Н а с интересует инверсное преобразование в форме
О э г л а с но формулам канонического преобразования
J |
_ Q ^ |
_ _ dg*( M ) |
dQM |
|
|
(П.55) |
а также |
|
|
|
|
|
|
|
de( M ) |
d Q M |
д<2( м ) |
d Q |
M |
(П.56) |
|
0Q*(M) |
dg*(<0 |
dQ*M |
dQ*M |
|
|
Так как определитель |
преобразования (П.56) равен единице, то отображе |
ние [QM |
Q(M)] |
- плоскости |
на [g*<M> |
£>*( е ) ]-плоскость сохраняет п л о щ а д и | и , |
следовательно, энергию колебательного процесса, определяемую этими пло щадями.
Инверсное |
преобразование фазового пространства |
[QM Q(w)] в простран |
ство [g*<M> Q*{e)] |
можно |
совершить, используя также |
скобки Пуассона. |
Пуст ь |
|
|
|
F=F[Q?\ |
Qp\ |
t] |
|
•определяет некоторую переменную динамическую характеристику системы, зависящую от сопряженных переменных Qje), Q^M) фазового пространства jgWQ(M)]. Тогда:
• |
dF _ |
у |
J F |
_ -{е) |
у |
_dF_ |
- { и ) |
№ш |
|
5 7 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
В силу |
канонических |
уравнений |
(П.9), |
(П. 10) это выражение |
преобра |
з у е т с я : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р _ у [ № |
дН |
dF |
|
дН |
Л |
dF |
|
т |
„ |
*~ |
LA |
I d |
Q V |
dQJM) |
dQ(«> |
|
dQW |
\ + ~ d t |
' |
|
(ll-ooj |
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у}<з\е\ |
Q<m) = Z |
[ a e p f |
~dow~ |
|
щ^о |
" а е р " ] |
|
(П.59) |
определяет скобки Пуассона от двух функций F и Н. |
|
|
Полагая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = F'[Q?™, |
Q*(e\ |
t], |
|
|
|
|
|
|
|
д л я сопряженного фазового пространства [Q*M]Q*M] |
можно написать р а |
венство, аналогичное зависимости (П.57): |
|
Канонические уравнения (П. 11), (П. 12) преобразуют выражение (11.60) следующим образом:
|
ф, _ у |
Г |
dF' |
дН |
|
'dF' |
дН |
] |
3 F ' |
|
|
|
m f i n |
|
F |
Z J [ |
де*(м) dQ*M |
dg*(<0 dQ*M |
J |
' |
|
|
^ . li . ui;' |
т.е. скобки |
Пуассона определяются |
величиной |
|
|
|
|
|
|
|
{ У |
JT Ь*<м> |
о*<«> = У Г |
д |
Г |
|
- |
дХ' |
— — 1- |
Ш 62) |
|
Нетрудно видеть, что (П.59) и (П.62) удовлетворяют известному тож |
деству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{X, |
¥}=-{¥', |
X'}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.63) |
если |
F=F', |
т.е. всегда возможен переход от переменных |
(П.1) |
фазового |
про |
странства [Q(e) |
б ( м ) |
] к переменным (П.2) сопряженного фазового |
пространства |
В статистической теории динамики рассматривается огромное число п |
идентичных гамильтоновых систем, отличающихся только начальными |
усло |
виями. Суперпозиция таких систем в обобщенных фазовых |
пространствах |
[<2( е ) |
б ( м ) ] и |
[ Q * ( M ) |
Q*ie)] |
Д а е т возможность |
определить ансабмль изображ аю- |
щих |
точек |
с плотностью вероятности f[Q(e), |
|
<2( м ) , t] такой, |
что |
|
nfd[QM\ |
d[Q(lt)] |
является числом изображающих точек в элементе d[QM] |
|
d[Qw]. |
В движущихся средах, согласно каноническим |
уравнениям, объем |
эле |
мента d[QM |
d[Q(w)] |
и число] изображающих |
точек в |
нем |
сохраняются. |
Сле |
довательно, |
|
f= |
0 и, |
соответственно, — |
|
|
|
|
|
|
|
|
| / + { / , |
Я } = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.64> |
(уравнение |
Л и у в и л л я ) . |
|
|
|
|
|
|
|
Г Г |
|
|
|
Квантомеханическим аналогом уравнения (П.64) является |
уравнение |
Гейзенберга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- | / + ~ - ( Г Я - Я / ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.65> |
или |
уравнение |
Шредингера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ я , |
f(tj\=jhм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П . 66) |
При этом классические скобки Пуассона заменяются квантовыми, определя
емыми как коммутатор [H,f |
(?)], деленный на jh: |
|
{ Я , / } jf. [Я, Л |
= |
( Я / - / Я ) . |
(П.67) |
Д л я канонических обобщенных переменных |
Q ( E ) , (9( м ) выполняются |
равенства |
|
|
|
[^e),fe/e)] = 0;'
[Q\u\ |
Qiu)] |
= 0, |
(П.68) |
где Siy- — дельта-символ, обладающий свойствами: |
|
Sy=0 при |
I V J , |
|
S y = l |
при / = / |
|
Основными обобщенными квантовыми условиями являются |
зависимости |
|
QWQ^-Qj* |
|
0\е)=]Щ\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a( e ) e}e ) -6ie ) aw =o; |
|
|
|
|
|
|
(п.69) |
|
g(jj) g(.M) _ QJM) |
Q(M) _ Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что зависимости, |
аналогичные (П.68) и |
(П.69) |
справедливы |
также |
для |
|
обобщенного |
дуально-инверсного |
[фазового |
пространства |
g*(iu) |
g *(«)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
обобщенные |
фазовые |
пространства |
представлений |
|
б ( м ) ] |
и [g*(M> g*(e)]f |
уравнения] (П.69) |
могут послужить основой для синтеза |
клас |
сических и квантовых |
теорий динамики. |
|
|
|
|
|
|
|
Следуя |
Планку, |
можно |
также] |
использовать |
[вариационные1 |
принципы |
и в теорию квантовой электродинамики ввести понятие |
действия |
для |
эле |
ментарного |
квазиэлектромагнитного |
осциллятора |
|
|
|
|
|
|
|
S=ff |
|
|
dQ^dQ^ |
= h |
|
|
|
|
|
|
(П.70) |
(h=2nh |
— постоянная |
|
Планка) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
действия |
5 (П.70) не изменяется при переходе от фазового |
про |
странства |
[ |
Q |
M |
Q M |
] |
к сопряженному |
фазовому пространству |
[ 0 * ( |
м > |
Q*f e ) ]» |
а также при замене обычных переменных |
обобщенными. |
|
|
|
|
|
Зависимость |
(П.70) с л у ж и т |
дл я расчетного определения величины |
|
эле |
ментарной единицы магнитного |
потока — флюксона. |
|
|
|
|
|
Согласно Ф. Лондону [12], фундаментальная единица |
магнитного потока |
|
9 о = М ~ 4 . ю - 15 в б |
( в о = |
е ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Современная квантовая электродинамика для единицы магнитного по тока дает величину, вдвое меньше той, которая была предсказана Ф. 'Лондо ном. Согласно теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ),
е0=2е,
и для ф 0 получается значение, близкое к экспериментальному
|
Ф 0 = ^ ж 2 - 10" 1 5 вб. |
|
|
|
|
|
Заметим, что принцип наименьшего действия, используемый в вариацион |
ном |
исчислении, эквивалентен принципу Гамильтона. |
|
|
|
Изложенное |
показывает, |
что ^аналогия |
зависимостей |
теорий |
процес |
сов |
индуктивного и емкостного индукционного преобразования |
пото |
ков |
энергии не |
формальна и |
не случайна. |
Она вытекает |
из рассмотрения |
дуальных инверсно-сопряженных уравнений электромагнитного поля для сопряженных физически эквивалентных дуально-инверсных фазовых про странств представлений [Q(e) Q(M)] и [g*<M> Q*M\. Эта аналогия процессов распространяется также на процессы и течения магнитной гидродинамики и электрогидрогазодинамики, рассмотренные в данной работе.
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.Иосифьян А. Г. О б основах теоретической электротехники и квантовой электроди
|
намики. |
Elektrotechnicky |
obzor", |
10, |
1972, |
521—525. |
|
|
|
|
2. |
Иосифьян А. Г. О динамике электромагнетона как кванта действия. Д о к л а д ы |
А Н |
|
Армянской ССР, L V , 2, 1972, 98—102. |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Иосифьян А. Г. О принципах теоретической |
электромеханики. Д о к л а д ы |
А Н |
Ар |
|
мянской |
ССР, L I , 1, 1970, |
21—31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Нейман Л . Р. Академик Владимир Федорович |
Миткевич, |
его труды и |
прогрессив |
|
ные идеи. «Электричество», 8, 1972, 1—5. |
|
|
|
|
|
|
5. |
Миткевич В. Ф. Магнитный поток |
и |
его преобразования . |
Изд . А Н СССР, |
М . — Л . , |
|
1946. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Гиббс Д ж . Основные принципы статистической |
механики. М., Гостехиздат, |
1946. |
|
7. |
Фок В. А. Теория пространства, |
времени |
и тяготения. М., Физматгиз, |
1961. |
|
8. |
Moller Ch . The Theory of Relativity. |
Oxford, |
1952. |
|
|
|
|
9. |
Мицкевич H . В. Физические поля |
в |
общей |
теории относительности. М., |
«Наука», |
|
1969. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Deaver В. S., Fairbank W. М. Phys. Rex. Lett., 7, 1961, 43.
11.Doll R. Nabauer M., Phys. Rex. Lett., 7, 1961, 51.
12.London F . Superfluids, vol. 1, New York, 1950, 152.
