книги из ГПНТБ / Кизель В.А. Отражение света

На рис. 58 показана в качестве примера зависимость коэффициента отражения R от толщины слоя I для двух слоев с весьма близкими зависимостями n(z), где в

Рис. 58. Зависимость коэффициента отражения R от толщины слоя і для двух слоев с близкими значениями п(г).

а) Изменение показателя преломления п в зависимости от глубины z (отсчи­ тываемой от поверхности раздела среда / — слой) п,ри л,=0,8 и «2= 1,0 для двух видов (/ и 2) переходного слоя; / — толщина слоя; б) амплитудные ко­ эффициенты отражения этих слоев [022].

случае а) величины а и^-меняются непрерывно и асимп­

тотически приближаются к граничным значениям в сре­ дах 1 и 2, а в случае б) имеются разрывы у границы в dn/dz; как видно, различие в коэффициенте отражения весьма велико.

Рассмотрим кратко несколько случаев:

А. Однородный толстый слой, п испытывает разрыв. Под толстым слоем здесь и ниже подразумевается такой слой, толщина I которого Пусть п\<.п —

= const < По.

Решение этой задачи рассмотрено во многих руковод­ ствах [02, 05, 09, 022].

Задавая падающую волну и волну, прошедшую в сре­ ду 2, в виде (1.1)— (1.8), а волновое поле в слое — в виде

Егл — Ас к г) Be;[и/~коТ)

(где первое слагаемое справа изображает волны, иду­

осцилляции R также имеют место, но размах их меньше и убывает с I (см. рис. 59, е); значение R при больших I очевидно приближается к значению R для отражения от границы среды и массивного вещества слоя за счет

Рис. 59. Энергетический коэффициент отражения R прозрачного слоя в зависимости от его толщины / (I выражено в долях длины волны в слое).

ослабления прошедшей волны. Отражение уже не равно нулю при любых толщинах слоя.

вокруг нуля. Видно, что угловые зависимости — совер­ шенно иные, чем для одной поверхности раздела.

Рассматривался также слой с зависимостью

г < 0 : е= 8і, п — П\,

0 < 2 < /: e (z) = (FTif-« п -ь Т ~ г ' z > i. е= 8о, п.=п2.

На этом примере удобно подробнее рассмотреть зави­ симость от толщины. Выберем случай п ^ п < ^ .п 2.

R,%

Рис. 60. Отражение при линейном изменении е в слое (естественный свет).

£і

а ) Энергетический коэффициент отражения R при — =2; 6 ) разность фаз между падающей и отраженной волнами для этого случая; в ) пропускание Т через переднюю поверхность в слой; г ) R при = 1,а* Кривые 1, 2, 3 получеиы для

разных толщин слоя.

Пусть волна линейно поляризована и падает на слой нормально; среды немагнитны и прозрачны. Записывая уравнение Максвелла и граничные условия, находим значения Ег и Е(І. Если толщина слоя /^>л, коэффициент

Видно, что и здесь R осциллирует с ростом 1/Кь но убывает неограниченно (пропорционально Р), в отличие от примеров, где я менялось скачком. Это означает, что при непрерывном изменении n(z) отражение стремится к нулю с ростом толщины слоя, т. е. со спадом гради­ ента я; этот вывод, как можно показать, справедлив, независимо от вида функции n(z) [105].

В. Неоднородный толстый слой; п и dnjdz непрерыв­ ны. Для выяснения хода явлений можно использовать хорошо изученный теоретически случай, когда

Рассмотрим два наиболее наглядных случая [022, 1]: «Переходный слой» М= 0

/I2 (-|- 00) = 1 — N — ІІ2,

я2(0) = 1 - N/2

я2(— 00) = 1 = п і

«Симметричный слой» N = О

п 2 ( + со) = 1 = я 2 — іц,

rP (0) = 1 — М = Ямакс,

я2 (— оо) = 1 = Я? = п і

Зависимость я от z показана на рис. 61. За толщи­ ну симметричного слоя I можно принять удвоенное

1 8 4 ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПЕРЕХОДНОГО .СЛОЯ [ГЛ. 5

ограниченном убывании п

будет происходить полное отражение, а при возрастании его

8л cos2 ф ^ dz j 2=0'

Для слоев с непрерывным изменением параметров можно, как и в случае скачкообразного их изменения, по­ добрать n{z) так, чтобы отражение отсутствовало [13]. Общие черты решения в общем виде для слоя, где -е и ß непрерывные (комплексные) функции z, имеющие производные до второй включительно, даны в работе [14].

§ 22. Отражение при наличии тонких поверхностных слоев

'Дать полное решение в общем виде для произволь­ ной зависимости п (z) возможно лишь в случае очень тонкого слоя, для которого /Д<С 1. Поскольку макроско­ пический расчет допустим, если l~^>d (где d — характер­ ный микроскопический размер среды, например, посто­ янная решетки, длина пробега, дебаевский радиус), гра­ ницы применимости такого решения не очень широки (см. ниже).

Расчеты такого рода делались в последнее время [15] (где дан обзор более старых работ, см. также [16]). Предполагается, что показатель преломления ѣ сущест­ вующего на границе двух сред переходного слоя тол­ щины I непрерывно меняется от щ до по. Слой считает­ ся непоглощающим; решение задачи приближенно и да­ ется в виде разложения по степеням 1/Х. Применяется тот же метод, который упоминается на стр. 117 — среда разбивается на слои, параллельные поверхности, но тол­ щина этих слоев выбирается > d , что необходимо для макроскопического расчета. Если расположить ось z нормально к плоскостям п= const и направить в глубь среды, а за ось х принять сечение указанной плоскости плоскостью падения (показатели преломления для этих направлений соответственно nz и пх), то

р — Іп\

-j-2/ZjCOS ф{пх COS Ф -|- tu cos ф)3[ — /7 -f І п \ ЭІП2ф— ^ЯоСОЗфСОЭф),

Если в этих формулах перейти к предельному слу­ чаю 1=0, получаются формулы Френеля (3.22) и (3.23); таким образом, последние представляют собой нулевое приближение для реальных поверхностей раздела.

Ограничиваясь членами первого порядка относитель­

здесь *{х, y„, "f2— некоторые вещественные параметры ре­ шетки, зависящие, в частности, от выбора выражений, для Еафф, п, а d — ее постоянная. Если слой достаточ­ но толст для применения макроскопического описания первого приближения, то

(22'5)

( 22.6)