книги из ГПНТБ / Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования
.pdf
|
|
?9 |
с различными |
Jv 4 , .. |
, |
Однако на^енн^л |
и результата этой оптимизации ре |
|
шетка оказывается наилучшее по порядку,так как даёт |
||
для нормы оптимального гдуикционала погрешности тот же |
||
порядок при |
. N -л-оо > Ч то и произвольный выбор уапов и |
|
B Q C O B . |
|
|
оаметим сраьу,что для г,ростран"ств W^* таюке извест |
|||||||||
на оценка снизу порядка, нормы функционала погрешности с |
|||||||||
любыми весами и любыми |
не |
обязательно решёт"атыми уз |
|||||||
лами. Этот |
порядок |
ест |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
» |
О |
^ |
|
(2.3.13) |
где |
|
|
>i |
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
J- |
У |
- L . |
|
|
|
|
|
|
п |
*• |
pt*i |
|
|
|
|
(2.3.14) |
|
п°.2.3.2. Решение общей задачи |
над W a . |
|
|||||||
Рассмотрим ({ункционал |
погрешности |
|
|
||||||
|
{ С о о Ь — |
|
|
|
( 2 -8 Л Б > |
||||
асимптотически оптимальный в данной решёгке'(2.3.6), |
|||||||||
(2.3.8) над пространством |
|
(-2).Для указанной |
асимпто |
||||||
тической оптимальности достаточно |
взять |
|
|
||||||
|
|
|
|
^ , M „ M i | 2 . ) . |
|
^ ( - э л е ) |
|||
Оказывается,условие (2.3.16) достаточно |
и для |
того, |
|||||||
чтобы {"£ ^ О * ) ].«->-'=' ^т |
асимптотически |
оптимальным и |
|||||||
над |
(Si.) |
|
при |
|
|
|
|
|
|
- |
< М. S |
fxin. |
Гл.- |
£ |
гвдх. ru; * |
М |
(2.3.17) |
||
|
|||||||||
1 |
|
а-Тл |
3 |
№ |
6 |
|
|
8 0
Ото ыоашо оьшо иы получить, ообощая теорему 4.
Ни мы ладим 1ьле прямое доказательство сформулированных утьерздений.
Лемма 15. Пусть
|
+ , ( * ) , ^ t * ) 6 |
С С О |
и |
|
|
(2.3.19) |
||||
f |
Су) = j> O P P |
4V*-) > ^PP |
^ С * - * ) ) |
> о |
|
(2.3.20) |
||||
Образуем, псевдодидчеренциалькьш |
оператор |
|
|
|||||||
P a |
= + , t o K D ) 4 i ( * - » > : f c ' — ( 2 . 3 . 2 1 ) |
|||||||||
Сужение оператора |
|
|
ш |
пространство |
|
|
||||
[ |
(ft*- )] * .рассмотренное как итератор |
[Ч^С^*1 ).]* |
||||||||
в Й а |
(выявляется |
|
ограниченным оператором и норма его |
|||||||
допускает |
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1Р,1 * |
С 1 К Ч ) 1 * |
|
|
|
12.«.2й) |
||||
лпя любого |
|
а г О |
с |
постияшш |
Сц. , «е |
ышниящи от ^. |
||||
Ликаза/с<1^ст_о. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
.ты нуждаемся -в |
следующей оценке: |
|
|
|
||||||
л л я любого |
|
0->0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
iWpWW&H&lxtf)* |
|
|
-Ss^ |
Ii4№teilx |
|
, |
U . o . 2 3 , |
|||
Оципку и.3.2о)>и-До |
j :тано£.*1*ь-длн *сех |
К х ) е |
Г $ г |
( й * ) ] . |
||||||
произведём |
уамы-ij |
|
^i'D);f(>)= g(x.):-0H.- о уществляет |
|
||||||
- изоморфизм |
[ W ^ R |
^ C |
£г (Я\).Так что для справедливости |
|||||||
(2.3.23) необходима и достаточна оценка: |
|
|
|
|||||||
для лкйого |
|
0>о и |
|
$0-)1 |
|
|
|
|
|
V .
|
|
|
|
|
8 1 |
|
|
|
|
|
mwmwo-S^tx, |
|
|
|
* ^ |
л |
цы^ |
(2.3.24) |
|||
Так как. в |
плотно |
СГ^й") |
достаточно |
рассмот |
||||||
реть (2.3.24) с |
g г » fe С~(_й").Далее,очевидно,если |
|||||||||
верна оценка (2.3.24) для какого-нибудь М^М0 |
,то она |
|||||||||
верна и для меньших |
М |
.Поэтому |
сразу выберем четное |
|||||||
число |
М,= 2гп( |
m -целое) и будем доказывать (2.3.24) |
||||||||
только для этого М0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
В этом случае (1-д)т о, (х) |
имеет |
обычный,класси |
||||||||
ческий смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак,надо доказать,Что для любого |
й > 0 |
|
||||||||
I ^ ( ^ ( О ^ У ) а - ^ ( х ) ^ |
* |
J g |
- |
ЦС^^ |
(2,3.25) |
|||||
равномерно |
по |
§.(*.) 6, С 7 ( & л ) . |
|
|
|
|
||||
ЧъО*-эЛ О - ь)" 1 ^*) |
|
можно записать |
в виде |
|
||||||
|
D - f |
C^-y) 9 C^J |
c |
некоторым постоянными |
||||||
коэффициентами |
d < |
.Левая |
часть |
(2.3.25) оценится |
||||||
через |
Z |
lo*l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«^(^(D)D° l + l Cx - 4)ocx)|| J < |
|
||||||||
Поэтому достаточно уметь оценивать отдель.чце слагаемые |
||||||||||
этой |
суммы.Таким образом, приходим к задаче : |
|
||||||||
для любых |
d » о |
равномерно |
по |
|
СГ°С^ |
|||||
подучить оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Благодаря гипозллиптичкости |
оператора |
( D ) |
,мы |
|||||||
шеем согласно л е ^ е |
13 и учитывая.4 1 0 |
|
82.
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
(*•) D*M (В) 4V (х- у) g.OO к |
^ |
|
|
|||||||||
.< |
mox. |f, Cx)| II / ( D ) |
^ (x-tf JCx)|| w |
u |
, c & 4 p p t |
( C x ) ) |
* |
|||||||
|
|
пусть |
ui, = { x | p(_=c, Ьцрр S'lCxi) < 4; } |
|
|
||||||||
иведем теперь функцию |
4 * 0 0 •' fC*) & |
|
|
|
|||||||||
Ц>(*) |
- i |
на |
w t |
|
, 4чх)-о вне |
{ х.| J J ( X , Ъмрр ^.Сх) |
|||||||
* ' |
С |
/I 4Чх) j |
* |
(U) |
4 |
4 о |
, |
W ||Й 4 |
( . |
|
|
||
Итак, нам достаочно |
оценить |
последнее |
выражение Через |
||||||||||
||<j(x)||^(R.4) .То-""ть |
мы упростили |
первоначальную |
за |
||||||||||
дачу, попросту |
уорав |
Ц-д)"! Или,что |
то же самое,мы пока |
||||||||||
зываем, что достаточно |
рассматривать |
оператор |
|
|
|||||||||
из |
^2 |
в |
°1г • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Надо получить оценку |
|
|
О |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| | ^ ( в ) ^ - 8 ) § ( х ) ^ ( |
0 ^ ^ |
|
E . w l ^ u . a . |
||||||||||
После |
замены |
эс-у |
= Z |
мы приходим к эквивалентной |
|||||||||
оценке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В *с*+а> /• С») |
|
gcx) |
1 ^ * |
|
II qool |
S j |
|
||||||
f |
О» |
|
900 - |
j |
d г f b |
(a) § (*) К, (* - fr) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
KJA -ядро |
сообщенного потенциала Бесселял которое |
имее* |
|
|
83 |
оцен)<и |
|
|
|
I КK„(r)| - |
С ° |
о любым |
а > 0 |
|
Это сразу |
дает |
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
||||||
Заметим,что определения |
12 и 13 классов |
КО и о£ ( А / ' ы 4 * ' 2 ) |
|||||||
для |
пространств |
H f |
не только |
обобщают |
соответствую- |
||||
щие определения .для пространств |
\х.'г |
,но и не зависят |
|||||||
от |
вида выбранной решётки. |
|
|
|
|
||||
Поэтому определения |
12 и 13 применимы и к пространс |
||||||||
твам W", |
|
и к решётцам (2.3.11),(2.3.12);Так и |
|||||||
будем ~йх применять. |
|
|
|
• |
|
|
|||
Лемма 16. В решётке |
( 2 . 3 . 1 1 ) , ( 2 . 3 . i 2 ) |
функционалы, |
|||||||
принадлежлщие |
над Wz |
|
-пространствами |
классам |
|||||
КО (^,2) |
с |
^,(0 |
= |
( i - O f f 1 ) " * , |
П,е [ < , * " ] |
||||
над |
Wg^ -пространствами |
принадлежат |
классам |
||||||
|
К О ( м х , а ) |
|
с |
^ ( ? ) |
= X |
^*%}Т1/\ |
Докаэательство. При
оценка снизу нормы OfiCx)} дается теоремой 2
1реоуется получить оценку сверху: |
|
|
||
* |
С ' ^ Ч ^ |
* Г ' . |
(2.8.27) |
|
|
|
h |
т |
|
|
|
|
|
|
Возьмем разбиение |
единицы |
i = |
5 1 $.«.(эО,составлен- |
|
не из периодических |
периода |
1 по |
кыхцому |
а ? , , *Ч |
функций $t ,кавдая из которых есть сумма сдвигов на всевозможные периода одной финитной функции:
к
иоэьмем е^е функции V t W e o свойствами: |
|
а также функцию: ? "с*) * C f O . S <Х) = i- |
на <3 |
Имеем |
|
Поэтому |
|
1к|<3
85
Отдельные слагаемые последней сумш имеют хорошие оценки по лем^е 15 с*
Рк = Ътс*>МЫ &
* с M ' ^ m i ^ mo* Wj"N i
Значит,в оценке (.s.3.28) 21 не превосходит
Для оценки первого сл^асМиго в (2.3.28) достаточно
показато.что для любой функции |
%(х)е СГо* усливиш |
||
скот &и/>/> |
<L |
|
i |
В случае |
изотрош^го |
пространства 1(4™ (я"1 ) и иав- |
|
номерний решетки с шаг-м |
t* |
-ы умеем получить |
|
оценки . |
' |
|
|
t
86
ьозшеь V- так »\-L
гп. = |
MjlM |
01 |
в.зесль (i>.o.fc9; из i£.3.d0)
временно обозначим
' / г г п . |
(2.3.о0) |
|
и тп |
ра_нш |
|
и |
l l 0 " a t e M |
,<UK |
i JC*)/i |
s ( W |
i d x i c o e " £ x * r / i c , ; ^ ) f c |
Далее применяем неравенство
8 ?
1
которое вьподняегся для |
всех ^ |
с некотором l i ^ . ^ j i i i . - u i , |
С ,не зависящей от |
J . |
ч |
* Z " i w . K w J V - t
Воспользовавшсь оценкой (2.3.30) для K§(y),fW2 (ft*1 )] IK
поучаем ошовчательно
|
i f * |
С |
|
|
|
|
что • требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
St = (ч|| ,...> , тя ) |
с условие- |
1?Ч* ^ |
» ^ . |
|
Hiммл17. Среди решёток вида (2.3.11),(2.3.12) |
опги- |
|||
I |
•о.им>ая по порядку решетка для |
пространств оп |
|||
|
ределяется услоша^м |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
М, Н ^ - Ы ^ - ; |
л£ -целые/числа |
(2 . о . Ы) |
||
|
если условия (2.3.31) совмести». |
|
|
||
|
доказатедьстар. |
знаем,что решётке i i . a . |
(2.о. 12) |
||
|
даёт порядок оптимального функционглс: |
|
|
|
|
|
|
|
8 8 |
|
|
|
|
|
|
m a x |
JV; |
"D |
|
|
|
|
|
|
|
j-.iTn. |
J |
|
|
|
|
и.й.32) |
|
Оптимальной по порядку среди решеток (2.о. 11;,(2.3.12) |
|
||||||||
будет |
та, которая при |
|
дает |
наиболее |
быстрее |
|
|||
стремление |
к нулю .величины (2.3.32),или при постоянном |
|
|||||||
JV |
наименьшее значение для (2.3.32). |
|
|
|
|||||
i'aiJiM Оиразом, приходим к задаче: |
|
|
|
||||||
найти |
л ° |
,... , л £ |
из условии |
|
|
|
|
||
•' V « |
K = |
J V i |
СЧ*) |
= Г>и"а |
1 |
/ о ~ |
осп |
||
|
t |
;-.<л |
" |
|
j ' - M |
|
(2 . |
.do) |
|
Удобнее рассуждать,считая |
-Nj |
непрерывно меняющимся. |
|||||||
Очевидно,все (-Nj0 ) |
должны равнятшя друг другу. |
|
|||||||
Если бы хоть одно из чисел |
(/^J) |
оказалось меньше |
|
||||||
других, то мы сразу могли |
бы этим воспользоваться,умень |
|
|||||||
шив все остальные за счёт небольшого его увеличения. |
|
||||||||
Это уменьшило бы Первоначально достигнутый |
ntqx |
С О |
|
||||||
чв!-о не должно быть. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 . |
_ i |
|
|
- J — |
|
|
||
Полагая |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
приходим }[ |
результату |
|
|
|
|
|
|
Остаётся заметить, что у*'о решение, полученное для любых -не обязательно целых л^- у-одится нам Только если Л^- окажутся целыми, то-есть если условия (2.3.31)