книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие

Если же на положения или скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематичес­ кого характера, то система называется несвободной. Ог­ раничения, наложенные на систему, называются связями. Аналитически связи выражаются уравнениями, а кеЛ трук - тивно могут быть представлены в виде рельсов, нщтей стержней, направляющих и т .д . Связи могут быть разделе­ ны на определенные классы или виды.

Рассмотрим несколько примерив, с пемецью кетарых можно будет классифицировать связи.

Пусть имеем маятник, который может врываться ввкруг точки 0 в пространстве, т .е . маятник будет сферичес­ ким (рис. 123).

I ) ОМ = - жесткий стержень. Тогда уравнение

будет уравнением связи. Это же уравнение можно,,<ыле, йы записать иначе, воспользовавшись условием, так как ѵ- - скорость всегда перпендикулярна к стерж-

197

ны только на координаты. Время в это уравнение в явном

Уравнение связи (2) выражено неравенством. Но огра­ ничения остались наложенными на координаты, а время опять не входит в явном виде.

Ограничения наложены на координаты, уравнение свя­ зи выражено неравенством и в него в явном виде воіло время.

xtycot - у ~ О .

198

199

зи - это такие, которые накладывают ограничения на ко­ ординаты. Если же в уравнения голономных связей входят скорости, то от них можно избавиться путем интегрирова­ ния.

Если же в уравнения связи входит скорость и урав­ нения нельзя проинтегрировать, то связи называются неголоноыными.

2 . Если уравнения связей не содержат времени в яв­ ном виде, то такие связи называются стационарными. Если же время входит в уравнения, то связи называются неста­ ционарными.

3 . Уравнения связей могут быть выражены равенства­ ми, тогда эти связи называются удерживающими. Если же уравнения связей представляют собой неравенства, то свя­ зи называются неудерживающими.

Одна и та же связь может быть голономной, стацио­ нарной и удерживающей или голономной, нестационарной и удерживающей и т .д .

§ 2 . Обобщенные координаты. Число степеней свободы. Действительные и возможные перемещения

В аналитической механике пользуются обобщенными координатами. Это позволяет сократить число уравнений и наиболее полно характеризовать движение.

Обобщенными координатами называются независимые па­ раметры, однозначно определяющие положение системы в

обобщенных координат. Изменяется число степеней свобо­ ды только с изменением числа голономных связей.

200

ся . Идеальными связи называются тогда, когда выпол­ няется следующее условие:

П

( ю )

т .е . сумма элементарных работ реакцій на любом возмож­ ном перемещении системы равна нулю. Уравнение (ІО ) мож­ но записать и так:

Е Ntx +Ni y h i +Ni J ii =0 • ( Ю'о

Любой сложный механизм можно трактовать как систе­ му материалы »! точек, подчиненную идеальным связям,

пП

203

Подставим это выражение в ( I I )

Выражение (12) - обобщенная сила. Тогда

( 13)

s* ' W y

г -1

Число обобщенных сил равно числу степеней свободы. Выражение (13) можно записать в развернутом виде:

Исходя из выражения (1 3 ), можно обобщенную силу оп­ ределить, как коэффициент, стоящий перед возможным пе­ ремещением в выражении работы. Из выражения (13) обоб­ щенную силу можно определить, как частное от деления

204

парциальной работы на возможное перемещение одной из координат. Парциальной работой называется работа сил, действующих на систему, на одном каком-либо возможном перемещении.

Обобщенная сила будет иметь размерность или силы,

имея дело только с активными силами, можно рассмотреть еще условия равновесия системы.

Все возможные положения равновесия системы позволя­

205

ет определять принцип вознойных перемещений. Принцип возможных перемещений устанавливает необходимые и до­ статочны условия равновесия систем.

Формулировка. Для того чтобы система с идеальными связями под действием активных сил находилась 6м в рав­ новесии, необходимо и достаточно, чтобы элементарная работа активных сил, действующих на систещу, равнялась нулю на ее любом вознохном перемещении из рассматривае­ мого положения равновесия, т .е .

І - І

206