книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Если Ф(х) выбирается произвольно, то необходимо произвести проверку, не привел ли эмпирический выбор Ф(х) к нарушению теорем.

Можно применить несколько методов для определения V(х): 1. Уравнение (6-159) можно записать как

00

зовать полученное выражение для подстановки в (6-158). Выбор функции Ф(х) зависит от параметра, который определяется из соот­ ветствующих тождеств для двух членов (6-158). Эта два метода имеют, к сожалению, ограниченное применение из-за нелинейности соотношений для вычисления коэффициентов. Однако ниже будет все же приведен иллюстративный пример.

3. Третий .метод позволяет устранить этот недостаток, ,но тре­ бует применения вычислительной машины. Метод заключается в том, что в качестве первой аппроксимации берется [для достаточно малой

V( х ) } hV(x) =.—Ф (х).

Применение этого соотношения и уравнения, определяемого вы­ ражением (6-157), позволяет находить члены второй степени разло­ жения в ряд Тейлора V(x). Это решение справедливо в некоторой области, внутри которой выбирается расчетная точка: процедура является итерационной.

7. Критерий Пури—Дрэйка

Н. Н. Пури и Р. Л. Дрэйк [Л. 6-38, 6-39] предложили критерий устойчивости для определенного класса нели­ нейных разностных уравнений второго и третьего поряд­ ков, основанный на втором методе Ляпунова.

Разностное уравнение второго порядка. Рассмотрим автономное нелинейное разностное уравнение

х(п + 2) +aiX(n + 1) +a<ix(n) +f[x(n), х ( п + 1), п] = О, (6-161)

где Hi и й2— действительные постоянные.

Это уравнение запишется в матричной форме

" Х(я + 1) = А Х (п )—B/[Xi(n), Х2(п), я],

(6-163)

Х1(я) = Х(я);

ХДл) = Х ( я + 1 ) .

191.

откуда

AY (y „)= Y r (n)lRrR— 1]У(я) — —2BrQrRY(rt) + BTQrQB/2,

где функция V(Yn) - определенно-положительная.

Если предполагать, с одной стороны, что единствен­ ное решение f(Xb Х2, я )= 0 является положением равно­ весия x i= x 2= 0 и, с другой стороны, что линеаризован­ ная система устойчива, отрицательность ДУ(УП) накла­ дывает условие

(6-170)

192

Отсюда критерий устойчивости может быть сфор­ мулирован так: разностное уравнение (6-161) положение равновесия асимптотически устойчиво, если

Когда / = 0, условие (6-171) совпадает с условием, получаемым по критерию Шура—Кона.

Разностное уравнение третьего порядка. Рассмотрим уравнение

х(п + 3) + а\Х (п + 2) + а2х (п + 1) + а3х (п) +

Способом, аналогичным вышеприведенному, Пури и Дрэйк показали, что достаточные условия устойчивости следующие:

5 ,> 0 ;

В\ - В] > 0;

С, 1

(fil - f ig ) [(^х -Ь ^ 2)а— ^|]

r — — a3\ A'i =x(n.);

Отметим, что первые четыре условия неравенства (6-173) тождественны неравенствам, полученным по кри­ терию Шура—Кона для линеаризованной системы. При­ мер применения метода будет приведен ниже (см. § 6-2,в).

8. Метод обратного преобразования Шеа

Р. О. Щеа [Л. 6-40] предложил несколько теорем, ба­ зирующихся па втором методе Ляпунова и на обратном преобразовании. Рассмотрим систему, описываемую раз­ ностным уравнением

Xi(k)=gi[x

Предполагается, что составляющие / и g являются непрерывными функциями соответствующих переменных и начало координат Х = 0 — особая точка или точка рав­ новесия.

Теорема 1. Если существует функция Ляпунова Vi(x), такая, что A V i(x)<0 в области й, заданной как Vi = C (за исключением начала координат), то область асимптотической устойчивости уравнения (6-176) являет­ ся гиперпространством, ограниченным областью, кото­ рую можно аппроксимировать с помощью обратного пре­ образования.

Необходимо при доказательстве этой теоремы исполь­ зовать допущение о единственности обратного преобра­ зования, что ограничивает использование некоторым классом нелинейностей.

194

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия:

ласти определения g имеет непрерывные однозначные составляющие.

AKi<0 в области £2 и на ее границах, за исключением начала координат, где AVi = 0. Уравнение границы Q бу­ дет V\ = С.

Тогда область асимптотической устойчивости будет предельной гиперповерхностью, ограничивающей об­ ласть, которую можно аппроксимировать с помощью ме­ тода обратного преобразования.

и что величины собственных значений матрицы А линей­ ного приближения меньше единицы. Область асимптоти­ ческой устойчивости может быть аппроксимирована об­ ратным преобразованием при помощи квадратичной функции Ляпунова

где В и С — симметричные положительно определенные матрицы; В — решение матричного уравнения АТВА—

— В= — С.

Ниже на примерах будут указаны предельные воз­ можности этой теоремы. О. Шеа также предложил раз­

(6-176) является гиперповерхностью, ограничивающей некоторую область, которую можно аппроксимировать с помощью обратного преобразования.

Теорема 5. Если допущения 1 и 3 теоремы 2 и до­ пущения 1 и 2 теоремы 4 удовлетворяются, то граница неустойчивости уравнения (6-176) является гиперпо­ верхностью, ограничивающей область, которая может быть аппроксимирована методом обратного преобразо­ вания.

Все эти теоремы представляют определенный инте­ рес. Однако их использование встречает определенные трудности, так как нет строгого метода определения функ­ ций Ляпунова, используемых в этих критериях, и, в част­ ности, функций, используемых при рассмотрении крите­ рия неустойчивости.

9. Критерий Сего—Калмана

Сего и Калман [Л. 6-14], основываясь на методе Ля­ пунова, доказали геометрический критерий Цыпкина. Приведем принцип их доказательства.

Пусть действительная непрерывная функция <р пере­ менной 6 такова, что

Пусть G — импульсная система с нелинейностью <р, описываемая матричным разностным уравнением:

управляемая, то векторы В, АВ, ..., АП-1В — линейно независимы. В дополнение к этому, если линейная часть

196

Теорема. Если собственные величины А; матрицы А удовлетворяют условиям

то неравенство (аналогичное неравенству В. М. Попова)

удовлетворяться, если существует функция Ляпунова

в) AE(Xj)=0 для системы (6-183).

Для того чтобы существовало действительное число уд^О, действительный вектор Q и действительная симме­ тричная положительно-определенная матрица, удовле­ творяющие соотношениям

Н—ATHA = QGT;

АТНВ—C = yQ;

k~l— B t H B = y 2,

необходимо и достаточно, чтобы уравнение (6-186) удо­ влетворялось для любого действительного значения to.

Отметим, что Сего [Л. 6-15] несколько изменил и обобщил этот критерий.

б) РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ

1. Метод Гумовского — Мира

Задача определения области устойчивости точки рав­ новесия последовательности может быть решена тремя различными методами:

1. Косвенным методом, путем исследования функции V второго метода Ляпунова. Мы приводили большое ко­ личество случаев использования такого подхода, но этот метод обладает тем свойством, что знание функции V вообще позволяет установить только лишь часть области устойчивости.

2. Косвенным методом, использующим подход, раз­ витый в работах С. Латтеса и заключающийся в иссле­ довании функционального рекуррентного уравнения Шре­ дера, причем граница области определяется рядом то­

197

чек, что в некотором смысле вносит неопределенность в решение этого уравнения. Однако мы увидим, что из­ вестно мало эффективных методов, позволяющих опре­ делять решение уравнений Шредера.

3.' Прямым методом при изучении свойств совокуп­ ности точек, составляющих границу области устойчи­ вости.

П е р в ы й метод. И. Гумовски и С. Мира [Л. 6-41, 6-48] предложили метод, основанный на работах С. Латтеса [6-42], позволяющий определять границы области притяжения стационарных точек рекуррентного соотно­ шения. Исследуем систему рекуррентных последователь­ ностей

Предположим, что функции / и g голоморфны в до­ статочно большой области переменных. Точками равно­ весия уравнения (6-187) называют точки с координатами а и р, определяемыми алгебраическими уравнениями

P = g (« . Р)-

Эти точки являются положениями устойчивого или неустойчивого равновесия для физических систем, опи­ сываемых уравнениями (6-187).

Предположим, что один из действительных корней (6-188) совмещен с началом координат, тогда / и g рав­ ны нулю для хп = уп = 0 и можно составить выражения

(6-187) для рассматриваемой двойной точки. Если они

1 9 3

В принципе, если |Sij и |S2] отличны от нуля и мень­ ше единицы, a Si^=S“ (а — положительное целое), то

в некоторой области вблизи начала координат возможно произвести замену переменных

определяемую двумя голоморфными функциями Я1 и Яг такими, что уравнение (6-190) запишется в виде

в некоторой области в окрестности начала координат, то

199

Соотношения (6-193) позволяют последовательно вычислить коэффициенты разложения функции Х(хп, уп) степенного ряда. В общем случае ;вся область сходи­ мости рекуррентной последовательности к точке равнове­ сия состоит из области, окружающей точку, называемой «областью непосредственной сходимости», и из бесконеч­ ного количества областей, не пересекающихся между собой.

Обобщение результатов Латтеса на непосредствен­ ную область устойчивости позволяет сказать, что на гра­ нице устойчивости решение уравнения Шредера, кото­ рое в общем случае представляется степенным рядом, становится неопределенным.

Мира [Л. 6-41, 6-44] показал, что функция М сущест­ вует и является голоморфной во всей области устойчи­ вости рассматриваемой точки (здесь начало координат). На границе или вне ее функция стремится к бесконеч­ ности.

Метод позволяет теоретически определить всю об­ ласть устойчивости, ибо С. Латтес дал решение рекур­ рентной последовательности в явной форме. Нужно, од­ нако, заметить, что с практической точки зрения метод трудоемок, потому что требуется разложение функции X в кратный степенной ряд, причем кратность <равна крат­ ности рекуррентного соотношения (в общем случае функция X трансцендентна), и применение известных ме­ тодов суммирования рядов дает расходящиеся резуль­ таты.

З а м е ч а н и е . Метод распространяется на случай, когда |Si| и |6'2| имеют значения, большие единицы, что позволяет определить

область неустойчивости. То же происходит, когда 5, = 5^.

В т о р о й метод. Для случая рациональной рекур­ рентной последовательности первого порядка Г. Жюли а и С. Фату [Л. 6-45, 6-46] определили свойства совокупно­ сти точек, составляющих границу области устойчивости положения равновесия.

И. Гумовски и С. Мира [Л. 6-47, 6-48] рассматривают рациональные рекуррентные соотношения второго по­ рядка с действительными переменными:

где f и g аналитичны в достаточно большой области пе­ ременных,

?00