Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гулиа Н.В. Инерционные аккумуляторы энергии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

чениях в р а щ а ю щ е г о с я кольца, не зависят от п л о щ а д и F се чения, а определяются только окружной скоростью кольца и

удельным весом	м а т е р и а л а у .
Физически	более правильным представляется рассмотре

ние этого вопроса с использованием законов динамики . Дей


ствительно,		на элемент		кольца с	дугой	dS и массой
dm =	ri -FRdcp	действует	ц е н т р о б е ж н а я		сила,	уравновешивае -
м а я	центростремительной		реакцией
		d C = j d m =		Y	dtp.

Тогда, согласно рис. 73, можем записать:

Рис.	73. Схема к
расчету	обода динами

ческим методом.

dC = 2N s i n - d f =	7	R ^ d f ,
2		g

откуда получаем у ж е известные зависимости:

§ 2. Д и с к постоянной толщины с отверстием п без него

Практически диском постоянной толщины можно считать цилиндр, д и а м е т р которого превосходит толщину бо-

лее( чем в 4 раза . В этом случае	с достаточной точностью
можно полагать, что имеет место	плоское н а п р я ж е н н о е	со
стояние. Снова применим принцип	Д а л а м б е р а . З а д а ч и ,	по

добные рассматриваемой, называются осесимметричньши, т. е. искомые величины зависят только от радиуса .

Р а с с м о т р и м равновесие элемента диска abed (рис. 74).

		Рис. 74. Схема к расчету диска.
И з условия		симметрии и	плоского напряженного	состояния
следует,- что		касательные	н а п р я ж е н и й отсутствуют	и	диск
нагружен	тангенциальными а . и р а д и а л ь н ы м и о>			нормаль
ными н а п р я ж е н и я м и . Н а			рассматриваемый элемент		диска
действуют	сила инерции
		d C =	-Mir2 co2 drd9,
р а д и а л ь н ы е		силы			..

		dr
где R = ovhrdG, и о к р у ж н ы е		силы T =		o.	hdr.
Проектируя силы	на направление				радиуса	п—п, имеем:
			d 0
d C + d R - 2 T sin			^ -		= 0 .
Учитывая, что -dR =	d(а,- г) hd0,		при		малом	0
	2 sin	— g - ^ d e ,
получаем:
d(c r r )	JX	-f- — шаг1		=	0.	(94)
	JX	-f- — шаг1		=	0.	(94)

Это уравнение, иногда называемое уравнением совместности, связывает тангенциальные и р а д и а л ь н ы е нормальные напря жения .

О к р у ж н а я д е ф о р м а ц и я є т в ы р а ж а е т с я через радиаль ное перемещение и следующим о б р а з о м :

2 л , ( г + и ) — 2лг

(95)

Р а д и а л ь н а я д е ф о р м а ц и я :

•

<96»

Используя

формулы

(95)

и (96) и следуя закону Гука,

имеем:

ї ї

Ес.

/ u

сшdu \ .

(97)

1 , К

^ , )

—

г ( -

i -

v . w

;

Я	' = Т ^ ^ - ^ ) = Г Г 7 r l d F + ^ T ) ' '								( 9 8 )
где и. — коэффициент Пуассона .
Подставив (97) и (98) в (9.4), после							некоторых ч^преобра
зований	получим:
	d',u	_ j _	J _	du	п _	1 — a=	•*	ч
	сГг'	'	г	dr -	га	Е	g Ш	1 '

_d_ Г_1_^ d(ur) j

1 — as

_7_ _ „

[ г

J —

П р о и з в е д я интегрирование,

имеем:

Постоянные Сі и Сг определяются из рассмотрения

гра

ничных условий конкретной задачи .

Подставив

значение

в (97) и (98), найдем искомую

зависимость н а п р я ж е н и й

от

радиуса:

= 1 _ | i

|1)г»

1 Г

( J 9 )

С | Е

С 2

1 — 3;J-

ш а р .

(100)

1 _ р,

(1 - і - а і г

П р и м е н и м полученные

в ы р а ж е н и я

конкретной з а д а ч е

определения напряжений

во

в р а щ а ю щ е м с я

диске

радиусом

г2 без

отверстия. Р а с с м о т р и м

граничные условия.

П р и

г = 0

перемещение и =

С 2

= 0 ; при

г = Г г р а д и а л ь н ы е

н а п р я ж е н и я

на поверхности

о г = 0 .

В этом

случае из

формулы

(100)

нахо

дим С ь

О п р е д е л я е м

н а п р я ж е н и я

диске:

= . = & ( 3 + - ц ) г 2

2 - ( 1 + З ц ) г 2 ] ;

•

(101)

»г

^ [ ( 3 + ц )

( г 2

2 - г 2 ) ] .

(102)

Эпюры напряжений представлены на рис. 75.

М а к с и м а л ь н ы е

н а п р я ж е н и я

имеют

место

центре,

при

чем

i + ^ a V , * .

(ЮЗ)

max

В случае наличия центрального круглого

отверстия ра

диусом

Гі (рис.

76)

при

г =

гі

O Y = 0 , при

r =

r 2 ar=0.

Опре -

Рис. 75. Эпюра на пряжений в диске без отверстия: / — макси мальные напряжения в Центре a max, 2— НЭпряжения на периферии,-

д е л я я д л я этого	случа я С]	и	Сг,	по	ф о р м у л а м		(99)	и	(100)
получаем :
3 + 1*			1 + 3 р			. г,2 г,2			(104)
8				3 +	р-				(104)
8				3 +	р-
3 +	р. ~{Ш2			.о	Г 1 2 Г 22
	г,= +	г г -		.о	Г 1 2 Г 22				(105)
~ 8	г,= +	г г -							(105)
~ 8	g L
Эпюр ы н а п р я ж е н и й а		и	о>	представлен ы на рис.					76.
	бг	°1
р р
ЩфA*/s • ////
І
						Рис.	76.	Эпюра на
* і						пряжений в диске с от
т.. _ j •						верстием:		1 — макси
т.. _ j •						мальные	радиальные На
						мальные	радиальные На
				ла1'		ПрЯЖеНИЯ	Or max,		2 —
						максимальные		окруж-
					2	ные напряжения a , mvx-

Шт.,

М а к с и м а л ь н ы е н а п р я ж е н и я имеют место на внутренней цилиндрической поверхности отверстия, причем эти напряже

ния о к р у ж н ы е нормальные:

а -

= £ ! [ г 2 2 ( 3 + ^ 1 ) + г . 2 ( 1 - ц ) ] .

(106)

-max

4 g

Р а д и а л ь н ы е

ж е

н а п р я ж е н и я

здесь

несущественны

всегда

меньше о к р у ж н ы х .

М а к с и м у м а они

достигают

на

радиусе

ґо=Уі"іГ2 :

» , ю - 3 4 1 '

(107)

Когда

диск

с отверстием

стремится по формуле к тонко

му ободу,

т.

е.

Г ! - У Г 2 , в ы р а ж е н и е

(106)

о б р а щ а е т с я

уже

известное

нам

а (107) о б р а щ а е т с я

в 0.

П р и

стремлении

ж е радиуса

отверстия

в ы р а ж е н и е

д л я о к р у ж н ы х

нормальных

н а п р я ж е н и й

не

приводится

виду д л я диска

без

отверстия,

оно

имеет

вид:

3 +

что вдвое

больше

значения

напряжений

в той ж е

точке

для

дисков без отверстия. Отсюда очевидна та опасность, которую

представляют

д а ж е очень

м а л ы е дефекты в заготовке

быстро-

в р а щ а ю щ и х с я

маховиков

без

отверстия . П р и в р а щ е н и и

диска

эти микроскопические

отверстия увеличиваются,

к а к

бы

ра

стягиваются, и напряжени-я на поверхности отверстия

бывают

очень значительными .

И л л ю с т р а ц и е й этого,

на

первый в з г л я д

парадоксально

го, явления м о ж е т служить

следующий опыт. Н а т я н у в

рези

новую пленку на цилиндрическое отверстие, например

на

горлышко

банки,

получим

некоторую аналогию в р а щ а ю щ е г о

ся

упругого диска

без отверстия. Теперь проколем

эту

пленку

центре самой

тонкой

булавкой — отверстие

тотчас

ж е

ра

зойдется и образует окружность, значительно

п р е в ы ш а ю щ у ю

предполагаемый

прокол. Аналогично и во в р а щ а ю щ е м с я

с оп

ределенной

(не

нулевой) скоростью д и с к е 'не .может

быть

бесконечно малого отверстия. Таковое возможно (и то теоре тически) только в покоящемся диске. Отсюда следует, что при посадке маховика с натягом на вал с приобретением ско рости отверстие расширяется и маховик может «высвобо диться».

Д и с к равного сопротивления

При рассмотрении дисков постоянной толщины выяс

нилось,

что н а п р я ж е н и я

в них распределены по радиусу

весь

ма

неравномерно .

П р и

этом

часть

м а т е р и а л а

диска

недо-

напряжена .

Определим

такую

форму

в р а щ а ю щ е г о с я

диска,

при

которой

стт =

а г = с г = c o n s t .

Воспользуемся

выведенным

ранее уравнением

совмест

ности

(94). Р а с с м а т р и в а я равновесие

того

ж е

элемента

дис

ка,

но у ж е переменной

толщины,

получим

аналогичное

урав

нение, в которое входит толщина

d J ^ f ) _ 3

h + - I « A « h = 0.

П о л о ж и м в этом уравнении a r

= o _ = c r = c o n s t ,

получим

диф

ференциальное уравнение д л я функции h (г) :

- ^	+ ^ - -	ш - = 0.
dr	g	о

И н т е г р а л этого уравнения и представляет собой формы диска равного сопротивления:

h = h ^ p ( - I | r ) '

уравнение

< 1 0 8 >


где ho — толщина диска				в центре.
И з	уравнения		(108)	следует, что форма		диска	равного
сопротивления зависит от окружной скорости						вращения		дис
ка и и	при	и = 0	о б р а щ а е т с я		в диск постоянной		толщины .
Кроме	того,	по н а р у ж н о м у контуру диска д о л ж н а					быть	при
л о ж е н а	р а д и а л ь н а я		нагрузка,'		в ы з ы в а ю щ а я	н а п р я ж е н и е а.

Это условие обычно приближенно выполняется созданием не большого обода по периферии диска .

П р и высоких угловых скоростях и небольших допускае

мых н а п р я ж е н и я х	величина h м о ж е т	стать весьма	малой .
Приведем значения	соотношений между	величинами	толщины

10*

147

диска	в центре и на периферии при допустимом напряжении
2500	кГ/см2	(табл .	5) .
						Т а б л и ц а 5
Окружная скорость,			м/сек	200	400	600	800
ho/h				1.9	12,9	310	27500
Столь		быстрое		.возрастание	отношения	ho/h и	явля

ется фактическим ограничителем повышения окружной ско


рости	в р а щ е н и я		монолитных маховиков .
§	4.	Расчет	полых		маховиков
		Д л я создания			маховика	с переменным	моментом
инерции		многими		изобретателями		п р е д л а г а л а с ь	конструкция,
п р е д с т а в л я ю щ а я				полый цилиндр,		заполняемый	ж и д к о с т ь ю

(например, водой или ртутью) . Н е с м о т р я на множество не

достатков таких маховиков, они принципиально

применимы

при м а л ы х угловых скоростях вращения . Создание

высоко

прочных

армированных

оболочек

расширяет

возможности

этих маховиков . К р о м е

того,

на подобном

принципе

основан

р я д второстепенных устройств

д л я

инерционных

аккумулято

ров (например, динамических уплотнений) .

Н и ж е приводится

расчет

н а п р я ж е н и й

цилиндрической

стенке

в р а щ а ю щ е г о с я

б а р а б а н а , наполненного

жидкостью

(рис. 77). Ввиду того что угловая

скорость

б а р а б а н а

о> весь

ма велика, можно принять поверхности равного

давления в

жидкости

цилиндрическими .

Д а в л е н и е жидкости по образующе й

цилиндра равно:

•

Р - 2 ^ ( Г 2 2 " Г ' 2 ) с й 2 '

где Г ] и г 2 — соответственно радиусы

цилиндрических

поверх

ностей

жидкости и

стенки б а р а б а н а ;

уо—удельный

вес ж и д

кости.

К давлени ю жидкости следует

прибавить

распределенную

нагрузку

от сил инерции, интенсивностью

= — Г , ОШ2

где б — толщина стенки

б а р а б а н а .

148

Рис.	77.	Схема	к
расчету	полого	маховн-

	ио
С у м м а р н ое давление:
p0 = p + q =	4 £ - ( г22	—r,2 )co2 +-r- г 2 5«,	а .	(109)
	2g	g
Решение этой	задачи	по маментной теории весьма		слож

но, поэтому с некоторым приближением можно довольство

ваться	решением,				соответствующим безмоментной			теории.
В этом случае напряжение а_						в меридиональном сечении ба
рабана	равно:
	_	РоГ-2	_		Yo(r2 2 —гі2 ) г2 со2		«"'г,*.	(ПО )
	'•	3			2go	+	«"'г,*.	(ПО )
	'•	3			2go
Н а п р я ж е н и е				в нормальном		сечении
				=	Р	у о с о 2 ( г 2 2 - г , 2 ) 2		С П )
			" п		2 яг.8	8 g3 г,		С П )
			" п		2 яг.8	8 g3 г,
где Р — равнодействующая сил давления							на крышку	б а р а б а
на:			г-,
			г-,
	Р	=	-f		T ^ ( r 2 - r . 2 ) 2 K r d r = ^ ( r 2 2 - r i 2 ) W .
			Г[		°	ь

С л е д у ет учесть, что наибольшие отклонения от реальных

значений	в	случае	пользования безмоментной	теорией	будут
н а б л ю д а т ь с я		в зонах, п р и л е ж а щ и х к местам		присоединения
крышек .
§ 5.	Ускоряющийся диск
	постоянной		толщины
	Ускорение		( з а м е д л е н и е ) — с а м ы й характерный		про

цесс в работе маховиков инерционных аккумуляторов . В со

стоянии	равномерного в р а щ е н и я м а х о в и к може т	находиться
л и ш ь в частном случае. Обычно угловые ускорения		маховиков
невелики	и не в ы з ы в а ю т ощутимых н а п р я ж е н и й в	нем. Одна

ко в некоторых случаях, например при интенсивной рекупера ции энергии, при аварийном торможени и маховика и пр., ве


личины угловых	ускорений могут		быть	значительными .
Р а с с м о т р и м	н а п р я ж е н н о е	состояние		ускоряющегося			дис
ка постоянной толщины h, изготовленного					к а к одно	целое		с
валом . З а м е н и м	действие в а л а	на диск		нормальным и			и	ка
сательными силами, а сам диск			нагрузим		двумя	системами
инерционных сил, п о р о ж д а е м ы м и			центростремительными					и

тангенциальными ускорениями . Интенсивность этих сил со

ответственно				равна :
					д і	= - ї - ю	. г >				(112)
					1	g	dt
	Р а с с м о т р и м				диск	под действием раздельн о				приложен
ных	систем		сил.							\
	П е р в а я			з а д а ч а решается			по ранее		выведенным		форму
л а м	(99) и		(100). Д л я определения					постоянных		интегрирова
ния	Q	и С 2	воспользуемся следующими						граничными условия
ми: при		г = Г ]		ui = 0;		при г = Г г о > = 0 . С			учетом	этого	имеем:
				С ' Г і	+	г,	8 Г Г ^	g	1 '
				С ,		С ,	3 +	jx	7
			1 — {J*		(1 -Ь \|x)r,2		8 Е

С достаточным приближение м полагае м и . = '/з;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ