книги из ГПНТБ / Кизель В.А. Отражение света
.pdf58 |
п р о с т е й ш а я ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ т е о р и я |
[ГЛ. I |
[29—32] для магнитных сред и для сред немагнитных
в работе [33].
X
Рис. 23. Номограмма зависимости значения угла наибольшей поля ризации фдол и степени наибольшей поляризации Я макс от л и х [27].
Если поглощает среда 1, а среда 2 прозрачна, то картина более сложна. К. границе приходит неоднородная
волна; согласно (1.11) можно записать'[к — ік , N] = а =
= [кг— ik'n N], т . е. отраженная волна тоже неодно родна.
§ 4] |
ОТРАЖЕНИЕ от п о гл о щ а ю щ и х ИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
59 |
о |
1 |
г |
J |
в |
4 |
Рис. 24. Номограмма зависимости значения угла Брюстера фвр и ми нимальных значений энергетического коэффициента отражения при
ЭТОМ (Я ||) мин ОТ fl И X.
60 |
п ро с т е й ш а я ф е н о м е н о л о ги ч е с к а я т е о р и я |
[ГЛ. 1 |
|
|
Далее, должно быть *)
|
|
а = [ К |
— ik'd, |
N], |
|
среде 2 |
также |
|
т. е. выходящая волна в |
прозрачной |
|||||||
неоднородна, причем |
|
|
|
|
|
|
||
|
к ? - к ? = |
|
|
|
|
(4.37) |
||
|
|
kdk'd = 0. |
|
|
|
(4.38) |
||
Если сохранить обозначения типа |
(4.6), |
(4.12), |
(4.11) |
|||||
и обозначить угол |
/ Ч |
|
уже |
не |
равный |
углу |
||
к'к" (теперь |
||||||||
kd N=a|)') через |
Ф |
(соответственно |
кгкг = |
ф г и kdkd = |
||||
—•Фі), то можно написать |
|
|
|
|
|
|
||
ѵ2 = |
-^ r kd = |
(п2— ix2)2, |
|
|
|
|||
с% fl '2 |
|,"2\ |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
(K d — Kd j — ІІ2 — X 2 = П 2ф — « 2ф, |
|
|||||||
^2 |
r n |
я2х2 = |
/г2фХ2ф cos Ф; |
|
||||
-^ r |
kdkd = |
|
||||||
на основании (4.38) и (4.5а) |
|
|
|
|
|
|||
х2 = 0, |
Ф = к к = зт/2, |
cos Ф = 0. |
|
|||||
При этом формулы (4.8) и (4.9) несправедливы. Это происходит потому, что при их выводе падающая волна считалась однородной.
Расположение волновых векторов для всех рассмот
ренных случаев показано на рис. 10, |
б — г (стр. |
42). |
Следует обратить внимание, что |
таким обра |
|
зом, х2ф здесь скорее — характеристика волны, а |
не |
|
среды (тогда как х — характеристика |
среды). Для |
Х2ф |
предлагался [34, 35] термин коэффициент неоднород ности волны (ср. приложение III).
Если поглощает также среда 2, |
вместо (4.37) |
и (4.38) |
||||
для немагнитных сред следует написать |
|
|
||||
k |
? |
- |
k |
1 |
= |
(4.39) |
t ft |
/у»2 |
|
(см . |
р и с . |
10). |
(4.40) |
kdkrf = |
-^2~ e " |
|
||||
*) Поскольку углы k"N и к к" в общем случае произвольны.
§ 4] |
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПОГЛОЩАЮЩИХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
ß l |
Формулы Френеля, обобщенные на эти случаи, мож но получить, как и выше, двумя путями:
1) Полагать угол ср или (при поглощении в обеих средах) углы ср и яр комплексными и вести расчеты ана логично тем, которые были проведены в формулах (4.6) и (4.12) — (4.18), но с введением аналогично (4.6) и (4.7) комплексных показателей преломления ѵі и ѵг для обеих сред.
2) Ограничиваясь вещественными углами яр' и яр" (или при поглощении в обеих средах вводя также веще ственные углы ср' и ср", как показано на рис. 10, б—г), находить отдельно фазовые и амплитудные соотношения. Углы ср' и яр' можно называть «фазовыми углами соот ветственно падения и преломления», поскольку они, как сказано на стр. 45 (см. также рис. 10), определяют по ворот поверхности равных фаз, а углы ср" и яр" называть «амплитудными углами соответственно падения и пре ломления», поскольку они определяют положение по верхности равных амплитуд. Закон отражения и прелом ления в этом случае можно записать, пользуясь для определения (4.3) и (4.4) формулами, аналогичными (4.56), с учетом комплексности к:
[k'N] = [к>] |
= [ к > ] ; |
[k'N] = [ Щ |
= [кЭД, |
(4.41) |
лфі sin ср' = |
Пф2sin яр', |
Хер! sin ср" = |
Хфг’эіп яр", |
(4.42) |
где соответственно ср'—яр' — угол поворота поверхности равных фаз; ср"—яр" — угол поворота поверхности рав ных амплитуд. В общем случае формулы Френеля вто рым способом еще получены не были.
Первый способ применялся в работах [03, 09—012], [29, 36] и многих других; второй способ в последнее время был особенно подробно развит в работах [30—32, 34, 35].
Сравнительные достоинства этих методов пока пол ностью не проанализированы. По-видимому, первый удобнее для энергетических расчетов, вычисления коэф фициентов отражения, а второй — для построения на глядной картины, определения оптических постоянных п, х, /гф, хФ, в частности, методом клина Ши, и анализа фазовых соотношений.
Однако обе методики имеют общую принципиаль ную трудность. По-видимому, в наиболее общем случае
62 |
ПРОСТЕЙШАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ т е о ри я |
ІГЛ. 1 |
описание явления заданием _і_ и || компонент не вполне адекватно задаче, или, во всяком случае, не вполне удобно. Компоненты представляют собой соответственно ТЕ-(трансверсально-электрические) и ТМ-(трансверсаль но-магнитные) волны, поведение которых различно и глубина проникновения которых — разная; они, видимо, взаимодействуют друг с другом. Как будет показано в § 8, движение энергии в ТЕ- и TM-волнах происходит по разным направлениям.
В этом случае определение коэффициента отражения не вполне однозначно [а запись (4.16) и (4.17) непри менима]. Определяя его как отношение среднего за пе риод отраженного потока к среднему падающему пото ку, можно ввести два определения ')
Re<NSr) или |
R = Re <NSf) , |
Re <NS> |
< N S > ’ |
первое употребляется большинством авторов, однако рекомендовалось и второе; выбор между ними еще дис кутируется. Эти выражения не эквивалентны одно дру гому, если обе волны, и падающая, и отраженная, не однородны.
К этому вопросу и указанной дискуссии мы вернем ся в § 8, где будут более глубоко рассмотрены данные процессы.
§ 5. Отражение от анизотропных сред
Развитая выше общая физическая картина механиз ма явления отражения остается здесь в силе, но необ ходимо учитывать анизотропию (см. приложение IV). Для этого, сохраняя формулы (1.1) — (1.11), необходимо учесть тензорный характер величин в, р, а, что сопря жено со значительными математическими трудностями.
При произвольной ориентации падающего луча и поверхности раздела относительно осей тензоров физи чески обоснованный и математически удобный выбор системы координат становится затруднительным, и пред почтительны инвариантные методы расчета.
') Второе определение аргументируется тем, что значения пото ков по отдельности не измеряются и поэтому не обязательно вещест венны, как это должно быть для наблюдаемых величин.
§ 5] |
ОТРАЖЁНЙЕ ОТ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
63 |
Подобные методы в наиболее общей форме развиты в последнее время в работах Ф. И. Федорова [015, 37— 40] и его школы; в дальнейшем изложение ведется, сле дуя его методу.
Введем для краткости записи обозначения
ш = к (вектор рефракции),
а7 = -^-а, т] = Nm, b = [Na7].
В § 3 дисперсионное уравнение (уравнение нормалей) (3.1) имело вид
kt- = гпг= бгРт ®г»
из уравнений (1.10а) и (1.11), аналогично (3.2) и (3.8), можно получить в новых обозначениях
ш£ = [Na7] -f (Nm£) N = b + rpN; |
(5.1) |
отсюда для Ці получается квадратное уравнение с ре шением
Щ= ± ] / ш ? -а 72, |
(5.2) |
аналогичное (3.4) и (3.10), но в новых обозначениях. Для анизотропных сред уравнение нормалей в общем
случае согласно |
[015] в новых обозначениях имеет вид |
||||
(см. также приложение IV) |
|
|
|
|
|
т 3 ■тегп — ш ( ес— е) т -{- [е| = |
0; |
(5.3) |
|||
здесь | е | — детерминант |
матрицы |
тензора е |
(|е | = |
||
= еіб2е3, где Si — главные значения е), |
|
|
|||
s |
е = |
(eje-1; |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
ес — след тензора е. |
с (1.11) |
или |
(5.1), |
опреде |
|
Решая (5.3) |
совместно |
||||
ляем г),-. Получающееся отсюда уравнение для величины г|(0 оказывается полным уравнением 4-й степени. По добно тому как решение уравнения (3.10) имело два корня, соответствующих приходящей и уходящей вол нам, в анизотропных средах для т)(<) получаются че тыре корня: две волны приходящие и две уходящие.
64 |
ПРОСТЕЙШАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ |
[ГЛ. 1 |
Отбирая, как и выше, решения для уходящих волн, мож но найти их волновые векторы. Как известно, задание волновых векторов полностью определяет Er, Ed, Нг, Hd при заданных Е, Н (см. приложение IV).
Записывая далее, аналогично (3.19):
E = v4a'+ ß[sa'], |
(5.4) |
Er=y4ra,+ ^ r [ sra/] , |
(5.5) |
Е = |
(5.6) |
|
(5.7) |
и подобные же обозначения для Н(<) |
(здесь е(0 — еди |
ничные векторы, определяющие направления Е(і)), ис пользуя найденные значения т)(і) и граничные условия (1.3) — (1.6), получим формулы Френеля, обобщенные на анизотропные среды.
Поскольку существенных отличий в физическом ме ханизме процессов в одно- и двуосных кристаллах нет, а математическая сложность уравнений для вторых весьма возрастает, ограничимся одноосными кристалла ми (теорию для двуосных и магнитных кристаллов см.
в [015] и работах [38, 39, 41]).
Рассмотрим сначала более простой случай, когда
среда |
1 изотропна (и |
прозрачна); |
тогда |
уравнения |
(3.1) |
— (3.5) остаются |
в силе. Для |
среды |
2 уравнение |
нормалей для прозрачных кристаллов здесь распадается на два (см. приложение IV), и для среды 2 имеем (ин дексы «о» и «н» относятся к двум лучам — обыкновен ному и необыкновенному) ‘):
(m)2 = |
e<°>, |
(5.8) |
= |
8<°>e(K); |
(5.9) |
подставляя в (5.1)
!) Тензор в в системе главных осей имеет вид
6(о> 0 О
0 |
е(0) 0 . |
0 0 Ё(н)
§ 5] ОТРАЖЕНИЕ ОТ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД 65
аналогично (3.10) имеем
1)<°> = -f- У е(0) — а 'г, |
(5.10) |
исоответственно mW = Ъ+ f]MN,
t]<«) = (NeN)-i { - beN + (e<°>e<«>NeN - a'ea')''2}. (5.11)
Обозначая единичный вектор по оптической оси через с и вводя индекс 2 для второй среды:
п[0) = -J/IW f |
(5.12) |
^2Необ |
4” |
4” |
(5.13) |
= Ѵ \ е2(о) [sc] 2 |
(«) |
||
|
+ e{2H>(sc) |
|
Тогда для обыкновенной волны, в которой вектор Е(о), как можно показать, перпендикулярен главному сече нию (т. е. плоскости к, с):
Е<,0) = Л(0) [ т ^ с ] , |
(5.14) |
и для необыкновенной, где Е1к) лежит в плоскости глав ного сечения ’):
|
|
EdH>= AdH) (s(D) — mrfK)mdK)) с |
|
(5.15) |
||||
и соответственно |
|
|
|
|
|
|
||
Н<?> = |
[шГ К 0)с]], Н<Г> = |
4 |
н)е(0) К |
н)с]. |
|
|||
Производя вычисления, |
получим |
|
|
|
|
|||
АГ = ± [ А |
|
[(Пі - |
т]^) (X + Y) + (ти - |
цУ) (Z + |
і/)] |
+ |
||
|
|
|
+ 2В{ці0) - ^ |
в)) ( Ѵ - ^ ) ) ; |
(5.16) |
|||
здесь т[і= |
Пі cos ср и |
|
|
|
|
|
||
Br = - J {В [(% + |
(X - |
Y) + (m + |
V1">1 (Z - U ) - |
|||||
|
|
|
- 2 А { ч , У - r ( 2H)) ( U + W)]}, |
(5.17) |
||||
Б = |
(% + '2Л |
(X + Y) + (tu+ |
Tjji"1) (Z + U), |
(5.18) |
||||
X = |
£,2°)Tlimd0) [a'c] m^H) [a'c], |
|
|
|
|
|||
') (A-B)/*'= AiBk— тензор, так называемая диада,
а в. А, Дизель
6 6 |
п ро с т е й ш а я ф ен о м е н о л о ги ч е с к а я т е о р и я |
ШЛ. 1 |
(5.191
(5.20) V = е2°)я1гцг|20) (а'с) ([Na'] с), W = &2°)ur]1a/2(a/c) (Nc). (5.21)
Эти формулы полностью описывают отражение света от границы одноосного кристалла при любой ориента ции ш, с, N.
Как видно, при отражении от границы изотропной прозрачной среды и одноосного кристалла получается одна отраженная волна; волновой вектор ее определя ется формулами (3.3) — (3.5). При падении линейно поляризованной волны отраженная поляризована также линейно, амплитуды ее компонент определяются фор мулами (5.16) и (5.17).
Существенные отличия можно отметить в отношении свойств поляризации отраженного света.
Прежде всего здесь Ar— f'(A, В) и Br=f"(A, В),
т. е., в отличие от случая изотропной среды, _1_ и || ком
поненты |
не независимы [в (3.22) и (3.23) E r ,= ff(E,) |
и £ г [ | = П |
£ | , ) ] . |
Вследствие этого:
1) При падении линейно поляризованной волны о раженная поляризована также линейно, но поворот плоскости колебаний происходит иначе, формула (3.32)
неприменима, |
происходит |
поворот |
плоскости поляризации и при |
нормальном |
падении |
(рис. 25—27).
2) Коэффициенты отражения гх, гя, в отличие от изотропных сред, зависят в общем случае от а — ази мута колебаний падающего света.
3) Можно показать, что для каждого угла ср суще ствуют два значения а\ и аг таких, что аі—«2=90°, и при этом для соответствующих азимутов колебаний отраженного света ßi—ß2=90° («главные азимуты» по Корню), и для этих двух азимутов суммарное отраже ние максимально.
4) Можно подобрать такое значение, чтобы при всех ср было
(рис. 25, в),
сл
*
Рис. 25. Амплитудные коэффициенты отражения от границы вакуум—кальцит (отрицательный кристалл)
|
|
|
|
(Я20)=1,85; |
/12° = 1,56; Я=2150 |
А). |
|
|
|
|||
“ ) |
— (случай |
I); / - с л у ч а й |
ІА |
(са=0); 2 - |
случай |
ІБ |
( с а = |о |; |
б ) |
c=N, |
са=0 (случай II); в ) то же, |
для |
|
1 |
' Іг% П2 |
^ |
случай |
ІА |
обе компоненты; 2 |
случай І Б — левая кривая — X компонента; правая |
кри |
|||||
|
в а я — Ц компонента; |
3 — случай |
II — левая |
кривая — || |
компонента; |
правая |
кривая — X компонента. |
|
||||
ЧА
сл
СРЕД АНИЗОТРОПНЫХ ОТ ОТРАЖЕНИЕ
О*,4