оси

Z'.

Т а к им образом, во время прецессии относительно оси X',

совершающейся по часовой стрелке, если смотреть

со

сторо­

ны

+ Х ' ,

количество

д в и ж е н и я

к а ж д о й

материальной

части­

цы

обода

при изменении ее полярного

угла 0

от

—90°

до

+ 9 0 ° (при движении

частицы

в направлении

+ 0

через

О)

ным направлением оси

Ъ'. П р и изменении угла в

от + 9 0 °

до —90° (в направлении

+ 0 через 180°) количество

движе ­

вующему относительно оси Y'. Так

как

положительный мо­

мент

приводит

к прецессионному

движению, его

называют

прецессионным

моментом.

Определим

величину момента,

необходимого

д л я

созда­

ния

прецессии

со скоростью W p рад/сек.

С н а ч а л а

найдем

ведение

массы этой частицы

на

составляющую

ее ускорения,

п а р а л л е л ь н у ю

оси Z', будет равно силе, действующей

на

эту

частицу.

Соответствующий

момент

найдем

умножением

си­

лы на расстояние частицы от оси Y'. И, наконец, чтобы опре­

делить общий прецессионный момент, проинтегрируем

полу­

ченное

в ы р а ж е н и е д л я

элементарного

момента

по всей мас­

се обода.

П о л о ж е н и е частицы

dm

может

быть

установлено

при помощи радиуса Я, угла собственного вращения 0

(про­

изводная

от 0

по времени равна угловой скорости собственно­

го в р а щ е н и я

со)

и угла

прецессии

Ф

(производная

от

Ф

по

времени

равна

угловой

скорости

прецессии

W p )

по

следую­

щим уравнениям:

x = R cos

0,

(166)

y = R

sin

0

cos

Ф,

(167)

z = R sin

0

sin

Ф.

(168)

З д е с ь

х,

у,

z — координаты

м а т е р и а л ь н о й

частицы,

опре­

д е л я ю щ и е ее

п о л о ж е н и е относительно неподвижных в

прост­

ранстве осей X, Y, Z. Оси маховика

X', Y', Z ' повернуты

отно­

сительно

осей X, Y, Z вокруг оси X на угол прецессии

Ф.

Д л я

определения составляющей

ускорения

материальной

частицы

по оси

Z необходимо

продифференцировать

д в а ж ­

д ы уравнение

(168):

~

= - R

sin Є sin Ф с о 2 + R cos

Є cos

O U > W P +

ut'J

-f-R cos 9 sin Ф ~ -

-f-R cos 0 cos

OcoWp—

—R

sin 0 sin d>Wp2+R

sin

0 cos

Ф

.

(169)

Теперь,

считая скорость

процессии

постоянной

^ ^ - P = o j , -

рассмотрнм

уравнение

(169)

применительно

к

момен­

ту времени,

когда ось собственного в р а щ е н и я

Z'

совпадает

с

осью Z. В

этот момент угол Ф равен нулю, а

с о с т а в л я ю щ и е

ускорения

материальной частицы по осям X и Y

находятся

в

плоскости

іма-ховика

и обусловливают

•возникновение

в н е м

сается

составляющей

ускорения, направленной

по оси Z, то

она как

раз и являетс я

единственным

ускорением,

которое

д о л ж н о создаваться внешним прецессионным моментом .

И з

уравнени я

(169) получим, что при

у к а з а н н ы х

условиях

это

ускорение

равно:

^ - = 2 R c o s 6 a > W p .

(170)

Д а н н а я с о с т а в л я ю щ а я

ускорения

материальной

частицы

представляе т собой кориолисово ускорение.

Сила,

в ы з ы в а ю щ а я

это ускорение

материальной

частицы

массы dm, д о л ж н а

быть:

dF = dm - ^ - 2 dmR cos

0coWp .

(171)

Момент этой силы относительно оси Y определим умно­

жение м

ее на расстояние

R cos 0 частицы от оси .Y:

dL==dFR cos 0 = 2 dmR 2 cos2

©соWP .

(172)

Е с л и принять, как это было сделано раньше, что вся

мас­

са М маховика равномерно распределена по окружности

ра ­

диуса R, то м е ж д у

элементарной массой dm и бесконечно

ма­

л ы м углом

d© существует с л е д у ю щ а я

зависимость:

М

dm

=

е в .

(173)

J L =

— M R W j ,

cos2

0 d 8 ,

(174)

которое после

интегрирования

по

всей

окружности,

т. е. от

0 =

0 до 6 =

2я,

примет вид:

2-

L

=

- L M R 2 ( B W P \ c o s 2 6 d 0 = MR 2 i . )W i ) .

(175)

о

Этот результат можно было бы получить

т а к ж е

и из

уравнения

(172)

без

интегрирования,

р а с с м а т р и в а я

попар­

но

м а т е р и а л ь н ы е

частицы, расположенны е

под углом

90° друг

к

другу. К а ж д о й

материальной

частице

массы

dnii

с

поляр­

ным

углом

9

соответствует д р у г а я

частица

равной

массы

dm 2

с полярным

углом

0 + 9 0 ° . Момент

d L i 2 , необходимый

для

создания

д в и ж е н и я

этой п а р ы

частиц

(dmi и d m 2 ) ,

с.тре­

буемым ускорением определим по формуле:

d L 1 2 = 2 R 2 u ) W P

[dm , cos2

0 + d m 2 c o s 2 ( 0 + 9 0 ° ) ]

=

= 2 R 2 c o W p ( d m 1 c o s 2 0 + d m 2

s i n 2

0 ) = 2 R 2 ( o W p d i n .

(176)

Та к ка к вся масса М маховика слагается из масс ука­

занных спаренных частиц, то

полный прецессионный

момент

L =

2 R 2 ( o W p - ^ - = M R 2

c o W P ,

(177)

т. е. равен моменту, определяемому уравнением

(175).

Уравнение

(175),

выведенное на основании

второго

зако­

на

Ньютона,

в ы р а ж а е т

основной

закон прецессии.

§

2. Гироскоп

в карданном

подвесе

Р а с с м о т р и м гироскоп в

к а р д а н н о м

Подвесе

(рис. 97).

Воспользуемся

основным законом

прецессии,

чтоб

выяснить,

как будет прец'ессировать такой гироскоп при действии

на

него

внешнего

момента . Н а рис. 97 ось Z

совпадает

с

осью

собственного

в р а щ е н и я маховика

(ротора

гироскопа),

ось

X — с осью

в р а щ е н и я

внутренней

р а м к и

подвеса

и

ось Y —

с осью в р а щ е н и я наружной рамки подвеса.

Внешний

момент,

действующий

относительно

оси

враще -

ми,

л е ж а щ и м и

в плоскости

X — Y . В

результате действия 'Мо­

мента

на

составляющую

Н cos

Ф гироскоп, согласно

осноп'

ному

закону прецессии,

будет

прецессировать вокруг

оси

ї

со

скоростью

Подобным

ж е

образом

момент,

приложенный

к

наруж ­

ной

р а м к е

по

оси

Y, действуя на с о с т а в л я ю щ у ю Н cos

Ф, вы­

зывает прецессию

гироскопа

относительно оси X CG

скоростью

В этом случае вектор момента

L п а р а л л е л е н

составляю­

щей Н sin Ф кинетического

момента

и поэтому не

может

из­

через L r ,

то д л я предотвращения

поворота

наружной

рамки

величина

L r cos

Ф д о л ж н а

быть

равна

L.

В е р т и к а л ь н а я

со­

с т а в л я ю щ а я

L,. sin Ф

будет

восприниматься

подшипниками

наружной рамки .

Р а с с м о т р и м явления, возникающие при изменении ско­

рости собственного

в р а щ е н и я

гироскопа.

О б о з н а ч и м :

L„, —

момент,

п о р о ж д а е м ы й

гиромотором

при

разгоне

ротора;

L y — с о с т а в л я ю щ а я

L m

по

осп

наружной р а м к и

карданова

подвеса;

L z - — с о с т а в л я ю щ а я

L m

по

оси

Z,

воспринимаемая

подшипниками наружной р а м к и к а р д а н о в а подвеса.

Используем

выражение

L ^ L y ^ L ^ s i n

Ф.

у

(І81)

Подставив

уравнение

(181)

в уравнение

(180), получим':

или

w

" - - & 5 r ! '

( , 8 2 )

1

Ф

W p

x

=

-

b ^

_ .

(183)

Уравнение

(183)

показывает,

что

скорость

прецессии,

с о з д а в а е м а я

моментом

гиромотора

при

разгоне

ротора,

пря­

мо пропорциональна

тангенсу

угла

отклонения

внутренней

р а м к и от

ее нормального

положения .

§

3.

Нутация

Колебательное движение оси

гироскопа

(или

его ну­

тация)

обусловлено переходом энергии

вращательного

д в и ж е ­

ния

от

одной оси к а р д а н а подвеса

к

другой

его оси. Оно

гашено силами

трения в подшипниках

к а р д а н о в а подвеса

'или

за счет какого

-либо другого процесса,

способствующего

рас ­

ной, частота нутации д о л ж н а быть

высокой. Высокая частота

нутации наблюдается ,в тех случаях, когда численное

значение

кинетического момента Н велико

по сравнению со

значения­

Чтобы определить частоту нутации f„/ рассмотрим

про­

стой трехстепенный гироскоп. Пользуясь основным

законом

прецессии, м о ж е м з а п и с а т ь ч с л е д у ю щ и е уравнения:

(184)

(185)

где L.v — момент,

действующий

относительно

оси

X;

L y —

момент,

действующий

относительно

оси

Y;

W* — скорость

прецессии относительно оси X; W y

— скорость

прецессии от­

носительно

оси

Y;

Н — кинетический

момент

гироскопа.

В уравнении

(185) перед

L y поставлен минус,

так

к а к поло­

жительными

считаются

только

те

величины,

направления

векторов которых, в соответствии с правилом

буравчика,

совпадают с положительным направлением какой - либо

из

координатных

осей.

Обозначим:

L x — момент инерции

ротора

и внутренней

р а м к и к а р д а н о в а

подвеса

относительно

оси X;

Lv—момент

инерции ротора, внутренней и наружной

р а м о к

к а р д а н о в а

подвеса

относительно

оси Y; f n — частота

нутации.

По

второму

закону Ньютона

д л я вращательного д в и ж е ­

ния имеем:

U=lxWx,

(186)

L v

= lyWv.

(187)

О б ъ е д и н я я

уравнения

(184)

и

(186), а т а к ж е

уравнения

(185) и

(187),

получим:

bWy

= \xWx,

(188)

HWx=-lyWy.

(189)

После решения

уравнения

(189)

относительно

W K

най­

дем:

..жь^Л

W x = =

t

t .

(190)

П р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в

уравнение

(190)

один ра з

по

вре­

мени, получим:

\\7Х -_: _ . - к

l

V

/ y .

(19,)

Подставив

это

в ы р а ж е н и е

в

уравнение

(188),

имеем:

H W y

^ у -

О 9 2

)

или

. < 1 М >

П о л а г а е м ,

что

W„ =

K s i n s t ,

(194)

где К — некоторая

постоянная,

s — круговая частота

нута­

ции, которая связана с частотой

нутации

f„, выраженной

в

герцах, соотношением

s = 2 a l „ .

(195)

Тогда

W y = K s c o s

st;

(196)

F y = - K s 2 s i n

st.

(197)

Подставив

в ы р а ж е н и я

(194)

и (197)

в

уравнение

(193),

получим

I x [у

К sin

st

И з

уравнений

(195)

и (199) следует, что частота нута­

ции

Д л я

понимания

явления

нутации

может быть

полезным

следующее

объяснение.

П р и л о ж и м

относительно

оси

Y

мгновенный

момент

L i . Этот

момент

заставит гироскоп

пре-

будет

н а р а с т а т ь

от

нуля.

П р и этом, вследствие инерции

рото­

ра и

внутренней

р а м к и

к а р д а н о в а

подвеса,

появится

реак­

тивный

момент L2, действующий в направлении,

противопо­

л о ж н о м направлению прецессии. Момент

L 2

вызовет

прецес­

сию относительно

оси Y

с н а р а с т а ю щ е й

от

нуля

скоростью

WP 2- Из - за инерции рамок подвеса и ротора

появится

реак­

тивный

момент

L 3 ,

который вызовет

прецессию

относительно

оси X

со скоростью

Wj, 3 ,

противоположной

по

направлению

скорости Wpi . В результате всех этих явлений

конец

оси

собственного вращения будет описывать эллипс,

а

сама

эта

ось — эллиптический

конус. Р а з м е р ы эллипса

зависят

от ве­

женного

моментов.

П р и

запуске

гироскопа

явление

нутации

создает

порой

н е м а л ы е затруднения . В начале запуска кинетический

момент

гироскопа Н еще мал вследствие

того, что

незначительна ско­

рость собственного

вращения,

а

величина

момента

L m

макси­

мальная . Угол Ф при запуске

обычно не равен нулю. Все

это

обусловливает

значительную

амплитуду

и

небольшую

частоту

возникающих при запуске

нутационных

колебании

оси собственного вращения . По

мере увеличения

скорости

собственного

в р а щ е н и я

величина

И

растет,

вследствие

чего,

к а к

видно из

формулы

(200), повышается

частота нутации.

Рассмотрим

двухстепенный гироскоп, используемый

в стабилизированных

п л а т ф о р м а х . Схема его представлена на

рис. 98.

Рис. 98. Схема гироскопа для стабилизиро­

вания платформ: / — датчик

момента, 2 — дат­

чик угла, 3 — выходная ось,

4 — входная ось.

Двухстепенный гироскоп м о ж е т

поворачиваться вокруг

выходной

оси; относительно входной

оси он у д е р ж и в а е т с я в

з а д а н н о м

положении системой

автоматической

коррекции.

Двухстепенный гироскоп вместе

с

платформой

обеспечивает

двухстепенных гироскопа, можно

осуществить

стабилизацию

п л а т ф о р м ы относительно

двух или

трех взаимно

перпендику­

л я р н ы х

осей:

Рассмотрим,

к а к

стабилизируется п л а т ф о р м а .

Стабилиза ­

ция относительно

осей

внутренней и наружной р а м о к

осущест­

вляется гироскопами, у которых - ось вращения

р а м к и

(ось

прецессии)

перпендикулярна к плоскости п л а т ф о р м ы

(на

рис.

99 это левый и правый гироскопы),

и сервомоторами

внутрен­

ней и наружной

рамок . П л а т ф о р м а

и з о б р а ж е н а

в

положении,

когда

ось

собственного

вращения

левого гироскопа

п а р а л -