книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf1] ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 221
Если все корни уравнения (3.1) имеют неотрицательные действительные части, то подпространство Х г вырождается в точку; при этом Lm = ф (т — 2,4).
Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 25.3. Если матрица А имеет хотя бы одно собственное значение с неотрицательной действительной частью, то область притяжения Gm (т = 2,4) представля ет собой объединение области Um с множеством, мера которого равна нулю.
Таким образом, области Um (т = 2, 4), так же как область U1, представляют собой «достаточные» области притяжения. Однако, в отличие от множества U1, мно
жество Um (т = 2,4) при г2 0 |
охватывает «почти всю» |
область притяжения Gm. |
2,4) решает полностью, |
Построение областей Um (т = |
с прикладной точки зрения, задачу определения области
притяжения для системы (23.1) с управлениями |
(23.4) и |
|||||||
(23.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
х = |
\\х\\ц, |
|
(25.12) |
|||
|
|
|
|
|||||
где |
I ж 1 |
= |
V х \ + . . . + |
хгп, т] — матрица |
порядка |
|||
(1 X п), |
представляющая |
собой |
единичный |
вектор |
||||
(| г] I |
= 1), |
имеющий |
направление вектора х. Величины |
|||||
I а: I и ц представляют |
собой полярные координаты точ |
|||||||
ки X. |
Выпишем в полярных координатах уравнения гра |
|||||||
ниц |
областей |
Um (т = |
1, |
2, 4): |
|
|
||
|
|
|
Ож I max |
I се(А+ьс)г^ | = |
М , |
(25.13) |
||
|
|
|
0 ^ f < o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|х |2^ |
[се<А+Ьс>тт]12dx = |
Р, |
(25.14) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
IXI ^ |
I сеА+ьФц Idx |
N. |
(25.15) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Выбрав вектор т), для которого имеет место неравенство
с е (А+ьс) о, (25.16)
можно с помощью выражений (25.13) — (25.15) опреде лить величину I ж а с помощью соотношения (25.12) — вектор ж. Если
се (А+Ьс)Іц — О, |
(25.17) |
222 ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ [ГЛ. Ill
то соответствующий вектор (25.12) принадлежит областям Um (т = 1, 2, 4), какова бы ни была величина || х ||. Та ким образом, уравнения (25.12) — (25.15) дают возмож ность построить границу области Um (т = 1, 2, 4) для
системы (23.1) при каждом из управлений (23.3) — (23.5). |
||
ми |
Следует обратить внимание на связь между уравнения |
|
(25.13) — (25.15) для границ областей Ьтпри |
т = |
|
= |
1, 2, 4, с одной стороны, и выражениями (8.3), |
(7.7), |
(7.3) для расстояний d (ц0) до опорных плоскостей обла
стей управляемости Qm при т = 4, 2, |
1, с другой стороны. |
|
В уравнение (25.14) |
для границы области Um при т = 2 |
|
входит интеграл / 2 |
(ц) такого же вида, как в выражение |
|
(7.7) для расстояния d (ц°) при т = |
2. Что касается урав |
|
нения (25.13) для границы области |
Um при т = 1, то |
|
в него входит величина І х (ц) такого вида, как в выражение (8.3) для расстояния d (т)°) при т — 4. В уравнение (25.15) для границы области Um при т = 4 входит интеграл / 4 (т|) такого вида, как в выражение (7.3) для расстояния d (ц0) при т = 1. Таким образом, между формулами (25.13), (25.15), с одной стороны, и формулами (7.3), (8.3), с дру гой стороны, существует своего рода «перекрестная» связь.
Заметим, что строка ц, входящая в формулы для рас стояний d (ті°), представляет собой вектор, ортогональный опорной плоскости области управляемости. В то же вре мя столбец ц, входящий в формулы (25.13) — (25.15), представляет собой вектор направления радиуса-вектора граничной точки области притяжения.
Если при всяком единичном векторе г| имеет место не равенство (25.16), то уравнения (25.13) — (25.15) можно записать в виде
м |
(25.18) |
,(А+Ьс) I |
|
max I се(А+Ьс) |
|
О<«оо |
|
|2 |
оо |
Р |
(25.19) |
|
[ce(A+bc)xT)p dt |
||||
|
^ |
|
||
|
О |
N |
|
|
|
$оо |
(25.20) |
||
|
|
|||
|
\ce(A+bc^n\dx |
|
О
1] |
ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |
223 |
Если при всех векторах г| Ф 0 имеет место неравенство (25.16), то интеграл І %(х) представляет собой определенно положительную квадратичную форму. Границей области притяжения U2 при этом является эллипсоид.
Введем обозначения:
ст = min Іт(ц), |
|
|
ІМ=і |
(25.21) |
|
Ст = |
max I т(ц) |
|
(т = |
ІИІ=і |
|
1, 2,4). |
|
|
Величины ст и Ст (т — 1, 2, 4) существуют, |
посколь |
|
ку значения Іт (ц) зависят непрерывно от вектора ц, а множество единичных векторов ц замкнуто. Кроме того,
С т > 0 и Ст > о (т = 1,
2, 4) |
в |
силу |
условия |
(25.16). |
|
|
|
Из выражений (25.18) — |
|||
(25.20) |
вытекает, |
что дли |
|
на I X I |
радиуса-вектора х |
||
граничной точки |
области |
||
Um (т = |
1, 2, 4) |
удовлет |
|
воряет неравенствам
, < ■ "
Сі
NN
<N < сз
Таким образом, границы областей Um (т — 1, 2, 4) рас положены между сферами соответствующих радиусов
(рис. 25.1).
Из приведенных неравенств следует, что если для всех векторов ц ф- 0 имеет место условие (25.16), то мно жества Um (т = 1, 2, 4) ограничены в фазовом пространст ве Х п.
В следующем параграфе рассматривается случай, ког да существуют векторы ц ф 0, при которых имеет место тождество (25.17).
224 |
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[Гл. Ill |
§ 26. Структура неограниченной области притяжения
Матрицу е(А+ьс)і можно записать в виде [12, 21, 506]
Г Рк-1
е(А+и ( г = 2 2 (26.1)
к=1 1=о
где р к — кратность корня %к уравнения (23.7), ßftJ постоянные матрицы порядка (п х п).
Из формулы (26.1) получаем выражение се(А+Ьс>' гр
Г1
ce (A+bc) iyj = |
2 |
2 Ф к і ' Ч ^ і 1- |
(26.2) |
|
к=і |
1=0 |
|
Функции eXft( tl (I - |
0, 1, |
. . ., р к — 1; |
Ат — 1 , . . . , г) |
линейно независимы, поэтому тождество (25.17) может иметь место тогда и только тогда, когда вектор ц удовлет воряет системе п линейных алгебраических уравнений
|
|
cßkPl = |
0 |
|
(26.3) |
|
(/ = 0, 1, |
. . ., |
р к — 1; |
к = 1, |
..., |
г). |
|
Ранг системы (26.3) 6 равен рангу блочной матрицы |
||||||
cßl,0 |
|
|
|
|
|
|
ließ«! |
(Z = |
0 ,\ , . . . , р к — 1; |
fc |
= l , .. . , r) . |
||
cßir,p_- 1 |
|
|
|
|
|
|
Иначе говоря, |
rang |
I ф к1 I |
= б |
|
(26.4) |
|
|
|
|||||
(I = 0, 1, . . ., p h — 1; к = 1, . . ., г). |
||||||
Матрицу е(А+Ьс>( |
можно записать также в виде [21, 506] |
|||||
|
|
V— 1 |
|
|
|
|
е(А+ье)«= |
2 |
(4 + |
ЬсУф,(*), |
|
(26.5) |
|
ѵ=0
где р п — степень минимального аннулирующего поли нома матрицы А Ьс, функции ß„ (t) (v = 0, 1, . . .
. .., р — 1) линейно независимы. Тогда выражение се(А+Ьс)(т]
1] |
ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |
225 |
можно записать в таком виде: |
|
|
|
Р—1 |
|
|
с е {А+ьс) іц _ 2 с (А + Ъс)ѵT]ßv (t). |
(26.6) |
Из выражения (26.6) получается система уравнений, эк вивалентных уравнениям (26.3)
с (А + Ъсу ц = 0 (ѵ = 0, 1, . . ., (X— 1). (26.7)
Нетрудно убедиться в том, что система (26.7) эквивалентна системе вида
Тогда |
сАч т) = |
0 |
(ѵ = О, 1..........(л — 1). |
(26.8) |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
с А |
|
|
|
6 = rang |
= |
rang I с*, А*с*,. . . , (И*)71"1 с I = |
rang W. |
|
|
сА^'1 |
|
|
(26.9) |
|
|
|
|
|
Фундаментальная система решений уравнений (26.3) |
||||
или (26.8) |
состоит из |
п — б векторов. Обозначим через |
||
Хп_8 линейную оболочку векторов, входящих в эту фун даментальную систему. Через Х ь обозначим ортогональ
ное дополнение подпространства Х п_8 до |
всего простран |
ства X j i ) т. е. X „—8 I Х ь , X д-8 Н- Х 8 |
Х ц . |
Обозначим через U™ множество точек ж ец Хь, кото рые принадлежат области притяжения Um (то = 1 ,2 , 4),
т. е.
£/Г = {*: ^ e x 5, i e n
Возьмем произвольную точку х £5 Ѵт. Вектор х можно представить в виде суммы х = ж1 + х2, где х1 6ЕЕХь, ж2 6Е Х п-ь. Тогда имеет место равенство
Іт (ж) |
= Іт (х1 + ж2) |
= Іт (ж1) (то = 1, 2, 4), (26.10) |
поскольку |
се(А+Ьс)(ж2 е= 0. |
Если ж £= U1, т. е. IL (ж) ^ М, |
то |
h |
(ж1) < М. |
|
8 А. М. Формальский
226 |
|
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
|
|
ІГЛ. |
Ill |
|||
Следовательно, |
х1 €= U1, а значит, х1 |
ее U\. Точно так же |
|||||||
получается, что х1 GE £7™ ПРИ т — 2,4. |
|
|
|
|
|
||||
Пусть теперь задана точка х1 €Е C/g* |
(нг = |
1, |
2, 4) и |
||||||
произвольная |
тонка аг |
Х п_5- Покажем, что х = |
х1 + |
||||||
|
|
|
+ X2 е |
Пт |
(от = 1, |
2, |
4). |
||
|
|
|
Если X1 6= U1, то |
(х1) |
|
М. |
|||
|
|
|
Из равенства (26.10) полу |
||||||
|
|
|
чаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
< М. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
х ЕЕ С/™ |
|||||
|
|
|
тогда и только тогда, |
ког |
|||||
|
|
|
да X1 е |
U™ |
(т = |
1, |
|
2, |
4) |
|
|
|
(рис. 26.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, имеет место следую |
||||||
|
|
|
щая теорема. |
26.1. |
Облаетъ |
||||
|
|
|
Теорема |
||||||
|
|
|
притяжения |
Um (т = |
1, 2, |
||||
|
|
|
4) — цилиндрическое |
множе |
|||||
|
|
|
ство, т. е. Um = U™+ |
Х п-ь, |
|||||
|
|
|
где U™ а Х§ — ограниченное |
||||||
ние цилиндра). |
|
замкнутое множество (сече |
|||||||
Размерность подпространства Х ъ опреде |
|||||||||
ляется равенством (26.4) или (26.9). |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким |
образом, при |
б < п область притяжения |
Um |
||||||
(т = 1, 2, |
4) является |
неограниченной в фазовом прост |
|||||||
ранстве Х п. При б = п |
область Um ограничена в прост |
||||||||
ранстве Х п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выписанная в выражении (26.9) матрица W фигуриру |
|||||||||
ет в теории наблюдения [28, 29, 31, 36а, 506]. Если б < |
п, |
||||||||
то соотношения (23.1), (23.2) с помощью невырожденного преобразования [31, 36а] можно привести к виду
— АпУі + |
bpi, |
(26.11) |
||
—jf = |
Игіі/і + |
A2iy2 + Ь2и, |
(26.12) |
|
и = |
сгуи |
|
(26.13) |
|
где у у и у2 — матрицы порядка (б X 1) и ((п |
— б) X |
1) |
||
соответственно, постоянные матрицы А п , А 21, |
А гг, Ьг, |
Ъ2, |
||
ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |
227 |
Cj имеют соответствующие порядки, причем
rang |
(26.14) |
Обратная связь (26.13) такова, что при каждом из уп равлений (23.3) — (23.5) движение подсистемы (26.11) системы (26.11), (26.12) определяется только начальными условиями ух (0). При управлении (26.13) система (26.11), (26.12) имеет вид
-fif- — C^ll + &iCi) |
Уі, |
(26.15) |
—I— = (Л21 -f- b2Cx) ух + |
A22y2. |
(26.16) |
Система (26.15), (26.16) эквивалентна системе (23.8). Характеристическое уравнение (23.7) для системы (26.15), (26.16) имеет вид
6et I AXX -f bxCx — hEbJ-det |] A 22 — \ Е п_ъ|| = 0.
Условие (23.6) означает, что все собственные значения матриц Лц+^Cj и А 22 имеют отрицательные действитель ные части.
Функция се(А+Ьс) (х, фигурирующая в определении обла стей Um (т = 1, 2, 4), для системы (26.15), (26.16) приобре тает вид
с1е(Ац+ь,с,)(у1>
Неравенства, ограничивающие области Um, содержат при этом только координаты из столбца уг. Следовательно, построение области Um (т = 1, 2, 4) для системы (26.11), (26.12) сводится к построению соответствующей области
и'ъ для системы (26.11). Область U™для системы (26.11), как следует, из соотношения (26.14), ограничена в прост
ранстве |
Ух. |
|
|
Таким образом, для системы (26.11), (26.12) получает |
|||
ся результат, сформулированный |
в теореме 26.1, |
||
|
Um = U? + Y 2 |
(m = 1,2,4), |
|
причем |
U™er Yx— ограниченное |
зам к н утое м нож ество. |
|
8*
228 |
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. Ill |
Пользуясь |
видом (26.11) — (26.13) |
системы (23.1), |
(23.2), докажем теорему о структуре области Gm(m =1, 2, 4), аналогичную теореме 26.1.
Теорема 26.2. |
Область притяжения Gm(m — 1, 2, 4) — |
|||
цилиндрическое |
множество, |
т. е. Gm = G™ + |
где |
|
G™ с: Yx — облаетъ притяжения системы |
(26.11). Раз |
|||
мерность подпространства |
равна рангу |
матрицы |
|
|
ТУ = |с*МѴ,...,(Л*)"-іс*|.
Выберем произвольное начальное состояние у (0) |
Gm |
||||||||||
(т = 1, 2, |
4). |
Тогда |
решение системы |
(26.11), |
(26.12) |
||||||
у (t) — 0 |
при |
|
t —>- оо, |
следовательно, |
yt (t) —>• 0 при |
||||||
t -*■ оо. |
Вектор |
у (0) |
можно представить в виде |
суммы |
|||||||
У (0) = |
Уг Ф) |
+ |
Уг (0), |
где ух (0) е |
У2 (0) б Г |
5. |
Тогда |
||||
уг (0) е= G™ (т = |
1, |
2, |
4), поскольку движение |
системы |
|||||||
(26.11) |
не зависит |
от движения системы (26.12). |
|
|
|||||||
Выберем теперь произвольное начальное состояние си |
|||||||||||
стемы |
(26.11) |
уг (0) €= G™. Тогда |
уг (t) -*• 0 при |
t -+■ оо. |
|||||||
При этом все |
элементы столбца А г1уг + |
Ъги, входящего |
|||||||||
в систему (26.12), |
также стремятся к нулю при |
t -+■ оо. |
|||||||||
Матрица А 22 имеет собственные значения с отрицательны ми действительными частями; тогда, как известно [23],
решение системы (26.12) при |
любых начальных условиях |
||||
у2(0) стремится к нулю при t |
оо. Это означает, что если |
||||
Уі (0) е |
Gf, то у (0) = [y-L (0) |
+ г/2(0)] е |
Gm, каким бы ни |
||
был вектор у2 (0). Теорема доказана. |
притяжения |
Gm |
|||
Таким |
образом, при б < |
п область |
|||
(т — 1, |
2, |
4) является неограниченным |
в фазовом |
про |
|
странстве Х п множеством.
§ 27. Примеры
Рассмотрим в качестве примера систему второго поряд ка (12.1) и построим для нее области Um (т — 1 ,2 , 4).
Обратную связь (23.2) выберем в виде
и = — 4е х 2. |
(27.1) |
Тогда матрица с записывается так:
с = I 0, —4е |. |
(27.2) |
1] |
ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |
229 |
Формулы (23.3) — (23.5) в настоящем примере приоб ретают такой вид:
— М |
при — Агх2^ — М, |
|
|
и = — 4е£2 |
при |4еа:2|<;М , |
(27.3) |
|
М |
при — Агх2> М, |
|
|
|
|
t |
|
— 4ех2 |
при |
^ [4ех2 (т)]2йт<Р , |
|
и = < |
|
|
(27.4) |
О |
при |
§ [4е£2(т)]2<3т]> Р, |
|
|
|
о |
|
|
|
t |
|
- 4&г2 |
при |
§ I Агх2(т) | dx <; N, |
|
и = |
|
о |
(27.5) |
|
t |
||
О |
при |
^ I 4s£2 (t) I dx |
N. |
Система уравнений (12.1) при линейной обратной свя зи (27.1) имеет вид
Хі = х2,
(27.6)
і 2 = — — 2 е ж 2 .
Сопоставляя системы (23.8) и (27.6), получаем, что
О |
1 |
|
А + Ъс — — 1 |
— 2е |
(27.7) |
Собственные значения матрицы (27.7)
Я,х, Х2 = — 8 Чз і 1 — 62
имеют отрицательные действительные части (по предпо ложению, 0 < е < 1), т. е. условие (23.6) выполняется.
Собственные значения системы (12.1) в разомкнутом состоянии (при и = 0) имеют положительные действи тельные части. Поэтому области управляемости Qm (т = 1, 2, 4) системы (12.1) при условии (1.2), (1.3) или (1.4) зани мают ограниченную часть фазовой плоскости Х 2. Эти области построены в § 12. Расширенная область управля
230 |
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. Ill |
емости |
Ѵт совпадает с областью Qm при т = |
1,4. При |
т = 2 область Ѵт представляет собой замыкание области
Qm, т. е. F2 = Q \
Области притяжения Gm (т = 1, 2, 4) системы (12.1) при управлениях (27.3) — (27.5), а значит, и области Um занимают ограниченную часть фазовой плоскости Х 2, поскольку имеют место включения Um d Gm d Vm.
Перейдем к построению областей Um (т = 1 ,2 , 4). Фундаментальная матрица системы (27.6) е(А+Ьс>г имеет вид (19.14). Тогда для функции се(А+Ьс)*г| имеет место выра
жение
g^A+bc'jt y| — |
|
|
= — 4ee~£t (% cos Y i |
— &2t ----—r-^ R|~.- sin ]/Д — e2^ . (27.8) |
|
\ |
у 1 — e2 |
1 |
Функция (27.8) удовлетворяет неравенству (25.16) при любом векторе ц ^ 0. Это вытекает из сопоставления тео ремы 26.1 с высказанным выше утверждением о том, что область Um (т = 1, 2, 4) ограничена. Кроме того, нера венство (25.16) следует из непосредственного рассмотре ния выражения (27.8), а также из равенства
0 |
4е |
б = rang I с*, А*с*I = rang — 4е |
— 8е2 = 2. (27.9) |
В соотношение (27.9) подставлены матрицы (12.2) и (27.2).
Таким |
образом, для |
построения |
границ |
областей |
|||
Um (т = |
1, 2, 4) можно пользоваться формулами (25.18) — |
||||||
(25.20). |
Для величин Іт (ц) (т = |
1 ,2 , 4), |
входящих в |
||||
эти формулы, получаем выражения: |
|
|
|
|
|||
Л(л) = |
|
|
|
|
|
|
|
= 4е max |
егг1 (% cos Y i |
— e2/ — — |
BT)2 sin Y 1 — e2^ . |
||||
0<f<oo |
V |
/ 1 |
- |
e2 |
r |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(27.10) |
h (9) = |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
= 16e2 ^ e-2E^r]2 cos Y 1 — |
|
|
s^n V"l — e2rj2 dx, |
||||
(27.11)