книги из ГПНТБ / Кизель В.А. Отражение света
.pdf28 |
п ро с тей ш а я ф е н о м е н о л о ги ч е с к а я т е о ри я |
[ГЛ. 1 |
волна; волновой вектор определяется однозначно, неза висимо от свойств отражающей среды.
Для определения волнового вектора прошедшей вол ны необходима дальнейшая конкретизация свойств от ражающей среды. Если среда 2 прозрачна и изотропна,
то, аналогично (3.1)-—(3.4),
|
|
[N[kaN]] = |
[N a]= k d— (kdN) N, |
(3.8) |
' |
||
|
|
kS = a» + |
(krfN )*= -J-ni, |
(3.9) |
|
||
k rfN = |
± Y |
k* - |
a2 = |
|
|
|
|
= ± |
] / — - tu — fkN]3 = ± ~ Y |
«2 — «1 sin2 ф ; |
(3.10) |
|
|||
если |
и.,х=5 — |
sin cp, то kd вещественно. |
|
|
|||
|
|
ni |
|
|
«+», получим |
волну |
|
Выбирая перед корнем знак |
|
||||||
в среде 1\ |
следовательно, в среде 2 имеется только одна |
|
|||||
Рис. 2. Расположение волновых векторов для прозрачных сред.
волна (знак |
«—»); |
kd = |
— nzsd. Из (1.11) |
следует |
|
|
n2sinij)—-щ sin ср, |
(3.11) |
|||
|
|
_• п2 |
_ |
sin ф |
(3.12) |
/ \ |
21 |
пх |
|
sin гр’ |
|
/ \ |
|
|
|
|
|
где ^ = k dN= |
sdN (рис. 2). |
|
|
|
|
На рис. 2 |
видно, что концы всех векторов к лежат на |
||||
одной прямой, параллельной |
N; это следует из |
(1.10а). |
|||
§ 3] |
ОТРАЖЕНИЕ от п р о зр а ч н ы х и зо т р о п н ы х с р е д |
29 |
|||
Угол, |
при котором «2і= |
sin ф, |
носит название кри |
||
тического, ср1ф. |
(k(iN) будет |
чисто мнимой |
величи |
||
Если |
n2i<sinfp, |
||||
ной, то |
|
|
|
|
|
|
|
k^ = kd — ikd, |
|
||
т. е. волны будут неоднородными; отсюда |
|
||||
|
k l - k"fi = |
n l |
kd' С = 0 |
(3.1ЗД |
|
(ибо для среды 2 n2 вещественно, |
it2= е 2ц2). Опять-таки |
||||
решение однозначно, |
так как выбор знака «+» |
в (ЗЛО) |
|||
в этом случае диктуется принципом излучения — требо ванием, чтобы рассматриваемая волна была уходящей, т. е. (krfN) должно быть больше нуля [при нашем вы боре знаков в (1.11)].
Необходимо иметь в виду, что принцип излучения, в той форме, как он применяется здесь, строго говоря, относится к направлениям скорости групповой, в тексте же рассматриваются скорости фазовые. Отождествление их допустимо лишь в данном приближении (монохро матические волны, отсутствие дисперсии). От границы должна быть направлена групповая скорость; фазовая же может быть направлена и к границе. (В принципе возможны случаи, когда эти скорости имеют разные
знаки |
[9] !).) |
Поэтому в общем случае эти утвержде |
ния |
должны |
быть уточнены; дискуссию см. в рабо |
те [9а]. |
|
|
Для определения амплитуды отраженной волны, как видно из (1.11), необходима дальнейшая конкретизация свойств отражающей среды. Наиболее просто решение
для случая прозрачных изотропных |
немагнитных |
сред. |
В этом случае граничные условия |
(1.3) — (1.6) |
имеют |
вид |
|
|
[ Е + Е - Е ,, 14]= 0, |
|
(3.14) |
[ Н + Н г—Нгі, N ]= 0 , |
|
(3.15) |
(H+H- Hrf, N) =0 ; |
|
(3.16) |
]) В работе [10] отмечено, что групповая скорость может ока заться отрицательной, например, при возникновении тормозного излу чения в поглощающей среде.
3 0 |
ПРОСТЕЙШАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ |
[ГЛ. 1 |
из (3.15) и (3.16) следует |
|
|
|
н + н г- н , —о. |
(3.17) |
Для плоских воли вместо (3.17) имеем |
|
|
|
[kE] + [krEr] - [ k dE J = 0 . |
(3.18) |
Разлагая Е( на компоненты [015] и учитывая (1.9) и (1.10), будем иметь:
|а|Е = |
£’аа + |
£ц [sa], |
|
la[Er = |
£ ria + |
Er\\ [sra], |
(3.19) |
W d = Edl_&-\-Ell[{ [sda]; |
|
||
отсюда, умножая (3.18) на kr и kd и пользуясь (3.14) — (3.17), получим
Видно, что амплитуда отраженной волны, в отличие от волнового вектора ее, зависит от свойств среды 2.
Переходя от векторных выражений к формулам с яв но входящими углами падения и преломления, после небольших вычислений получим известные формулы Френеля:
£ ГХ |
Щ COS lj)— п г COS cp |
sin (ф — l|>) __ |
F j _ |
n2 cos -ф-j- n x cos ф |
sin (q> -j- тр) |
|
|
COS ф — (n| j — sin2 Ф ) |
E r \] |
ng COS Ф — n r COS1)? |
tg(ф — яр) |
E Ц |
/i2 cos ф + nxcostJj |
^('Р + 'Ф) |
|
|
n|j COS ф — (n|, — sin2 ф)1/2 |
где /г;= У е{; /г21 = п2/пі.
§3] |
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОЗРАЧНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
31 |
Для нормального падения формулы (3.20) и (3.21) становятся неопределенными; из (3.14) — (3.17) легко получить
Ег =г- — |
Е. |
(3.24) |
Значения для амплитуд магнитного поля легко получить из известных соотношений
1/ё|Е| = ]ЛЙ|Н|,
анаправление выбирается так, чтобы обход от вектора
Ек Н и затем к к был правым. Здесь для компонент Я„
Кё і ^ |= і / й і я „ |,
идля компонент Еп, Нх
і/і1 £ ц | = -|/ЙІЯД.
Вопрос о выборе знаков перед отношениями в правых частях (3.20) и (3.21) и необходимых здесь соглашениях многократно дискутировался [07, 014, 11—16]; имею щийся здесь произвол обусловлен отмеченным выше произволом в выборе фаз, удовлетворяющих уравне ниям Максвелла и граничным условиям — приравнива нием фаз в (1.3) с точностью до ±йгс. Если потребовать, чтобы системы координат (тройки ортов для вектора Е) и в падающей, и в отраженной волнах были правыми, то знаки в (3.22) и (3.23) должны быть одинаковы; выбор в обоих формулах знаков «+» или «—» остается произвольным. Однако в литературе нет единообразия
(ср. |
обзор |
[16]); |
в |
ряде |
монографий, например, [03, |
08] |
в (3.22) |
выбран |
знак |
«—», а в (3.23) знак «+», |
|
в некоторых |
же, |
например |
[04] — поступают наоборот. |
||
В [07, 013, 11, 17] приняты знаки «+». В отечественной литературе по металлооптике [014, 12] приняты знаки «—» в обеих формулах. Такой же выбор сделан в ра боте [011] и в известном курсе лекций Фейнмана; при нят он и в настоящей книге.
При анализе энергетических соотношений выбор зна ка безразличен; он существен для поляризаций и фаз, причем одинаковые знаки технически удобнее.
3 2 |
ПРОСТЕЙШАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ т е о ри я |
[ГЛ. 1 |
Сделанный нами выбор знаков и направлений соот ветствует при нормальном падении на более плотную среду «отражению с потерей полволны», а на менее плотную среду — «без потери полволны» (см. ниже).
Для, магнитных сред формулы несколько усложняют ся, и вместо (3.22) и (3.23) получается
Еы. |
^ |
Ü |
cos,|)- |
V |
Pi cos ф |
Pi tg ф — Pa tg l|) |
||
Х |
|
|
cos ^ + V |
COS CD |
Pi tg9HPa tgl|J |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
_ |
|
|
(3.25) |
£rji _ |
_ V |
І 7 со$т - |
4 / 7 7 |
c°s^ = |
|
|
||
Е II |
т / ' в л |
, |
- і / |
е. |
cos ib |
|
|
|
|
У |
- f - |
cos cp |
I/ |
— |
|
|
|
|
" |
Ра |
|
f |
P i |
|
|
|
|
|
|
|
Pi sin ф COS Ф — p2 sin Tjl COS 1]) |
(3.26) |
|||
|
|
|
|
Pj |
sin ф cos ф + |
p2 sin i|) cos ij) |
||
|
|
|
|
|
||||
Формулы для амплитуд преломленных лучей имеют вид
_ |
2пг cos ф_______ 2 cos ф sin і|) _ |
|
||||
ß ± |
/!г COS lj) + |
Tlj COS ф |
sin (Ф + |
ij)) |
|
|
|
|
|
|
__ |
2 cos ф |
(3,27) |
|
|
|
|
COS Ф -f- {tl\x— sin3 ф)1^2’ |
||
|
|
|
|
|
||
Ed и _________ 2пг cos ф_________ _________2 cos фsin ij)___________ |
|
|||||
E у |
я2 cos ф + |
пг cos ij) |
sin (ф + |
i|j) cos (Ф — ij)) |
|
|
|
|
|
_ |
2ПІСОЭФ |
|
|
а для магнитных сред. |
ti\j cos ф + |
^n2j — sin2 ф)І/2> (3.28) |
||||
|
|
|
||||
|
2 |
|
COS Ф |
|
______ 2pg simj) cos ф______ |
|
|
|
|
|
|
||
|
COS l[> + |
— |
’ |
р г sin ф cos iJi-l-Pa sin ij) cos ф’ |
||
|
COS ф |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
|
2 |
|
COS Ф |
_______2pa cos ф sin ij)______ |
||
|
|
|
|
|||
p3 sin ij) cos ij) + Pi sin ф cos ф'
COS Ф -j-
(3.30)
§3] |
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОЗРАЧНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
3 3 |
||
|
Зависимости rt-_ !£ Л и Ri |
\м . |
для некоторых |
|
|
" “ \Ч |
\Ч а |
|
|
случаев показаны на рис. 3—4.
На рис. 5 приведены зависимости энергетических коэффициентов отражения в вакуум от угла падения ф
(/г2і = л), а) при п — 0,5, я = 0 , 0,2, 0,4, 0,5, 0,8, 1, 2, 3,4, 5, 6; б) при n = 1, 0, и = 1 , 2, 3, 4, 5, 6, в) при п=1,5;
Г |
г |
Рис. 3. Зависимость амплитудных коэффициентов отражения г от
угла падения ф для прозрачных сред.
а) п,<Лз; б) пі>пп; показаны углы Брюстера Фбр н критический Фкр>
г) |
при n=2,0; <5) при |
п = 2,5; |
е) при |
д=3,0; |
э/с) при |
|
/г=3,5; з) при л=4,0; |
на рис. |
в ) — з) |
х = 0 , |
1, 2, 3, |
||
4, |
5, |
6. |
формул |
(3.22) |
и (3.23) |
приво |
|
Анализ простейших |
|||||
дит к следующим выводам о физической стороне про цесса.
Фазовые соотношения
1)П і< п 2, я /2 > ф —ф > 0, sinfa—-ф) > 0 , t g ^ —ф )> 0:
если я/2> ф + ф , то зіп (ф + ф )> 0, tg(T|H-<p)>0. если я/2< ф + ф , то sin (ф+ф) > 0 , tg ^ -fif) < 0 .
Требование к системам координат, сформулирован ное выше, приводит, таким образом, к расположению векторов, показанному5) на рис. 6; видно, что £ц меняет знак при я/2= ф + ф , т. е. меняет фазу.1
1) Обходы векторов Ец, Ej_, k — правые в обоих лучах.
3• В. А. Кнзель
а
^ecm
Рис. 4. Зависимость энергетических коэффициентов отражения от
угла падения <р для отражения в вакуум от поглощающей среды
(п2,==л):
СО
ТЕОРИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОСТЕЙШАЯ
а) для компонент поляризованного |
света: 1 — п= 1,5 2 , и = 0 ,0 , 2 —я = 1.5 2 , к = ],0 ; |
іа |
|
3 ~ л = 1 1 , и = 6 ; 4 — л<=44. |
43; |
б) для естественного света при ' л = 4 ц |
|
значениях и, |
указанных у кривых. |
|
|
|
ОТРАЖЕНИЕ |
|
ПРОЗРАЧНЫХ ОТ |
|
ИЗОТРОПНЫХ |
|
СРЕД |
Рис. 5. Зависимость энергетических коэффициентов отражения в вакуум от угла падения ф [27] (/г2І= я). |
со |
|
ел |
3 6 |
ПРОСТЕЙШАЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ |
[ГЛ. 1 |
|
|
2) |
n1> n 2> n l sin ф, |
ер—ф < 0, |
|||
tg (ф—ф )< 0, |
если |
іг/2>ф +ф , |
то |
||
tg ( 9 + aj))> 0, |
если |
я/2<ф-|-ф, |
то |
||
sin (ф—ф) < 0 , sin (ф+Ф) > 0 , sin (ф+ф) > 0 ,
tg (ф+'ф) < 0 .
Таким образом, здесь Ег имеют обратные первому случаю направления, причем £Ѵц снова меня ет знак при я/2—ф+ф.
В обоих случаях ли нейно поляризованный свет после отражения остается линейно поля ризованным, однако плоскость поляризации поворачивается; пово рота не происходит. только, если одна из компонент в падающей волне равна нулю.
Рис. 6. Выбранные ориентации векто- Обозначая углы между
р 0 В . плоскостями колебании и плоскостью падения (азимуты колебаний) для падающего, отраженного и
преломленного лучей соответственно а, ß, ч> получаем
ctg а = |
ctg ß = |
|
ctg у = |
5^-. |
|
|
|
|
|
|
|
' d i . |
|
Согласно (3.22) |
и (3.23), |
|
|
|
|
|
c , g ß = |
S Ä ± J f ) o l g a . |
|
(3.31) |
|||
|
° 1 |
cos (cp-- Ф) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
/-Ч |
|
|
|
Clg ß |
не |
зависит |
Отсюда следует, что отношение |
|
|||||
от величины а: |
|
|
|
|
|
|
|
JL /'ctgßN = |
0 |
|
|
(3.32) |
|
|
da |
^ctgaj |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ctg |
[cos (ф—ф) ]-1 ctg а. |
|
(3.33) |
|||
Результаты расчета при П21= |
1,52 и а= 45° |
приве |
||||
дены на рис. 7. |
|
|
|
|
|
|
§ 3] |
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПРОЗРАЧНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД |
3 7 |
Как видно, поворот азимута колебаний весьма велик. Это нужно учитывать в поляризационных измерениях.
Вобоих разобранных случаях Еп меняет знак при ф-|-я|)=я/2. Это значение ср ß -сс.град
называется углом Брюстера. |
qU U=B5i |
|||||
При |
ф=фбр£г|| = 0; |
Ет\\/Егх |
||||
минимально |
при |
і§ф6р = |
во |
- |
||
= П2/П). |
|
|
70 |
|||
Для магнитных сред то |
ВО |
|||||
же существует угол Брюсте |
50 |
|
||||
ра, однако здесь он может |
|
|||||
быть |
(альтернативно)у обе |
ВО■ |
||||
их компонент: |
|
|
30 - |
|||
|
|
ВаИ-і,— |
го |
|
||
tg ФбРII = (-^ |
ю - |
|||||
— elP lJ : |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Ра |
s aPi |
еіР з ѴА |
-ю • |
||
t g ф б р . -L = |
|
|
||||
|
P i |
el P l |
егР г/ |
-го |
||
Разности фаз между од |
|
<р,град |
||||
Рис.7. Поворот азимута колеба |
||||||
ноименными |
компонентами |
|||||
в падающей |
и отраженной |
ний при отражении [угол (ß—а )] |
||||
в |
зависимости от ср (сс=45°). |
|||||
волнах бх, б,, и между ком |
а) |
Лл=1,52; б) л21=2,60. |
|
понентами в отраженной вол |
|
можно записать так: |
|
не А, как следует из изложенного, |
|||
|
ф < ф бр |
ф > % |
|
Ь х |
|
— Jt |
— Я |
Я і < « 2 ■ |
|
— я |
0 |
би |
|
||
It \ А = б и — б х |
|
0 |
+ Я |
б х |
|
0 |
0 |
П \ > П 2 |
|
0 |
— я |
б „ |
|
||
А , = б х — б и |
0 |
+ J t - |